Soluzione esercizi sulla circonferenza

6.1.1. Data la seguente equazione $x^2+y^{2}-2x-2y-2=0$ posso identificare $a=-2$ , $b=-2$ e $c=-2$ .

$-\cfrac{a}{2}=-\cfrac{-2}{2}=1$

$-\cfrac{b}{2}=-\cfrac{-2}{2}=1$

quindi il centro ha equazione:

$C(1;1)$

$r=\sqrt{\left(-\cfrac{a}{2}\right )^{2}+\left(-\cfrac{b}{2}\right )^{2}-c}=\sqrt{1+1+2}=\sqrt{4}=2$

A questo punto per rappresentare la circonferenza sul piano cartesiano fisso prima il centro e poi posso usare il raggio.

Posso inoltre determinare le intersezioni con gli assi impostando i seguenti due sistemi:

Per le intersezioni con l’asse delle y

$\left\{\begin{matrix} x=0\\ x^2+y^{2}-2x-2y-2=0 \end{matrix}\right.$

Per le intersezioni con l’asse delle x

$\left\{\begin{matrix} y=0\\ x^2+y^{2}-2x-2y-2=0 \end{matrix}\right.$

il primo sistema comporta il risolvere l’equazione:

$y^{2}-2y-2=0$

(equazioni di secondo grado) le cui soluzioni sono:

$y_{1,2}=1\pm \sqrt{3}$

il secondo sistema comporta il risolvere l’equazione:

$x^{2}-2x-2=0$

le cui soluzioni sono:

$x_{1,2}=1\pm \sqrt{3}$

Il grafico risulta quindi:

circo

6.2.1. Dati $C\left ( 1;1 \right ); r=2$ trovare l’equazione della circonferenza.

Si parte questa volta da questa forma della circonferenza:

$\left( x-\alpha\right )^{2}+\left (y-\beta\right )^{2}=r^{2}$

in cui $\alpha$ e $\beta$ sono le coordinate del centro ed $r$ è il valore del raggio.

Sostituendo quindi i dati del problema si ha:

$\left( x-1 )^{2}+\left (y-1 )^{2}=2^{2}$

sviluppando i prodotti notevoli ho:

$x^{2}-2x+1+y^{2}-2y+1=4$

riordino l’equazione:

$x^{2}+y^{2}-2x-2y+2-4=0$

$x^{2}+y^{2}-2x-2y-2=0$

che è la richiesta del problema

7.3.

Dato il centro ed un punto $C\left ( -2;0 \right ); P\left ( 1;-1 \right )$ per determinare l’equazione della circonferenza calcolo la distanza tra il centro C ed il punto P che rappresenta il raggio.

$r=\sqrt{\left ( -2-1 \right )^2+\left ( 0+1 \right )^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$

Adesso utilizzo la formula dato il centro ed il raggio che applicata diventa:

$\left ( x+2 \right )^2+\left ( y-0 \right )^2=\left ( \sqrt{10} \right )^2$

sviluppo le parentesi:

$x^2+4x+4+y^2=10$

$x^2+y^2+4x-6=0$

8.1. Equazione della circonferenza di diametro A e B.

$A\left ( -2,0 \right );B\left ( 4,2 \right )$

il punto medio è il centro della circonferenza e quindi risulta:

$C_{x}=\cfrac{-2+4}{2}=1$

$C_{y}=\cfrac{0+2}{2}=1$

quindi il centro risulta:

$C\left ( 1,1 \right )$

Adesso calcolo la distanza tra A e B ed il risultato lo divido per 2 e trovo il raggio.

$r=\cfrac{\sqrt{\left ( 4+2 \right )^2+\left ( 2-0 \right )^2}}{2}=\cfrac{\sqrt{\left ( 6\right )^2+\left ( 2)^2}}{2}=\cfrac{\sqrt{36+4}}{2}=\cfrac{\sqrt{40}}{2}$

Adesso uso la formula che permette di ricavare l’equazione della circonferenza dato il centro ed il raggio.

$\left ( x-1 \right )^2+\left ( y-1 \right )^2=\left ( \cfrac{\sqrt{40}}{2} \right )^2$

sviluppo le parentesi ed ho:

$x^2-2x+1+y^2-2y+1=\cfrac{40}{4}$

ordino i termini e sommo quelli simili:

$x^2+y^2-2x-2y-8=0$

9.1. Dati i seguenti tre punti calcolare l’equazione della circonferenza.

$A\left ( -1,0 \right ); B\left ( 2,0 \right ); C\left ( 1,1 \right )$

Si deve partire dal fatto che per verificare che un punto appartenga ad una funzione deve valere l’identità ossia se sostituisco le coordinate di un punto nell’equazione generica della circonferenza $x^2+y^2+ax+by+c=0$ devo trovare un’identità.

Sostituisco le coordinate di A:

$(-1)^2+(0)^2+(-1)\cdot a+(0)\cdot b+c=0$

$1-a+c=0$

Sostituisco le coordinate di B:

$(2)^2+(0)^2+(2)\cdot a+(0)\cdot b+c=0$

$4+2a+c=0$

Sostituisco le coordinate di C:

$(1)^2+(1)^2+(1)\cdot a+(1)\cdot b+c=0$

$1+1+a+b+c=0$

$2+a+b+c=0$

Ho tre equazioni in tre incognite e devo saper risolvere un sistema a tre equazioni in tre incognite.

Se si dovesse avere difficoltà nel risolvere il sistema d’equazioni andare a rivedersi il post:

sistemi d’equazione metodo della sostituzione

$\left\{\begin{matrix} 1-a+c=0\\4+2a+c=0 \\ 2+a+b+c=0 \end{matrix}\right.$

utilizzo appunto il metodo della sostituzione andando a sostituire il valore di c nella seconda e nella terza equazione.

$\left\{\begin{matrix} c=a-1\\4+2a+a-1=0 \\ 2+a+b+a-1=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} c=a-1\\3a+3=0 \\ 2a+b+1=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} c=a-1\\a=-1 \\ -2+b+1=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} c=a-1\\a=-1 \\ b=1 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} c=-2\\a=-1 \\ b=1 \end{matrix}\right.$

Adesso sostituisco i valori trovati nell’equazione generica della circonferenza:

$x^2+y^2-x+y-2=0$

che è il risultato voluto.

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