I monomi e polinomi: moltiplicazione

Pubblicato il 19 Marzo 2012 da admin

[:it]

samy charnine

Semplificare le seguenti espressioni:

la difficoltà di questi prodotti è nel cercare di ricordare le seguenti due proprietà delle potenze:

  •  lo sviluppo del prodotto è sommare gli esponenti
  •  lo sviluppo dell’elevazione alla potenza è il prodotto degli esponenti.
  • Al termine bisogna sommare i termini SIMILI ossia quelli con la parte letterale uguale.
  • Se si ricorda poi che 2\cdot(8+4)=2\cdot8+2\cdot4 ossia moltiplico per due prima l’8 e poi il 4, si riesce a sviluppare il prodotto tra monomi e polinomi.
6.1. 2a\left(a+b\right)-2b\left(a-8\right)-2\left(a^{2}+b^{2}\right) [16b-2b^{2}]
6.2. x\left(x+1\right)+3x\left(x+2\right)-5\left(x+4\right) [4x^{2}+2x-20]
6.3. x\left(x+y\right)+y\left(x-y\right)+y\left(y-1\right)+y [x^{2}+2xy]
6.4. a^{2}\left(a+b+1\right)-a\left(a-b\right)-b\left(a^{2}-1\right)-ab [a^{3}+b]
6.5. -3ab\left(a^{2}+b^{2}\right)+ab\left(a^{2}-b^{2}\right)+2ab\left(a^{2}+2b^{2}\right) [0]
6.6. (4x^{3}-5x^{2}+2)+(-3x^{2}+2x^{2}-2) [4x^{3}-6x^{2}]
6.7. (-8a^{5}+6a^{3}+3a-2)+(5a^{5}-3a^{3}+2a) [-3a^{5}+3a^{3}+5a]
6.8. (3a^{3}+5a^{2}-2a+1)-(3a^{3}-2a^{2}+5a-7) [6a^{2}+3a-6-3a^{3}]
6.9. (3x^{3}-4y^{2})+(5y^{2}-4x^{3})+(x^{3}-y^{3}) [y^{2}-y^{3}]
6.10. (10a^{2}b+5ab^{2}+3ab)+(7ab^{2}-5a^{2}b+2a^{2}b) [7a^{2}b+15ab^{2}]
6.11. 6(x^{2}-2y) [6x^{2}-12y]
6.12. (-2)\cdot(-3xy+2) [6xy-4]
6.13. -\cfrac{1}{6}(2a-3x) [-\cfrac{1}{3}a+\cfrac{1}{2}x]
6.14. 3(-\cfrac{1}{9}x^{2}-2x) [-\cfrac{1}{3}x^{2}-6x]
6.15. a(x+a) [ax+a^{2}]
6.16. b(by-1) [b^{2}y-b]
6.17. (-xy)\cdot(-2x+y) [2x^{2}y-xy^{2}]
6.18. 2a(-a^{3}+8ax) [-2a^{4}+16a^{2}x]
6.19. (-4x^{2}y)\cdot(-x^{3}+2xy-y) [4x^{5y}-8x^{3}y^{2}+4x^{2}y^{2}]
6.20. (a^{3}-2a^{2}+1)2a^{2} [2a^{5}-4a^{4}+2a^{2}]
6.21. (-2x^{2})\cdot\left ( -x^{4}-2x^{2}+\cfrac{1}{2}x+4 \right ) [2x^{6}+4x^{4}-x^{3}-8x^{2}]
6.22. -\cfrac{1}{3}x^{2}\left ( \cfrac{1}{4}x^{2}-\cfrac{9}{2}x+6 \right ) [-\cfrac{1}{12}x^{4}+\cfrac{3}{2}x^{3}-2x^{2}]

 [:en]Semplificare le seguenti espressioni:

[tra le parentesi quadre vi sono le soluzioni]

La difficoltà di questi prodotti è nel cercare di ricordare le seguenti due proprietà delle potenze:

  •  lo sviluppo del prodotto è sommare gli esponenti
  •  lo sviluppo dell’elevazione alla potenza è il prodotto degli esponenti.
  • Al termine bisogna sommare i termini SIMILI ossia quelli con la parte letterale uguale.
  • Se si ricorda poi che 2\cdot(8+4)=2\cdot8+2\cdot4 ossia moltiplico per due prima l’8 e poi il 4, si riesce a sviluppare il prodotto tra monomi e polinomi.

1) 2a\left(a+b\right)-2b\left(a-8\right)-2\left(a^{2}+b^{2}\right) Ris [16b-2b^{2}]

2) x\left(x+1\right)+3x\left(x+2\right)-5\left(x+4\right) Ris [4x^{2}+2x-20]

3) x\left(x+y\right)+y\left(x-y\right)+y\left(y-1\right)+y Ris [x^{2}+2xy]

4) a^{2}\left(a+b+1\right)-a\left(a-b\right)-b\left(a^{2}-1\right)-ab Ris [a^{3}+b]

5) -3ab\left(a^{2}+b^{2}\right)+ab\left(a^{2}-b^{2}\right)+2ab\left(a^{2}+2b^{2}\right) Ris [0]

6) (4x^{3}-5x^{2}+2)+(-3x^{2}+2x^{2}-2) Ris [4x^{3}-6x^{2}]

7) (-8a^{5}+6a^{3}+3a-2)+(5a^{5}-3a^{3}+2a) Ris [-3a^{5}+3a^{3}+5a]

