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Vladimir Kush
Lo studio dei massimi e dei minimi per le funzioni a due variabili richiede l’introduzione di alcuni nuove strumenti matematici quali il gradiente e la matrice hessiana.
ll gradiente è un vettore le cui componenti sono le derivate parziali seconde della funzione, questo in un sistema ortonormale.
La matrice hessiana è composta dalle derivate seconde parziali opportunamente combinate, per semplicità scrivo quella relativa alla matrice quadrata di rango 2.
Per calcolare i massimi e i minimi di una funzione a più variabili attraverso la matrice hessiana devo analizzare le seguenti condizioni:
- annullare il gradiente
i relativi punti saranno poi usati nello studio del segno del determinante della matrice hessiana 
e 
allora 
è un minimo relativo- e e
allora è un massimo relativo 
allora è un punto di sella.
Con 
Il punto di sella è quel punto tale per cui la matrice hessiana rimane indefinita o in particolare è quel punto tale che prendendo due curve passanti per P esso è sia minimo che massimo graficamente si ha:
Moltiplicatori di Lagrange per la ricerca dei massimi e minimi vincolati
L’applicazione del teorema di Lagrange lo si usa quando la funzione è vincolata da un’altra. L’applicazione del teorema di Lagrange fornisce una condizione necessaria ma non sufficiente ma consente comunque la determinazione dei massimi e dei minimi vincolati.
Senza entrare nel formalismo del teorema è sufficiente sapere che data la funzione 
e la funzione vincolo 
si definisce
Si annulla il gradiente di questa funzione e si sostituiscono i valori trovati in e li si confrontano e quelli minori sono i minimi e quelli maggiori sono i massimi.[:]