[:it]TPSIT: Legge di Gauss per il campo elettrico[:]

[:it]Si consideri una carica puntiforme q e si calcoli il flusso del campo elettrico E  da essa prodotta attraverso una superficie sferica avente il centro coincidente con la carica.

Il flusso, in generale, è il calcolo della quantità che attraversa una superficie chiusa.

Si divide la superficie in superfici molto piccole (o infinitesime) di aree dS_{1}, dS_{2}, dS_{3},…Su ciascuna di esse si può disegnare un vettore unitario u_{1}, u_{2},u_{3},…perpendicolare alla superficie in quel punto.

Siano \theta _{1}, \theta _{2}, \theta _{3},… (theta) gli angoli tra i vettori normali u_{1}, u_{2},u_{3},…e i vettori del campo V_{1}, V_{2}, V_{3},… in ogni punto della superficie.

Allora il flusso \phi del campo vettoriale \vec{V} attraverso la superficie S è:

\theta =V_{1}dS_{1}cos\theta _{1}+V_{2}dS_{2}cos\theta _{2}+V_{3}dS_{3}cos\theta _{3}+...

sapendo che V\cdot \cos \theta =\vec{V}\cdot \vec{u}
il flusso può essere scritto come:
\phi =\vec{V_{1}}\cdot \vec{u_{1}}dS_{1}+\vec{V_{2}}\cdot \vec{u_{2}}dS_{2}+\vec{V_{3}}\cdot \vec{u_{3}}dS_{3}+...

ma sapendo cheil prodotto di una base per un’altezza mi fornisce proprio un integrale la realazione precedente può essere scritta come:
\phi = \oint V\cos \theta dS=\oint \vec{V}\cdot \vec{u}dS
dove il segno di circoletto sull’integrale significa che è superficie chiusa.

Tutta questa premessa è servita per applicarla al campo elettrico.

Si calcola il flusso del campo elettrico attraverso una superficie sferica.

\vec{E}=\frac{q}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}\vec{u}

Il vettore unitario normale ad una sfera coincide con il vettore unitario \vec{u} lungo la direzione radiale .

Perciò l’angolo \theta fra il campo elettrico e il vettore unitario normale è nullo e \cos \theta =1.

Il campo elettrico ha lo stesso valore in tutti i punti della superficie sferica e che l’area della sfera è  4\pi r^{2}.

Il valore del flusso del campo elettrico risulta:

\phi =\oint EdS=E\oint dS=E\cdot S=\cfrac{q}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}\cdot \left ( 4\pi r^{2} \right )

concludendo

\phi =\cfrac{q}{\epsilon _{0}}

La legge di Gauss è particolarmente utile quando si vuole calcolare il campo elettrico prodotto da distribuzioni di carica aventi determinate simmetrie geometriche ad esempio piastre, sfere, o fili percorsi da corrente.[:]

Questa voce è stata pubblicata in Senza categoria. Contrassegna il permalink.

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *