Problema su una funzione logaritmica parametrica con relativa disequazione

Data la funzione:

 

a) calcola a e b sapendo che il suo grafico passa per l’origine e interseca la retta di equazione y=4 nel punto di ascissa 3.

b) rappresenta il grafico di f(x) per i valori di a e b trovati

c) risolvi analiticamente e graficamente la disequazione:

 

Sviluppo.

a) Passando per l’origine deve essere soddisfatta la

(1)

e affermare che interseca una retta in un particolare punto significa che quel punto appartiene  alla curva per cui deve valere anche questa relazione:

(2)

analizzando la (1)

perché se così non fosse la funzione di partenza degenerebbe in un punto coincidente con l’origine.

Risolvo l’equazione:

che equivale a scrivere (partendo dalla definizione stessa di logaritmo)

che fornisce il valore

.

Sostituendo adesso il valore trovato nella (2) si deve risolvere l’equazione:

ma

.

.

.

la funzione di partenza diventa:

 

b) Per rappresentare la funzione

posso non utilizzare le conoscenze della derivata per la sua rappresentazione partendo dal grafico della funzione

che è:

” width=”1341″ height=”1034″ />

La moltiplicazione per 2 fa sì soltanto che sia un po’ più alta (si noti la linea rossa) e che tenda meno velocemente allo 0.

sommare 1 all’argomento della radice significa traslare all’indietro il grafico (linea blu identificata con la lettera h) con asintoto in x=-1

c) Risolvo adesso analiticamente la disequazione:

.

che diventa:

.

il dominio è dato dallo studio del sistema di disequazione fornito dagli argomenti dei due logaritmi ossia:

che mi dà come soluzione

torno alla disequazione che diventa:

.

Avendo la stessa base ed essendo questa maggiore di 1 posso studiare la disequazione:

.

Risolvo l’equazione associata:

.

per risolvere la disequazione di secondo grado uso il metodo della parabola ossia:

i punti d’intersezione con l’asse x sono le soluzioni precedentemente trovate.

I valori per cui la parabola è maggiore di zero sono i valori esterni ma ricordandomi anche il dominio che era:

la soluzione della disequazione diventa:

e

.

Per risolverla graficamente studio le seguenti due funzioni:

identificata con la linea rossa

e al funzione:

identificata con la linea blu.si nota infatti che la linea rossa è sopra a quella blu per i valori precedentemente trovati analiticamente.