[:it]Maturità 2017: quesito 5[:]

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Alex Alemany

Dati i punti A(-2,3,1), B(3,0,-1), C(2,2,-3), determinare l’equazione della retta r passante per A e per B e l’equazione del piano \pi perpendicolare ad r e passante C.

Prerequisiti

  • conoscere l’equazione della retta passante per due punti nello spazio
  • capire il significato dei coefficienti numerici della retta e di un piano
  • capire il significato di un punto appartenente ad una curva

Sviluppo

L’equazione di una retta passante per due punti ha equazione:

(1)   \begin{equation*} \left\{\begin{matrix} x=x_{2}+\left ( x_{1}-x_{2} \right )t \\ y=y_{2}+\left ( y_{1}-y_{2} \right )t\\ z=z_{2}+\left ( z_{1}-z_{2} \right )t \end{matrix}\right. \end{equation*}

Applicandola al caso posto dal quesito, la retta passante per A e per B ha equazione:

(2)   \begin{equation*} \left\{\begin{matrix} x=-2+5t \\ y=3-3t\\ z=1-2t \end{matrix}\right. \end{equation*}

i coefficienti di x (5), di y (-3), di z (-2), rappresentano le coordinate del vettore direzione v(5,-3,-2) ossia quello parallelo alla retta.
L’equazione generale di un piano ha equazione:

(3)   \begin{equation*} ax+by+cz+d=0 \end{equation*}

i coefficienti a,b e c rappresentano le coordinate del vettore perpendicolare al piano.

Conseguenza di questo l’equazione del piano \pi utilizza le coordinate della retta:

(4)   \begin{equation*} 5x-3y-2z+d=0 \end{equation*}

Per trovare d è sufficiente sostituire le coordinate del punto C e risolvere la relativa equazione di primo grado in d:

(5)   \begin{gather*} 10-6+6+d=0 \\ d=-10 \end{gather*}

L’equazione del piano risulta:

(6)   \begin{equation*} 5x-3y-2z-10=0 \end{equation*}

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