8) (3a^{3}+5a^{2}-2a+1)-(3a^{3}-2a^{2}+5a-7) Ris [6a^{2}+3a-6-3a^{3}]

9) (3x^{3}-4y^{2})+(5y^{2}-4x^{3})+(x^{3}-y^{3}) Ris [y^{2}-y^{3}]

10) (10a^{2}b+5ab^{2}+3ab)+(7ab^{2}-5a^{2}b+2a^{2}b) Ris [7a^{2}b+15ab^{2}]

11) 6(x^{2}-2y) Ris [6x^{2}-12y]

12) (-2)\cdot(-3xy+2) Ris [6xy-4]

13) -\cfrac{1}{6}(2a-3x) Ris [-\cfrac{1}{3}a+\cfrac{1}{2}x]

14) 3(-\cfrac{1}{9}x^{2}-2x) [-\cfrac{1}{3}x^{2}-6x]

15) a(x+a) Ris [ax+a^{2}]

16) b(by-1) Ris [b^{2}y-b]

17) (-xy)\cdot(-2x+y) Ris [2x^{2}y-xy^{2}]

18) 2a(-a^{3}+8ax) Ris [-2a^{4}+16a^{2}x]

19) (-4x^{2}y)\cdot(-x^{3}+2xy-y) Ris [4x^{5y}-8x^{3}y^{2}+4x^{2}y^{2}]

20) (a^{3}-2a^{2}+1)2a^{2} Ris [2a^{5}-4a^{4}+2a^{2}]

21) (-2x^{2})\cdot\left ( -x^{4}-2x^{2}+\cfrac{1}{2}x+4 \right ) Ris [2x^{6}+4x^{4}-x^{3}-8x^{2}]

22) -\cfrac{1}{3}x^{2}\left ( \cfrac{1}{4}x^{2}-\cfrac{9}{2}x+6 \right ) Ris [-\cfrac{1}{12}x^{4}+\cfrac{3}{2}x^{3}-2x^{2}][:de]Semplificare le seguenti espressioni:

[tra le parentesi quadre vi sono le soluzioni]

La difficoltà di questi prodotti è nel cercare di ricordare le seguenti due proprietà delle potenze:

  •  lo sviluppo del prodotto è sommare gli esponenti
  •  lo sviluppo dell’elevazione alla potenza è il prodotto degli esponenti.
  • Al termine bisogna sommare i termini SIMILI ossia quelli con la parte letterale uguale.
  • Se si ricorda poi che 2\cdot(8+4)=2\cdot8+2\cdot4 ossia moltiplico per due prima l’8 e poi il 4, si riesce a sviluppare il prodotto tra monomi e polinomi.

1) 2a\left(a+b\right)-2b\left(a-8\right)-2\left(a^{2}+b^{2}\right) Ris [16b-2b^{2}]

2) x\left(x+1\right)+3x\left(x+2\right)-5\left(x+4\right) Ris [4x^{2}+2x-20]

3) x\left(x+y\right)+y\left(x-y\right)+y\left(y-1\right)+y Ris [x^{2}+2xy]

4) a^{2}\left(a+b+1\right)-a\left(a-b\right)-b\left(a^{2}-1\right)-ab Ris [a^{3}+b]

5) -3ab\left(a^{2}+b^{2}\right)+ab\left(a^{2}-b^{2}\right)+2ab\left(a^{2}+2b^{2}\right) Ris [0]

6) (4x^{3}-5x^{2}+2)+(-3x^{2}+2x^{2}-2) Ris [4x^{3}-6x^{2}]

7) (-8a^{5}+6a^{3}+3a-2)+(5a^{5}-3a^{3}+2a) Ris [-3a^{5}+3a^{3}+5a]

8) (3a^{3}+5a^{2}-2a+1)-(3a^{3}-2a^{2}+5a-7) Ris [6a^{2}+3a-6-3a^{3}]

9) (3x^{3}-4y^{2})+(5y^{2}-4x^{3})+(x^{3}-y^{3}) Ris [y^{2}-y^{3}]

10) (10a^{2}b+5ab^{2}+3ab)+(7ab^{2}-5a^{2}b+2a^{2}b) Ris [7a^{2}b+15ab^{2}]

11) 6(x^{2}-2y) Ris [6x^{2}-12y]

12) (-2)\cdot(-3xy+2) Ris [6xy-4]

13) -\cfrac{1}{6}(2a-3x) Ris [-\cfrac{1}{3}a+\cfrac{1}{2}x]

14) 3(-\cfrac{1}{9}x^{2}-2x) [-\cfrac{1}{3}x^{2}-6x]

15) a(x+a) Ris [ax+a^{2}]

16) b(by-1) Ris [b^{2}y-b]

17) (-xy)\cdot(-2x+y) Ris [2x^{2}y-xy^{2}]

18) 2a(-a^{3}+8ax) Ris [-2a^{4}+16a^{2}x]

19) (-4x^{2}y)\cdot(-x^{3}+2xy-y) Ris [4x^{5y}-8x^{3}y^{2}+4x^{2}y^{2}]

20) (a^{3}-2a^{2}+1)2a^{2} Ris [2a^{5}-4a^{4}+2a^{2}]

21) (-2x^{2})\cdot\left ( -x^{4}-2x^{2}+\cfrac{1}{2}x+4 \right ) Ris [2x^{6}+4x^{4}-x^{3}-8x^{2}]

22) -\cfrac{1}{3}x^{2}\left ( \cfrac{1}{4}x^{2}-\cfrac{9}{2}x+6 \right ) Ris [-\cfrac{1}{12}x^{4}+\cfrac{3}{2}x^{3}-2x^{2}][:]

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Scomposizione delle equazioni di secondo grado e di grado n-esimo

Pubblicato il 10 Marzo 2012 da admin

Una proprietà delle equaioni di secondo grado ma di ogni equazione di grado n-esimo e che può sempre essere scomposta come il prodotto di tanti binomi quanto è il grado del polinomio di partenza.

