[:it]Integrali per sostituzione[:]

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Renè Magritte

Gli integrali per sostituzione utilizzano il cambio o sostituzione di variabile per trovarsi in una situazione di più semplice risoluzione.

Tale metodo può sempre essere applicato a qualunque tipo di integrale sempre che tale sostituzione possa poi portare ad un integrale facilmente sviluppabile.

La cosa fondamentale è la seguente:

f(x)=f(t)

e quindi

f^{'}(x)dx=f^{'}(t)dt

dx=\cfrac{f^{'}(t)}{f^{'}(x)}dt

Ad esempio tale metodo può essere applicato al seguente integrale:

\int 2x\left ( x^{2}+1 \right )^{2}dx

pongo x^{2}+1=t

effettuo la derivata a destra e a sinistra

2x\cdot dx=1\cdot dt

dx=\cfrac{1}{2x}dt

Adesso sostituisco nell’integrale che diventa:

\int 2x\left ( t \right )^{2}\cfrac{1}{2x}dt=\int t^{2}dt=\cfrac{t^{3}}{3}+k

ma t=x^{2}+1

ed il risultato diventa:

\int 2x\left ( x^{2}+1 \right )^{2}dx=\cfrac{\left ( x^{2}+1 \right )^{3}}{3}+k

Sostituzioni più comuni:

Integrale Sostituzione
\int \sqrt{x}dx \sqrt{x}=t
\int f^{'}(x)\cdot f(x)dx t=f(x)
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}}dx t=x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}
\int \sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\cdot dx t=x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}

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