[:it]Maturità 2017: settimo quesito[:]

Pubblicato il 27 Giugno 2017 da admin

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Alex Alemany

Determinare le coordinate dei centri delle sfere di raggio \sqrt{6} tangenti sl piano \pi di equazione:

(1)   \begin{equation*} x+2y-z+1=0 \end{equation*}

nel suo punto P di coordinate (1,0,2).

Prerequisiti

  • conoscere l’equazione della sfera nello spazio
  • conoscere la formula che esprime la distanza di un punto da un piano
  • conoscere l’equazione della retta passante per un punto e perpendicolare ad un piano
  • conoscere la condizione di appartenenza di un punto ad una retta

Sviluppo

L’equazione di una retta passante per un punto in forma parametrica è:

(2)   \begin{equation*} \left\{\begin{matrix} x=x_{0}+lt \\ y=y_{0}+mt\\ z=z_{0}+nt \end{matrix}\right. \end{equation*}

l,m,n, rappresentano le coordinate del vettore direzione v(l,m,n) ossia quello parallelo alla retta.

L’equazione generale di un piano ha equazione:

(3)   \begin{equation*} ax+by+cz+d=0 \end{equation*}

i coefficienti a,b e c rappresentano le coordinate del vettore perpendicolare al piano.

Unendo queste due richiami teorici la retta passante per P(1,0,2) e perpendicolare al piano \pi: x+2y-z+1=0 in forma parametrica è:

(4)   \begin{equation*} \left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2t\\ z=2-t \end{matrix}\right. \end{equation*}

La formula della sfera è:

(5)   \begin{equation*} \left ( x-\alpha \right )^2+\left ( y-\beta \right )^2+\left ( z-\gamma \right )^2=r^{2} \end{equation*}

con C\left ( \alpha ,\beta ,\gamma \right ) centro della sfera ed r raggio della sfera.

applicandola si ha:

(6)   \begin{equation*} \left ( x-\alpha \right )^2+\left ( y-\beta \right )^2+\left ( z-\gamma \right )^2=6 \end{equation*}

Adesso richiamo la formula della distanza di un punto da un piano:

(7)   \begin{equation*} d=\cfrac{\left | ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} \end{equation*}

con a,b,c i coefficienti del piano (3) e P(x_{0},y_{0},z_{0}) il punto P di cui si vuole conoscere la distanza dal piano stesso.

Applicandola sapendo che la distanza tra il centro C\left ( \alpha ,\beta ,\gamma \right ) e il piano \pi: x+2y-z+1=0 vale \sqrt{6}:

(8)   \begin{equation*} d=\cfrac{\left | \alpha \cdot 1+\beta \cdot 2+\gamma \cdot -1 +1 \right |}{\sqrt{1+4+1}}}=\sqrt{6} \end{equation*}

Il centro C\left ( \alpha ,\beta ,\gamma \right ) appartiene alla retta trovata (4) per cui essa diventa:

(9)   \begin{equation*} \left\{\begin{matrix} \alpha =1+t \\ \beta =2t\\ \gamma=2-t \end{matrix}\right. \end{equation*}

adesso esprimo t in funzione delle coordinate del centro

(10)   \begin{equation*} \left\{\begin{matrix} t=\alpha-1 \\ \beta =2\alpha-2\\ \gamma=3-\alpha \end{matrix}\right. \end{equation*}

Adesso sostituisco i valori trovati nella (8) ed ho:

(11)   \begin{gather*} \cfrac{\left | \alpha+2(2\alpha-2)-3+\alpha+1 \right |}{\sqrt{1+4+1}}=\sqrt{6} \\ \left | 6\alpha -6 \right |=6 \\ \left | \alpha -1 \right |=1 \end{gather*}

Sapendo che in generale

(12)   \begin{equation*} \left | x \right |=\left\{\begin{matrix} x & x\geqslant 0\\ -x & x<0 \end{matrix}\right. \end{equation*}

la applico:

(13)   \begin{equation*} \left | \alpha -1 \right |=\left\{\begin{matrix} \alpha -1 & \alpha \geqslant 1\\ -\alpha +1 & \alpha <1 \end{matrix}\right. \end{equation*}

quindi ho due equazioni:

(14)   \begin{gather*} \alpha -1=1 \\ \alpha =2 \end{gather*}

e

(15)   \begin{gather*} -\alpha +1=1 \\ \alpha =0 \end{gather*}

i due centri hanno equazione:

(16)   \begin{equation*} C_{1}\left ( 0,-2,3 \right ) \end{equation*}

e

(17)   \begin{equation*} C_{2}\left ( 2,2,1 \right ) \end{equation*}

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