Per le equazioni di secondo grado vale SEMPRE la seguente relazione:

ax^{2}+bx+c=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )

dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni della realtiva equazione di secondo grado.

Ad esempio :

x^{2}-3x+2=0 ha soluzione 1 e 2

allora può essere scritta come

(x-1)(x-2)

A puro titolo teorico per complettezza si può sempre dire:

a_{0}x^{n}+a_{2}x^{n-1}+x^{n-2}+...+a_{n}x^{0}=a_{0}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdot...\cdot(x-x_{n})

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I monomi e polinomi: esercizi con coefficienti interi

Pubblicato il 7 Marzo 2012 da admin

[:it]

samy charnine

Ancora altri esercizi sulla somma, ricordarsi la regola:

  • prima i segni
  • dopo i numeri
  • infine il prodotto delle lettere (somma degli esponenti)
6.1. 2x-(-3x)+(-5x)-y-(-y) [0]
6.2. -2a-(-3a)+4-(+b)-(-3b)-a-2b [4]
6.3. x^{2}+y^{2}+z^{2}-(-x^{2})+(-y^{2})-(+z^{2})-2x^{2} [0]
6.4. 3a+3ab-10a-2ab-10a-2ab [-17a-ab]
6.5. 2a^{2}-8a^{2}b+9a^{2}b+6a^{2} [8a^{2}+a^{2}b]
6.6. -xy-15x+7y+21xy [20xy-15x+7y]
6.7. a^{2}+7a^{2}b-4a^{2}-2ab^{2}-6a^{2}-5a^{2}b [-9a^{2}+2a^{2}b-2ab^{2}]

[:en]

(1) 2x-(-3x)+(-5x)-y-(-y)      [0]

(2) -2a-(-3a)+4-(+b)-(-3b)-a-2b  [4]

(3) x^{2}+y^{2}+z^{2}-(-x^{2})+(-y^{2})-(+z^{2})-2x^{2} [0]

(4) 3a+3ab-10a-2ab-10a-2ab [-7a+ab]

(5) 2a^{2}-8a^{2}b+9a^{2}b+6a^{2} [8a^{2}+a^{2}b]

(6) -xy-15x+7y+21xy [20xy-15x+7y]

(7) a^{2}+7a^{2}b-4a^{2}-2ab^{2}-6a^{2}-5a^{2}b [-9a^{2}+2a^{2}b-2ab^{2}][:de]

(1) 2x-(-3x)+(-5x)-y-(-y)      [0]

(2) -2a-(-3a)+4-(+b)-(-3b)-a-2b  [4]

(3) x^{2}+y^{2}+z^{2}-(-x^{2})+(-y^{2})-(+z^{2})-2x^{2} [0]

(4) 3a+3ab-10a-2ab-10a-2ab [-7a+ab]

(5) 2a^{2}-8a^{2}b+9a^{2}b+6a^{2} [8a^{2}+a^{2}b]

(6) -xy-15x+7y+21xy [20xy-15x+7y]

(7) a^{2}+7a^{2}b-4a^{2}-2ab^{2}-6a^{2}-5a^{2}b [-9a^{2}+2a^{2}b-2ab^{2}][:]

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Soluzioni sulle conclusioni sui numeri razionali

Pubblicato il 7 Marzo 2012 da admin

 

(1) \cfrac{\left(\cfrac{3}{4}-0,0\overline{3}\right)\cdot\cfrac{3}{43}+\left(2,\overline{4}-1,2\right)\cdot\cfrac{9}{7}-\cfrac{8}{5}}{\left[\cfrac{2,3-2,\overline{15}}{0,2+1,\overline{3}}\cdot\left(5+\cfrac{8}{49}\right)+\cfrac{3}{4}\right]:\left(1+\cfrac{1}{4}\right)}+\cfrac{4}{0,\overline{2}+1,2}

quindi

\cfrac[l]{\left(\cfrac{3}{4}-\cfrac{3}{90}\right)\cdot\cfrac{3}{43}+\left(\cfrac[l]{24-2}{9}-\cfrac[l]{12}{10}\right)\cdot\cfrac{9}{7}-\cfrac[l]{8}{5}}{\left[\cfrac{\cfrac{23}{10}-\cfrac{215-2}{99}}{\cfrac{2}{10}+\cfrac{13-1}{9}}\cdot\left(5+\cfrac{8}{49}\right)+\cfrac{3}{4}\right]:\left(\cfrac{5}{4}\right)}+\cfrac{4}{\cfrac{2}{9}+\cfrac{12}{10}}

