[:it]Soluzione esercizio su integrale per sostituzione[:]

[:it]9.1.  \int \cfrac{1}{\sqrt{9x^{2}-1}}dx

Effettuo la seguente sostituzione:

(1) t=3x+\sqrt{9x^{2}-1}

t-3x=\sqrt{9x^{2}-1}

elevo entrambi i membri alla seconda in maniera da non avere più la radice quadrata

\left (t-3x  \right )^{2}=9x^{2}-1

t^{2}+9x^{2}-6tx=9x^{2}-1

t^{2}-6tx=-1

x=\cfrac{t^{2}+1}{6t}

facendo la derivata a desta e sinistra si ha:

dx=\cfrac{2t(6t)-6(t^{2}+1)}{36t^2}dt

(2) dx=\cfrac{t^{2}-1)}{6t^2}dt

\sqrt{9x^{2}-1}=t-3x=t-\cfrac{t^2+1}{6t}

(3) \sqrt{9x^{2}-1}=\cfrac{3t^2-3}{6t}

Adesso sostituendo la (2) e la (3) nell’integrale di partenza si ha:

\int \cfrac{1}{\cfrac{3t^{2}-3}{6t}}\cdot \cfrac{t^{2}-1}{6t^{2}}dt=\cfrac{1}{3}\int \cfrac{1}{t}dt

\cfrac{1}{3}\int \cfrac{1}{t}dt=\cfrac{1}{3}\ln t+k

e sostituendo la (1) si ha come risultato:

\cfrac{1}{3}\ln \left | 3x+\sqrt{9x^2-1} \right |+k[:]

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