La derivata del prodotto di due funzioni – regola di Leibniz (1675)

Wassily Kandinsky

Dato il prodotto di due funzioni che per comodità indicherò con u e v, per calcolare la loro derivata dovrò seguire il seguente procedimento:

$y = u \cdot v$

Utilizzo sempre l’approccio NSA ho:

y + dy = (u +du)(v+dv)

sviluppo il prodotto:

y + dy = uv+udv+vdu+dudv

y e uguale uv per cui ho:

uv + dy = uv + udv + vdu + dudv

elimino uv che sono uguali ed opposti ed ho:

dy = udv + vdu + dudv

adesso divido per dx a destra e sinistra ed ho:

$\cfrac{dy}{dx}=\cfrac{du}{dx}v+\cfrac{dv}{dx}u+\cfrac{dudv}{dx}$ .

ma l’ultimo termine essendo infinitesimo si può scartare per poi avere alla fine:

REGOLA DI LEIBNIZ

$y'=\cfrac{du}{dx}v+\cfrac{dv}{dx}u$

conosciuta anche in questa forma:

y = f(x)g(x)

y’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

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