quindi

\cfrac[l]{\left(\cfrac{3}{4}-\cfrac{1}{30}\right)\cdot\cfrac{3}{43}+\left(\cfrac[l]{22}{9}-\cfrac[l]{6}{5}\right)\cdot\cfrac{9}{7}-\cfrac[l]{8}{5}}{\left[\cfrac{\cfrac{23}{10}-\cfrac{213}{99}}{\cfrac{1}{5}+\cfrac{12}{9}}\cdot\left(\cfrac{253}{49}\right)+\cfrac{3}{4}\right]\cdot\left(\cfrac{4}{5}\right)}+\cfrac{4}{\cfrac{20+108}{90}}

passaggio successivo

\cfrac[l]{\left(\cfrac{45-2}{60}\right)\cdot\cfrac{3}{43}+\left(\cfrac[l]{110-54}{45}\right)\cdot\cfrac{9}{7}-\cfrac[l]{8}{5}}{\left[\cfrac{\cfrac{23}{10}-\cfrac{71}{33}}{\cfrac{1}{5}+\cfrac{12}{9}}\cdot\left(\cfrac{253}{49}\right)+\cfrac{3}{4}\right]\cdot\left(\cfrac{4}{5}\right)}+\cfrac{4}{\cfrac{128}{90}}

e quindi

\cfrac[l]{\left(\cfrac{43}{60}\right)\cdot\cfrac{3}{43}+\left(\cfrac[l]{56}{45}\right)\cdot\cfrac{9}{7}-\cfrac[l]{8}{5}}{\left[\cfrac{\cfrac{759-710}{330}}{\cfrac{9+60}{45}}\cdot\left(\cfrac{253}{49}\right)+\cfrac{3}{4}\right]\cdot\left(\cfrac{4}{5}\right)}+4\cdot\cfrac{90}{128}

e

\cfrac[l]{\cfrac{1}{20}+\cfrac{8}{5}-\cfrac[l]{8}{5}}{\left[\cfrac{\cfrac{49}{330}}{\cfrac{69}{45}}\cdot\left(\cfrac{253}{49}\right)+\cfrac{3}{4}\right]\cdot\left(\cfrac{4}{5}\right)}+\cfrac{90}{32}

e

\cfrac[l]{\cfrac{1}{20}}{\left[\cfrac{49}{330}\cdot\cfrac{45}{69}\cdot\left(\cfrac{253}{49}\right)+\cfrac{3}{4}\right]\cdot\left(\cfrac{4}{5}\right)}+\cfrac{90}{32}

e

\cfrac[l]{\cfrac{1}{20}}{\left[\cfrac{1}{2}+\cfrac{3}{4}\right]\cdot\left(\cfrac{4}{5}\right)}+\cfrac{90}{32}

e

\cfrac[l]{\cfrac{1}{20}}{\left[\cfrac{5}{4}\right]\cdot\left(\cfrac{4}{5}\right)}+\cfrac{90}{32}

e

\cfrac{1}{20}+\cfrac{90}{32}=\cfrac{32+1800}{640}

ed infine

\cfrac{1832}{640}=\cfrac{229}{80}

(2) \cfrac{\left[\left(2+\cfrac{1}{2}\right)^{2}\cdot\left(3-\cfrac{4}{3}\right)^{2}\cdot\left(-1-\cfrac{1}{5}\right)^{2}\right]^{-1}:\left(-1+\cfrac{4}{5}\right)^{2}}{\cfrac{1}{2}\cdot\left(-\cfrac{1}{3}\right)^{-2}+\left(\cfrac{1}{4}\right)^{2}\cdot\left(1-\cfrac{3}{8}\right)^{-2}:\left(1-\cfrac{3}{5}\right)^{2}-\cfrac{5}{2}}

Risultato \cfrac[l]{1}{3}

\cfrac{\left[\left(\cfrac{5}{2}\right)^{2}\cdot\left(\cfrac{5}{3}\right)^{2}\cdot\left(-\cfrac{6}{5}\right)^{2}\right]^{-1}:\left(-\cfrac{1}{5}\right)^{2}}{\cfrac{1}{2}\cdot9+\cfrac{1}{4^{2}}\cdot\left(\cfrac{5}{8}\right)^{-2}:\left(\cfrac{2}{5}\right)^{2}-\cfrac{5}{2}}

e

\cfrac{\left[\cfrac{5^{2}}{2^{2}}\cdot\cfrac{5^{2}}{3^{2}}\cdot\cfrac{6^{2}}{5^{2}}\right]^{-1}\cdot5^{2}}{\cfrac{9}{2}+\cfrac{1}{4^{2}}\cdot\cfrac{8^{2}}{5^{2}}\cdot\cfrac{5^{2}}{2^{2}}-\cfrac{5}{2}}

ed infine

\cfrac{5^{-2}\cdot5^{2}}{\cfrac{9}{2}+1-\cfrac{5}{2}}=\cfrac{1}{\cfrac{9+2-5}{2}}=\cfrac{1}{\cfrac{12}{6}}=\cfrac{1}{3}

Come conclusione

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Ellisse: formula di sdoppiamento

Pubblicato il 6 Marzo 2012 da admin

Salvador Dalì – “Smaterializzazione del naso di Nerone”, 1947

La formula di sdoppiamento viene utilizzata per:

DETERMINARE LA RETTA TANGENTE AD UN’ELLISSE IN UN PUNTO CHE APPARTIENE ALL’ELLISSE STESSA

Eccola:

\cfrac{xx_{0}}{a^{2}}+\cfrac{yy{_{0}}}{b^{2}}=1

L’equazione dell’ellisse è:

