Maturità 2019: quarto quesito

Dati i punti $A(2,0,-1)$ e $B(-2,2,1)$ , provare che il luogo geometrico dei punti P dello spazio, tali che, $\overline{\hbox{PA}}=\sqrt{2}\overline{\hbox{PB}}$ , è costituito da una superficie sferica S e scrivere la sua equazione cartesiana. Verificare che il punto $T(-10,8,7)$ appartenga ad S e determinare l’equazione del piano tangente in T ad S.

Prerequisiti

conoscenza della distanza tra due punti nello spazio
definizione di raggio e centro di una sfera
conoscenza della retta passante per due punti nello spazio
conoscenza della relazione tra vettore direzione della retta e di quello del piano
conoscenza condizione di appartenenza di un punto nello spazio.

Sviluppo

Per prima cosa impongo la condizione $\overline{\hbox{PA}}=\sqrt{2}\overline{\hbox{PB}}$ .

$\sqrt{(x-2)^2+y^2+(z+1)^2}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2+(z-1)^2}$

elevando tutto al quadrato e sviluppando i quadrati del binomio si ha:

$x^2-x+4+y^2+z^2+2z+1=2x^2+8x+8+2y^2-8y+8+2z^2-4z+2$

sommando i monomi simili ed ordinandoli nella forma della sfera si ha:

$x^2+y^2+z^2+12x-8y-6z+13=0$

per dimostrare che rappresenti una sfera i coefficienti dei termini al quadrato devono essere uguali: ciò è soddisfatto; inoltre il valore del raggio deve dare un valore maggiore di zero. Le coordinate del centro sono:

$C(-6,4,3)$

e quelle del raggio sono:

$r=\sqrt{36+16+9-13}=r=\sqrt{48}$

quindi è proprio l’equazione di una sfera:

Per verificare che il punto $T(-10,8,7)$ appartenga alla sfera è sufficiente sostituire le sue coordinate all’equazione della sfera e verificare che si abbia un’identità.

$100+64+49-120-64-42+13=0$ ed infatti è un’identità: