Pierre Auguste Renoir
11. 
non bisogna farsi ingannare dalla seconda parte in quando si ha un denominatore.
Per non cadere in errore è sufficiente dividerlo ossia considerare la seguente funzione:
in questa forma è più facile effettuare la derivata prima:
12. 
nel punto P(1:12)
verifico che il punto P appartenga alla curva:
il punto P appartiene alla curva
Calcolo la derivata prima della curva:
la retta quindi è 
per determinare q sostituisco il punto P
da cui 
L’equazione della retta tangente è:
13. 
nel punto P(0;4)
P appartiene alla curva?
Sì, P appartiene alla curva.
Significa che la retta tangente alla retta è la retta stessa.
Avendo dato come definizione di derivata la pendenza della retta tangente ad una curva, inevitabilmente l’affermazione precedente è vera.
Una cosa è fondamentale:
LA DERIVATA FORNISCE L’INCLINAZIONE DELLA CURVA IN UN OPPORTUNO PUNTO DELLA CURVA
ESSERE TANGENTI IN UN PUNTO DELLA CURVA SIGNIFICA CALCOLARE IN QUEL PRECISO PUNTO QUANTO VALE L’INCLINAZIONE DELLA CURVA
LA RETTA TANGENTE IN UN PUNTO POTREBBE BENISSIMO INTERSECARE LA CURVA IN UNA ALTRO PUNTO MA QUELLO CHE INTERESSA E’ L’INCLINAZIONE DELLA RETTA NEL PUNTO PRESO IN CONSIDERAZIONE.
Vedasi questo esempio:
Si vuole calcolare la retta tangente tangente alla curva:
nel punto P(0:-1)
è la retta 
14. Retta tangente alla curva 
nel punto P(3;4)
il punto P appartiene alla retta?
No!
NON ESISTE alcuna retta che passa per P(3:4) e che sia tangente alla retta di partenza ossia con coefficiente angolare 
.
OSSERVAZIONE
Si potrebbe pensare che la retta x=3 sia proprio la retta tangente ma è sì una retta che tocca la retta in un punto, come pure tutte quelle appartenenti al fascio di rette 
, ma NESSUNA presenta la stessa inclinazione della retta o meglio tangente.