Maturità 2019: primo problema – primo punto

Si considerino le seguenti funzioni:

$f(x)=ax^2-x+b$

$g(x)=(ax+b)e^{2x-x^2}$

Provare che, comunque siano scelti i valori di $a$ e $b$ in $\mathbb{R}$ con $a\neq 0$ , la funzione g ammette un massimo e un minimo assoluti. Determinare i valori di a e b in corrispondenza dei quali i graﬁci delle due funzioni f e g si intersecano nel punto A(2,1).

Prerequisiti

saper fare la derivata prima
segno della derivata prima
risolvere un sistema d’equazioni

Sviluppo

Sviluppo la prima parte facendo la derivata prima di $g(x)$ .

$g'(x)=a\cdot e^{2x-x^2}+(ax+b)e^{2x-x^2}\cdot (2-2x)$

annullo la derivata per determinare i potenziali punti di massimo o di minimo

posso eliminare l’esponenziale perchè si annulla solo all’infinito e rimane:

$a+(ax+b)\cdot (2-2x)=a+2ax-2ax^{2}+2b-2bx=0$

$2ax^2-2x(a-b)-a-2b=0$

$x_{1,2}=\cfrac{(a-b)\pm \sqrt{(a-b)^2+2a^2+4ab}}{2a}=\cfrac{(a-b)\pm \sqrt{2a^2+(a+b)^2}}{2a}$

si nota che la quantità sotto la radice è sempre positiva per cui si hanno sempre due valori che potranno essere un massimo ed un minimo.

Per verificare che siano anche massimo o minimo assoluti devo verificare che:

$\underset{x\rightarrow \pm\infty }{lim}(ax+b)e^{2x-x^2}=0$

$\underset{x\rightarrow \pm\infty }{lim}(ax+b)e^{2x-x^2}=\underset{x\rightarrow \pm\infty }{lim}\frac{ax+b}{e^{x^2-2x}}$

Applicando De L’Hospital:

$\underset{x\rightarrow \pm\infty }{lim}\frac{a}{e^{x^2-2x}(2x-2)}=0$

Adesso sviluppo la seconda parte:

Sostituisco le coordinate di A(2,1) in f ed in g e risolvo il relativo sistema:

$\left\{\begin{matrix} 1=4a-2+b\\ 1=(2a+b)e^{4-4} \end{matrix}\right.$

Risolvendola con il metodo che si preferisce si ha:

$a=1$

$b=-1$

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