(1) \cfrac{x^{2}}{a^{2}}+\cfrac{y^{2}}{b^{2}}=1

il punto P(x_{0};y_{0}) appartiene all’ellisse per cui è soddisfatta la seguente identità:

(2) \cfrac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\cfrac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1

Sottraggo la (2) alla (1) e risulta:

(3) \cfrac{x^{2}-x^{2}_{0}}{a^{2}}+\cfrac{y^{2}-y^{2}_{0}}{b^{2}}=0

semplifico e sviluppo i due binomi tra parentesi come la differenza di binomi:

(4) \cfrac{(x-x_{0})(x+x_{0})}{a^{2}}+\cfrac{(y-y_{0})(y+y_{0})}{b^{2}}=0

Considerando adesso che l’equazione della retta passante per il punto P ha equazione:

(5) y-y{_{0}}=m\left ( x-x_{0} \right )

sostituisco la (5) nella (4), quest’ultima diventa:

(6) \cfrac{(x-x_{0})(x+x_{0})}{a^{2}}+\cfrac{m(x-x_{0})(y+y_{0})}{b^{2}}=0

posso dividere il tutto per (x-x_{0})

e la (6) diventa:

(7) \cfrac{(x+x_{0})}{a^{2}}+\cfrac{m(y+y_{0})}{b^{2}}=0

siccome il punto P appartiene a questa curva sostituendo le sue coordinate la (7) diventa:

(8) \cfrac{(x{_{0}}+x_{0})}{a^{2}}+\cfrac{m(y{_{0}}+y_{0})}{b^{2}}=0

sviluppando i monomi si ha:

(9) \cfrac{(2x{_{0}})}{a^{2}}+\cfrac{m(2y{_{0}})}{b^{2}}=0

Risolvendola rispetto all’incognita m ho:

(10) m=-\cfrac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}

Sostituendo adesso la (10) nell’equazione generica della retta (5) si ha:

(11) y-y_{0}=-\cfrac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}\cdot \left ( x-x_{0} \right )

(12) (y-y_{0})\cdot a^{2}y_{0} =-b^{2}x_{0}\cdot \left ( x-x_{0} \right )

(13) yy_{0}a^{2}-a^{2}y^{2}_{0}+b^{2}xx_{0}-b^{2}x_{0}^{2}=0 ordinandola

(14) b^{2}xx_{0}+yy_{0}a^{2}-b^{2}x_{0}^{2}-a^{2}y^{2}_{0}=0 e sapendo dalla (3) che:

(15) b^{2}x_{0}^{2}+a^{2}y^{2}_{0}=a^{2}b^{2}

sostuendo la (15) nella (14) si ha:

(16) b^{2}xx_{0}+yy_{0}a^{2}-a^{2}b^{2}=0

adesso dividendo entrambi membri per a^{2}b^{2}

ho proprio la formula che cercavo ossia:

(17) \cfrac{xx_{0}}{a^{2}}+\cfrac{yy{_{0}}}{b^{2}}=1

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Soluzioni: dai decimali alle frazioni

Pubblicato il 6 Marzo 2012 da admin

Renè Magritte – 1935 – “La condizione umana”

(1.a) 3,757=\cfrac{3757}{1000}

(1.b) 8,\overline{35}=\cfrac{835-8}{99}=\cfrac{827}{99}

(1.c) 37,45\overline{8}=\cfrac{37458-3745}{900}=\cfrac{33713}{900}

(1.d) 127,35=\cfrac{12735}{100}

(1.e) 14,\overline{87}=\cfrac{1487-14}{99}=\cfrac{1473}{99}

(1.f) 0,32\overline{75}=\cfrac{3275-32}{9900}=\cfrac{3243}{9900}

(1.g) 4,\overline{513}=\cfrac{4513-4}{999}=\cfrac{4509}{999}

(2.a) \cfrac{15}{21}=0,714

(2.b) \cfrac{140}{45}=3,\overline{1}

(2.c) \cfrac{27}{20}=1,35

(2.d) \cfrac{74}{18}=4.\overline{1}

(2.e) \cfrac{5}{12}=0,41\overline{6}

(2.f) \cfrac{13}{4}=3,25

(3.a) 0,\overline{3}:\left (5-\cfrac{1}{3}\right )+0,25=\cfrac{3}{9}:\left ( \cfrac{15-1}{3} \right )+\cfrac{25}{100}

\cfrac{1}{3}:\left ( \cfrac{14}{3} \right )+\cfrac{1}{4}=\cfrac{1}{3}\cdot \left ( \cfrac{3}{14} \right )+\cfrac{1}{4}

\cfrac{1}{14}+\cfrac{1}{4}=\cfrac{2+7}{28}=\cfrac{9}{28}

(3.b) \cfrac{9}{20}-0,2+0,125:\left ( \cfrac{3}{4}-0,25 \right )=\cfrac{9}{20}-\cfrac{2}{10}+\cfrac{125}{1000}:\left ( \cfrac{3}{4}-\cfrac{25}{100} \right )

\cfrac{9}{20}-\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{8}:\left ( \cfrac{3}{4}-\cfrac{1}{4} \right )= \cfrac{9}{20}-\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{8}:\left ( \cfrac{2}{4} \right )

\cfrac{9}{20}-\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{8}\cdot 2=\cfrac{9}{20}-\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{4}

