Trigonometria: per esercitarsi sulle formule di addizione: problema 3

Fortunato Depero

3) Dato $alpha;beta$ che appartengono al primo quadrante e che:

$tanalpha=cfrac{1}{2}$

$cothbeta=3$

Dimostrare che:

$alpha+beta=cfrac{pi}{4}$

Sviluppo

(1) $alpha=cfrac{pi}{4}-beta$

$cothbeta=cfrac{cosbeta}{sinbeta}=3$ ossia

(2) $cosbeta=3cdotsinbeta$

Adesso utilizzo la (1)

$tanalpha=cfrac{sinalpha}{cosalpha}=cfrac{sinleft(cfrac[l]{pi}{4}-betaright)}{cosleft(cfrac{pi}{4}-betaright)}=cfrac{sincfrac{pi}{4}cosbeta-sinbetacoscfrac{pi}{4}}{coscfrac{pi}{4}cosbeta+sincfrac{pi}{4}sinbeta}=cfrac{1}{2}$

quindi utilizzando anche la (2) e sviluppando il seno di 45° ed il coseno di 45° ho:

$cfrac{cfrac{sqrt{2}}{2}cosbeta-sinbetacfrac{sqrt{2}}{2}}{cfrac{sqrt{2}}{2}cosbeta+cfrac{sqrt{2}}{2}sinbeta}=cfrac{cfrac{sqrt{2}}{2}left(3sinbeta-sinbetaright)}{cfrac{sqrt{2}}{2}left(3sinbeta+sinbetaright)}=cfrac{3-1}{3+1}=cfrac{2}{4}=cfrac{1}{2}$

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