[:it]TPSIT – Fisica- Carica di un condensatore[:]

[:it]Collegando un condensatore di capacità C, inizialmente scarico, attraverso una resistenza R ai poli di una batteria (corrente continua) di f.e.m f, la carica q sulle armature, tende a raggiungere il valore nominale fC.

Tenendo conto che tra le armature del condensatore c’è una caduta i tensione q/C, si ha:

f-\cfrac{q}{C}=Ri

sapendo che:

i=\cfrac{\delta q}{\delta t}

si deve risolvere la seguente equazione differenziale:

f-\cfrac{q}{C}=R\cfrac{\delta q}{\delta t}

è un’equazione differenziale lineare completa che si può risolvere mediante il metodo di Lagrange ossia data:

y'+a(x)y=b(x)

essa ha soluzione generica:

y=e^{-\int a(x)dx}\cdot\left [ \int b(x)e^{\int a(x))dx}+c \right ]

applicandola alle variabili in gioco si ha:

q'+\cfrac{1}{RC}q=\cfrac{f}{R}

dove a(t)=\cfrac{1}{RC} e b(t)=\cfrac{f}{R}

applicando la soluzione generica si ha:

q=e^{-\int \frac{1}{RC}dt}\cdot \left [ \int \frac{f}{R}e^{\int \frac{1}{RC}dt}+c \right ]

q=e^{-\frac{1}{RC}t}\cdot \left [ \int \frac{f}{R}e^{\frac{1}{RC}t}+c \right ]=e^{-\frac{1}{RC}t}\cdot\left [ \frac{f}{R}\cdot RC e^{\frac{1}{RC}t}+c \right ]

q=fC+ce^{-\frac{1}{RC}t}

sapendo che all’inizio, ossia al tempo t, il condensatore è scarico allora q(0)=0 e sostituendo tale condizione all’equazione trovata si ha:

0=fC+c

c=-fC

in definitiva:

q=Cf\left ( 1-e^{-\frac{t}{RC}} \right ) (1)

e si indica con \tau =RC la costante di tempo.

sapendo che C=\cfrac{q}{V} la d.d.p. tra le armature del condensatore è perciò:

V=f\left ( 1-e^{-\frac{t}{\tau }} \right )

La corrente i=\cfrac{\delta q}{\delta t}

per cui derivando la (1) si ha:

i=\frac{Cf}{RC}e^{-\frac{t}{\tau }}=\cfrac{f}{R}e^{-\frac{t}{\tau }}

La rappresentazione grafica è la seguente:

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