\cfrac{9-4+5}{20}=\cfrac{10}{20}=\cfrac{1}{2}

(3.c) \left ( 0,\overline{6}-0,6 \right ):0,\overline{1}+(0,\overline{3}-0,3)\cdot \cfrac{9}{2}=\left ( \cfrac{6}{9}-\cfrac{6}{10} \right ):\cfrac{1}{9}+\left ( \cfrac{3}{9}-\cfrac{3}{10} \right )\cdot \cfrac{9}{2}

\left (\cfrac{60-54}{90} \right )\cdot 9+\left ( \cfrac{30-27}{90} \right )\cdot \cfrac{9}{2}=\cfrac{6}{90}\cdot9+\cfrac{3}{90}\cdot \cfrac{9}{2}

\cfrac{6}{10}+\cfrac{3}{20}=\cfrac{12+3}{20}=\cfrac{15}{20}=\cfrac{3}{4}

(4) Leggendo il testo si nota che tutti i dati si riferiscono a promossi a prescindere che questi lo siano stati a giugno (“per merito”) o a settembre(“debito formativo”). Sommo le rispettive percentuai e trovo che 67+10+15+8=100 ossia la totalità è stata promossa. I respinti quindi non ve ne saranno.

(5) 2,3 cm = 0,023 m

100 mm = 10 cm

23,45 dm = 0,02345 hm

4,5 km = 4500 m

34,56 l = 3456 cl

4,5 g = 0,45 dag

134,5 KB = 0,1345 MB

5 GB = 5.000.000 KB

(6) Il perimetro è datto da P=5+6+5+6=22

(7) Area del triangolo isocele A=\cfrac{b\cdot h}{2} sostituendo i valori dati ho: A=\cfrac{10\cdot 5}{2}=25

Per determinare il perimetro devo trovare il valore dei lati obliqui ossia applicare il teorema di pitagora conoscendo la lunghezza dei due cateti che sono entrambi 5. Infatti metà della base lunga 10 fa proprio 5.

Lato_obliquo =\sqrt{5^{2}+5^{2}}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}

Il perimetro sarà quindi:

P=\sqrt{50}+\sqrt{50}+10=2\cdot \sqrt{50}+10

(8) Si ha un trapezio scaleno ossia con tutti e quattro i lati diversi. Il perimetro è la somma dei quattro lati:

P=6+3+3,4+3,04=15,44

Alla base delle attuali conoscenza non si riesce a calcolare l’altezza per cui per calcolare l’area manca il dato sull’altezza.

(9) Partendo dalla domanda.

  • Devo coprire un’area con le singole zolle di cui ho le dimensioni.
  • L’area coperta da ogni singola zolla è: 20\cdot30=600cm^{2}. Se conosco l’area che dovrò coprire posso dividerla per l’area coperta da ogni singola piastrella .
  • Dell’area conosco il perimetro e la forma.
  • Dal perimetro e sapendo che è un quadrato conosco il lato lato=\cfrac{121}{4}=30,25
  • Adesso posso calcolare l’area ossia A=30,251\cdot30,25=915,0625
  • Adesso divido l’area dell’appezzamento per l’area della singola zolla ricordandomi che la zolla è in  m^{2}
  • 1 m= 100cm per cui 1 m^{2}=100cdot100cm^{2}=10.000cm^{2}
  • L’area da coprire con le zolle è 915,0625m^{2}=9150625cm^{2}
  • Il risultato è nz=\cfrac{9150625}{30,25}=302500
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Conclusione sui numeri razionali

Pubblicato il 6 Marzo 2012 da admin

Si calcoli il valore delle seguenti espressioni:

(1) \cfrac{\left(\cfrac{3}{4}-0,0\overline{3}\right)\cdot\cfrac{3}{43}+\left(2,\overline{4}-1,2\right)\cdot\cfrac{9}{7}-\cfrac{8}{5}}{\left[\cfrac{2,3-2,\overline{15}}{0,2+1,\overline{3}}\cdot\left(5+\cfrac{8}{49}\right)+\cfrac{3}{4}\right]:\left(1+\cfrac{1}{4}\right)}+\cfrac{4}{0,\overline{2}+1,2} Risultato \cfrac{229}{80}

(2) \cfrac{\left[\left(2+\cfrac{1}{2}\right)^{2}\cdot\left(3-\cfrac{4}{3}\right)^{2}\cdot\left(-1-\cfrac{1}{5}\right)^{2}\right]^{-1}:\left(-1+\cfrac{4}{5}\right)^{2}}{\cfrac{1}{2}\cdot\left(-\cfrac{1}{3}\right)^{-2}+\left(\cfrac{1}{4}\right)^{2}\cdot\left(1-\cfrac{3}{8}\right)^{-2}:\left(1-\cfrac{3}{5}\right)^{2}-\cfrac{5}{2}} Risultato \cfrac[l]{1}{3}

Risolvi i seguenti problemi

(3) La differenza tra la base e  l’altezza di un triangolo è di 26,6 cm. Sapendo che l’altezza è i \cfrac[l]{3}{5} della base, determinare l’area del triangolo.

(4) Un ragazzo riesce a montare un computer in 6 ore, mentre un suo amico ne impiega 3. In quanto tempo riescono ad assemblare 5 computer, lavorando assiene?

(5) Due amici abitano su uno stesso viale, ma da parti opposte. Dopo essersi chiamati con il cellualre, escono da casa per incontrarsi. Trascorso un certo tempo, il primo ragazzo ha percorso i \cfrac[l]{2}{5} della strada e il secondo i \cfrac[l]{3}{7} e la loro distanza è di 600m. Quanto è lungo il viale?

