[:it]Maturità 2017: nono quesito[:]

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Samy Charnine

Dimostrare che l’equazione:

(1)   \begin{equation*} \arctan (x)+x^{3}+e^{x}=0 \end{equation*}

ha una e una sola soluzione reale

Prerequisiti

  • conoscere il teorema di unicità dello zero
  • calcolare la derivata
  • calcolare un limite
  • sapere la derivata delle funzioni trigonometriche

Sviluppo
Il teorema di unicità dello zero afferma che:
Se la derivata f'(x) è non nulla in ogni punto di \left (a,b \right ), la funzione ammette soltanto uno zero in tale intervallo aperto.

pongo

(2)   \begin{equation*} f(x)=\arctan (x)+x^{3}+e^{x} \end{equation*}

Calcolo i seguenti due limiti:

(3)   \begin{equation*} \underset{x\rightarrow+\infty  }{lim}f(x)=+\infty \end{equation*}

(4)   \begin{equation*} \underset{x\rightarrow-\infty}{lim}f(x)=-\infty \end{equation*}

effettuando adesso al derivata prima ho:

(5)   \begin{equation*} f'(x)=\cfrac{1}{1+x^2}+3x^{2}+e^{x} \end{equation*}

La derivata prima è sempre positiva per cui la funzione di partenza è sempre crescente.

Le ipotesi del teorema sono soddisfatte e l’equazione ha una e una sola soluzione reale.

Il grafico di questa funzione è infatti:

 

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