Dominio di una funzione

img_5536_1251034607 La definizione formale di dominio di una funzione è:

insieme dei valori possibili che la variabile indipendente x può assumere, in modo che la funzione sia definita in tali valori.

In molti anni che insegno ho adottato questa definizione:

insieme dei valori di x per i quali posso DISEGNARE la funzione.

Questa definizione, indubbiamente molto spartana, mi ha consentito di poter far capire perché dal dominio devono essere esclusi quei punti in cui la funzione presenta un asintoto.

Infatti se si pensa, l’infinito non si può disegnare e quando una funzione tende all’infinito per un particolare punto, non può essere disegnata per cui tale punto deve essere escluso dal dominio stesso!

Ecco i domini delle funzioni più comuni:

Funzione polinomiale

La retta è una funzione polinomiale y=3x+5 il cui grafico è:

retta

si nota dal grafico che il disegno esiste per ogni valore di x e si scrive:

$D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R} \right \}$

La parabola è una funzione polinomiale:

$y=x^{2}-5x+6$

il cui grafico è:

parabola ed il dominio è:

$D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R} \right \}$

Generalizzando

tutte le funzioni del tipo:

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x^{1}+a_{0}$

hanno dominio:

$D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R} \right \}$

Funzione frazionaria

Ecco il grafico di una funzione frazionaria: grafico 1 si noti subito che nell’intorno del numero 3 la funzione si avvicina sempre più al 3 (asintoto verticale) senza mai toccarlo.

La funzione frazionaria ha al numeratore un polinomio ed al denominatore un altro polinomio.

Il grafico precedente ha equazione:

$y=\cfrac{x-2}{x-3}$

e per determinare il dominio devo escludere i valori che annullano il denominatore ossia risolvere questa diseguaglianza:

$x-3\neq 0$

ossia

$x\neq 3$

il dominio diventa:

$D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R}|x\neq 3\right \}$

generalizzando:

Si devono trovare i valori che annullano il denominatore.

$y=\cfrac{a_{n}x^{x}+...+a_{0}}{(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})\cdot ...\cdot (x-x_{n})}$

i valori che annullano il denominatore sono:

$x_{1},x^{2},...,x_{n}$

il dominio diventa quindi:

$D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R}|x\neq x_{1},x\neq x_{2},...,x\neq x_{n}\right \}$

Funzione irrazionale

Ecco la rappresentazione sul piano cartesiano di una funzione irrazionale:

irrazionale essa ha come equazione:

$y=\sqrt{x-1}$

per studiare il dominio bisogna porre l’argomento della radice quadrata sempre strettamente maggiore di zero.

Ossia

$x-1\geq 0$

Il dominio diventa:

$D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R}|x \geq 1\right \}$

generalizzando; data la funzione:

$y=\sqrt[n]{A(x)}$

con n pari, bisogna studiare il segno dell’argomento ossia porre:

$A(x)\geqslant 0$

il dominio diventa quindi:

$D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R}|A(x) \geq 0\right \}$

Funzione esponenziale

Ecco la rappresentazione grafica di una funzione esponenziale:

esponenziale la cui equazione è:

$y=e^{x}$

il cui dominio coincide con le funzioni polinomiali ossia:

$D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R} \right \}$

generalizzando:

$y=a^{A(x)}$ con

A(x) una funzione polinomiale

Si ha quindi sempre come dominio:

$D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R} \right \}$

Funzione logaritmica

Ecco il grafico:

logaritmic che ha equazione:

$y=\ln (x+1)$

e per determinare il suo dominio devo prendere l’argomento e porlo maggiore di 0:

$x+1>0\Rightarrow x>-1$

Quindi il dominio si scrive:

$D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R}|x>-1\right \}$

generalizzando:

$y=\ln (A(x))$

bisogna porre sempre l’argomento maggiore di zero (non anche uguale a zero perché in 0 il logaritmo ha un asintoto verticale).

$D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R}|A(x)>0\right \}$

Combinazione delle funzioni precedenti

Per studiare il dominio dato dalla combinazione di una delle precedenti funzioni bisogna impostare un sistema di disequazioni o diseguaglianze e come soluzione si ha quell’insieme di valori che vanno bene a tutti.

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