(6) Ordina in senso crescente i seguenti sei numeri razionali, poi scrivi il quarto numero.

\left(0,2\right)^{2} ; 0,2 ; 0,\overline{2} ; \left(0,\overline{2}\right)^{2} ; \cfrac{1}{0,2} ; \cfrac{1}{0,\overline{2}}

(7) Cosa si intende per notazione scientifica e fai dieci esempi di un suo utilizzo.

(8) Perchè sono utili le frazioni?

[SOLUZIONI]

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Circonferenza: formula di sdoppiamento

Pubblicato il 5 Marzo 2012 da admin

Salvador Dalì – “Afrodite”

La formula di sdoppiamento viene utilizzata per

DETERMINARE LA RETTA TANGENTE ALLA CIRCONFERENZA IN UN PUNTO CHE APPARTIENE ALLA CIRCONFERENZA

Eccola:

x\cdot x_{0}+y\cdot y_{0}+a\left(\cfrac{x+x_{0}}{2}\right)+b\left(\cfrac{y+y_{0}}{2}\right)+c=0

DIMOSTRAZIONE

L’equazione della circonferenza è:

(1) x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0

il punto P(x_{0},y_{0}) appartiene alla circonferenza per cui è soddisfatta la seguente identità:

(2) x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+ax_{0}+by_{0}+c=0

Sottraggo la seconda alla prima e si ha:

(3) (x^{2}-x_{0}^{2})+(y^{2}-y_{0}^{2})+ax-ax_{0}+by-by_{0}+c-c=0

semplifico, sviluppo i due binomi tra parentesi come la differenza di binomi e raggruppo diventa:

(4) (x-x_{0})(x+x_{0})+(y-y_{0})(y+y_{0})+a(x-x_{0})+b(y-y_{0})=0

Considerando adesso che l’equazione della retta passante per il punto P ha equazione:

(5) y-y_{0}=m(x-x_{0})

sostituisco la (5) nella (4), quest’ultima diventa:

(6) (x-x_{0})(x+x_{0})+m(x-x_{0})(y+y_{0})+a(x-x_{0})+bm(x-x_{0})=0

posso dividere il tutto per (x-x_{0})

e la (6) diventa:

(7) (x+x_{0})+m(y+y_{0})+a+bm=0

siccome il punto P appartiene a questa curva sostituendo le sue coordinate la (7) diventa:

(8) (x_{0}+x_{0})+m(y_{0}+y_{0})+a+bm=0 sviluppando le parentesi

(9) x_{0}+x_{0}+my_{0}+my_{0}+a+bm=0 sommando i monomi uguali ho:

(10) 2x_{0}+2my_{0}+a+bm=0 risolvendola rispetto la variabile m:

(11) m=-\cfrac{a+2x_{0}}{b+2y_{0}}.

Ultimo passo è sostituire la (11) nell’equazione generica della retta (5) che diventa:

(12) y-y_{0}=-\cfrac{a+2x_{0}}{b+2y_{0}}(x-x_{0})

facendo il m.c.m. ho:

(13) (y-y_{0})(b+2y_{0})=-(a+2x_{0})(x-x_{0}) sviluppando il prodotto dei binomi e portando tutto dalla stessa parte:

(14) by+2yy_{0}-by_{0}-2y_{0}^{2}+ax-ax_{0}+2xx_{0}-2x_{0}^{2}=0 riordinando i vari termini ho

(15)  2xx_{0}+2yy_{0}+ax-ax_{0}+by-by_{0}-2(x_{0}^{2}+y_{0}^{2})=0

ora dalla (2) so che:

(16) x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=-c-ax_{0}-by_{0} sostituendola al binomio tra parentesi e sviluppando la moltiplicazione per 2 ho:

(17) 2xx_{0}+2yy_{0}+ax-ax_{0}+by-by_{0}+2c+2ax_{0}+2by_{0}=0 e sommando i binomi risulta:

(18) 2xx_{0}+2yy_{0}+ax+ax_{0}+by+by_{0}+2c=0 dividendo per 2 tutti i monomi risulta la formula di sdoppiamento conosciuta:

(19) x\cdot x_{0}+y\cdot y_{0}+a\left(\cfrac{x+x_{0}}{2}\right)+b\left(\cfrac{y+y_{0}}{2}\right)+c=0

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[:it]Esercizi sulla somma e prodotto tra monomi[:en]I monomi e polinomi: esercizi di base[:de]I monomi e polinomi: esercizi di base[:]

Pubblicato il 5 Marzo 2012 da admin

[:it]

Samy Charnine

6.1) 3a+5b+7a+5b+5a+\cfrac{5}{2}a

6.2) 2a^{2}+5a+7+3a^{2}+5b+4+5a

6.3) 3d+d+7a+8a+12a+2b+4b+5b+6b

6.4) 2a+5b+7c+8d+9s+12d+13a+15a+34s

6.5) 3b+\cfrac{8}{3}b+\cfrac{2}{5}b+\cfrac{1}{5}

6.6) 4a+3a+7b+4d+2a+2e+7b+12b

6.7) 12a+12b+12a\cdot (a+1)

