[:it]Geometria nello spazio: sfera[:]

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500-esimo post

L’equazione di una sfera è:

x^{2}+y^{2}+z^{2}+ax+by+cz+d=0

le coordinate del centro sono:

C\left ( -\cfrac{a}{2};-\cfrac{b}{2};-\cfrac{d}{2} \right )

il raggio sarà:

r=\sqrt{\left ( -\cfrac{a}{2} \right )^{2}+\left ( -\cfrac{b}{2} \right )^{2}+\left ( -\cfrac{c}{2} \right )^{2}-d}

oppure essa può essere vista come

(x-x_{c})^{2}+\left ( y-y_{c} \right )^{2}+\left ( z-z_{c} \right )^{2}=r^{2}

Ad esempio questo è il grafico della sfera di equazione:

x^{2}+y^{2}+z^{2}=1

I problemi che si incontrano sono i seguenti:

  • intersezione di un piano con una sfera
  • intersezione di una retta nello spazio con una sfera.

INTERSEZIONE PIANO E SFERA

Un piano ed una sfera possono:

  • non incontrarsi
  • incontrarsi
    • si identifica un punto
    • si identifica una circonferenza
      • di questa circonferenza calcolare il centro ed il raggio ossia la sua equazione

Condizione di intersezione è che la distanza dal centro ed il piano siano minori o uguali al raggio della sfera.

Un piano ha equazione:

ax+by+cz+d=0

Calcolo la distanza di un punto da un piano utilizzando la seguente formula:

d=\cfrac{\left | ax_{p}+by_{p}+cz_{p}+d \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

se d\leqslant r_{s} allora ho la condizione di tangenza o secante.

Per determinare il raggio della circonferenza identificata dall’intersezione del piano con la sfera è si è in questa situazione:

il raggio della circonferenza si calcola applicando il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo che ha:

base il raggio della circonferenza

altezza la distanza tra il centro della sfera e il centro della circonferenza

ipotenusa il raggio della sfera

r_{c}=\sqrt{r_{s}^{2}-d^{2}}

Per calcolare il centro della circonferenza, si deve calcolare la retta passante per un punto nello spazio e perpendicolare al piano che interseca la sfera.

Per vedere un’applicazione la cosa migliore è vedere un esempio che esplicita tutti i passaggi necessari[:]

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