[:it]Maturità 2017: sesto quesito[:]

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Alex Alemany

Determinare il numero reale a in modo che il valore di

(1)   \begin{equation*} \underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{\sin (x)-x}{x^{a}} \end{equation*}

sia un numero reale non nullo.

Prerequisiti

  • conoscere come calcolare un limite
  • conoscere i limiti indeterminati
  • conoscere il teorema di De l’Hopital

Sviluppo

Se sostituisco il valore a cui tende la x nella (1) mi accorgo si essere nella condizione \cfrac{0}{0} e posso applicare De l’Hopital.

Il teorema di De l’Hopital afferma che nel caso in cui ci si trova nella condizione \cfrac{0}{0} o \cfrac{\infty }{\infty } allora:

(2)   \begin{equation*} \underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}\cfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}\cfrac{f'(x)}{g'(x)} \end{equation*}

che significa fare la derivata del numeratore e del denominatore separatamente e NON la derivata del quoziente di funzione!

Applico la (2):

(3)   \begin{equation*} \underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{\sin (x)-x}{x^{a}}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{\cos (x)-1}{a\cdot x^{a-1}} \end{equation*}

Sostituisco il valore a cui tende la x nella (3) e mi accorgo si essere ancora nella condizione \cfrac{0}{0} ma potrei porre l’esponente della x del denominatore a 0 e conseguentemente togliere la condizione che lo annulla (a=1), in questo caso il limite tenderebbe a 0, ma stiamo cercando un valore reale non nullo.
Applico nuovamente De l’Hopital.

(4)   \begin{equation*} \underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{\cos (x)-1}{a\cdot x^{a-1}}= \underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{-\sin (x)}{a\cdot (a-1) \cdot x^{a-2}} \end{equation*}

Sostituisco il valore a cui tende la x nella (4) e mi accorgo si essere ancora nella condizione \cfrac{0}{0} ma potrei porre l’esponente della x del denominatore a 0 e conseguentemente togliere la condizione che lo annulla (a=2), in questo caso il limite tenderebbe a 0, ma stiamo cercando un valore reale non nullo.
Applico nuovamente De l’Hopital.

(5)   \begin{equation*} \underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{-\sin (x)}{a\cdot (a-1) \cdot x^{a-2}}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{-\cos (x)}{a\cdot (a-1) \cdot (a-2) \cdot x^{a-3}} \end{equation*}

Sostituisco il valore a cui tende la x nella (4) e mi accorgo di essere adesso nella condizione \cfrac{-1}{0}=\infty ma pongo l’esponente della x del denominatore a 0 e, conseguentemente, togliere la condizione che lo annulla (a=3), in questo caso la (5) diventa:

(6)   \begin{equation*} \underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{-\cos (x)}{a\cdot (a-1) \cdot (a-2) \cdot x^{a-3}}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{-\cos (0)}{3\cdot (3-1) \cdot (3-2) \cdot x^{0}}=-\cfrac{1}{6} \end{equation*}

L’unico valore per cui il limite assume un valore reale non nullo è:

(7)   \begin{equation*} a=3 \end{equation*}

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