6.8) 2\cdot (a)+5 \cdot (b)+7\cdot (c)+3a+7a+7b+7c

6.9) a\cdot (b)\cdot (c)+7ab+9ab+12abc+13a

6.10) \cfrac{5}{2}a+\cfrac{5}{2}b+\cfrac{5}{4}a+\cfrac{5}{4}b

Soluzioni a tutti gli esercizi precedenti[:en]1) 3a+5b+7a+5b+5a+\cfrac{5}{2}a

2) 2a^{2}+5a+7+3a^{2}+5b+4+5a(2)

3) 3d+d+7a+8a+12a+2b+4b+5b+6b

4) 2a+5b+7c+8d+9s+12d+13a+15a+34s

5) 3b+\cfrac{8}{3}b+\cfrac{2}{5}b+\cfrac{1}{5}

6) 4a+3a+7b+4d+2a+2e+7b+12b

7) 12a+12b+12a(a+1)

8) 2(a)+5(b)+7(c)+3a+7a+7b+7c

9) a(b)(c)+7ab+9ab+12abc+13a

10) \cfrac{5}{2}a+\cfrac{5}{2}b+\cfrac{5}{4}a+\cfrac{5}{4}b[:de]1) 3a+5b+7a+5b+5a+\cfrac{5}{2}a

2) 2a^{2}+5a+7+3a^{2}+5b+4+5a(2)

3) 3d+d+7a+8a+12a+2b+4b+5b+6b

4) 2a+5b+7c+8d+9s+12d+13a+15a+34s

5) 3b+\cfrac{8}{3}b+\cfrac{2}{5}b+\cfrac{1}{5}

6) 4a+3a+7b+4d+2a+2e+7b+12b

7) 12a+12b+12a(a+1)

8) 2(a)+5(b)+7(c)+3a+7a+7b+7c

9) a(b)(c)+7ab+9ab+12abc+13a

10) \cfrac{5}{2}a+\cfrac{5}{2}b+\cfrac{5}{4}a+\cfrac{5}{4}b[:]

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Ecco un programma che trova gli zeri di un polinomio

Pubblicato il 3 Marzo 2012 da admin

G. Severini - 1908 - "Venditore di Cialde in Avenue Trudaine"

Il programma che segue applica il teorema di Ruffini.

Si evidenziano le seguenti cose:

– la prima parte chiede soltanto i coefficienti del polinomio da quellocon grado più elevato fino al termine noto–> salva i dati in una lista di nome polinomio

– la seconda parte determina i divisori del termine noto salvandoli in una lista di nome divisori.

– la terza parte verifica quali tra i divisori sono gli zeri del polinomio

Quest’ultima parte è la più complessa in quanto vi sono due cicli for uno dentro all’altro.

Per capirlo nei dettagli bisogna togliere il cancelletto nella parte commentata per seguire nei passi il ragionamento.

E’ la parte più complicata oggettivamente per programmatori esperti.

Le soluzioni trovate le salvo ancora in una lista e controllo il numero di elementi per emettere il messaggio corretto.

Notare quanto sia importante la fase dichiarativo

Ma ecco il programma:

################################
# Teorema di ruffini
# autore Francesco Bragadin
################################
#Area dichiarativa
polinomio=[]
divisori=[]
soluzioni=[]
sommafinale=0
divisore=1

###########################
#parte prima
#inserimento coefficienti
###########################

print “Programma teorema di Ruffini”
entrata = raw_input(“Inserisci un coefficiente? [y/n]”)
while entrata==”y”:
p=input(“coefficiente: “)
polinomio.append(p)
entrata= raw_input(“Inserisci un coefficiente? [y/n]”)

print “ecco il mio polinomio”
print polinomio

#######################################
#parte seconda
# scoperta divisori del termine noto
#######################################

#lunghezza polinomio
# o meglio quanti elementi contiene?
elementipolinomio = len(polinomio)

#il termine noto è l’ultimo elemento della lista
# il primo elemento è quello con indice zero mentre
# l’ultimo è quello identificato da ep-1

terminenoto = polinomio[elementipolinomio-1]
print “Il termine noto è: “,terminenoto
if terminenoto<0:
terminenoto=-terminenoto

#continuo il ciclo finchè il divisore non è uguale ad termine noto
while divisore<=terminenoto:
resto=terminenoto%divisore
if resto==0:
divisori.append(divisore)
#se è un divisore devo prendere anche il suo opposto
divisori.append(-divisore)
# incremento il divisore sempre di uno
divisore=divisore+1

print “Ecco i divisori!”
print divisori

############################################
# parte terza
#  quali sono gli zeri del polinomio?
############################################

#quanti sono i divisori?
numerodivisori=len(divisori)

for i in range(numerodivisori):
for j in range(elementipolinomio):
###############################################################################
# serve per controllare il ciclo
#        print polinomio[j],” “,divisori[i],” “,(elementipolinomio-1-j)
###############################################################################
sommaparziale=polinomio[j]*(divisori[i]**(elementipolinomio-1-j))
sommafinale=sommafinale+sommaparziale
###############################################################################
# serve per controllare il ciclo
#        print sommafinale
###############################################################################
if sommafinale==0:
# metto gli zeri in una lista
soluzioni.append(divisori[i])

# devo ripartire dal primo elemento del polinomio
# devo rimettere a zeo la sommafinale
j=0
sommafinale=0

numerosoluzioni=len(soluzioni)
if numerosoluzioni==0:
print “Non ci sono soluzioni”
if numerosoluzioni==1:
print “la soluzione è: “,soluzioni[0]
if numerosoluzioni >1:
print “le soluzioni sono:”
print soluzioni

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