Esercizi sulle equazioni di secondo grado COMPLETE

Pubblicato il 28 Febbraio 2012 da admin

1) x^{2}-3x+2=0

2) x^{2}-x-2=0

3) x^{2}+x-2=0

4) x^{2}-4x+3=0

5) x^{2}-2x-3=0

6) x^{2}+2x-3=0

7) x^{2}+5x+4=0

8) x^{2}-3x-4=0

9) x^{2}-5x+4=0

10) x^{2}-6x+5=0

11) x^{2}-4x-4=0

12) x^{2}-4x+5=0

 

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Esercizi di geometria piana

Pubblicato il 27 Febbraio 2012 da admin

a) Il perimetro di un trapezio isoscele è di 146cm e le basi sono rispettivamente di 26cm e 54cm. Calcola la misura di ciascun lato obliquo. [33cm]

b) In un trapezio isoscele, avente il perimetro di 155cm, ciascun lato obliquo è congruente alla base minore e l abase maggiore supera di 15 la base minore. Calcola la lunghezza di ciascun lato obliquo. [35cm]

c) Calcola il perimetro di un trapezio isoscele sapendo che ciascun lato obliquo misura 18cm, che la base minore è \cfrac{3}{4} del lato obliquo e che la base maggiore è \cfrac{7}{5} della base  minore. [68,4cm]

d) Il perimetro di un triangolo isoscele è di 21,5 cm e la base minore misura 10,5cm. Calcola la misura dei lati obliqui del triangolo. [5,5cm]

e) Un triangolo equilatero, avente il lato di 25cm e un triangolo isoscele hanno lo stesso perimetro. Sapendo che la base del triangolo isoscele misura 31cm, calcola la misura dei due lati obliqui. [22cm]

f) Determina di quanto deve diminuire la misura del lato di un triangolo equilatero che è di 43cm affinché il perimetro sia  di 96cm. [11cm]

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[:it]Frazioni: espressioni con i numeri decimali limitati e periodici[:en]Esercitiamoci con le espressioni con i numeri periodici[:de]Esercitiamoci con le espressioni con i numeri periodici[:]

Pubblicato il 26 Febbraio 2012 da admin

[:it]

Michael Cheval

Michael Cheval

In questi esercizi bisogna sapere:

  • passare da un numero decimale limitato o illimitato alla frazione
  • somma/differenza tra frazioni
  • prodotto/divisione tra frazioni

 

 

 

Esercizi per il 6

6.1. 3,5-\cfrac{1}{2}\cdot1,\overline{9} \left[\cfrac{5}{2}\right]
6.2. 2,\overline{4}-3,5:0,5 \left[-\cfrac{41}{9}\right]

Esercizi per il 7

7.1. 9,5+\left(0,1\right)^{2}:\left(\cfrac{7}{10}\right) \left[\cfrac{333}{35}\right]
7.2. 0,1\overline{6}:0,75+0,\overline{7} \left[1\right]

Esercizio per l’8

8.1. \left(2\cdot4,5\right)^{2}+\left(-2\right)^{3}\cdot\left(0,1\right)^{-1}+\left(10-5,6\right):\cfrac{1}{2} \left[9,8\right]

Esercizi 9/10

9.1. \left(0,\overline{3}+0,35\right):\cfrac{41}{20}+0,\overline{1} \left[\cfrac{4}{9}\right]
10.1. \left[\left(2-\cfrac{3}{5}:2,25\right):\left(0,0\bar{7}+\cfrac{1}{15}\right)\right]\cdot\cfrac{5}{108}+0,0\bar{3}:\left[\left(1,\overline{6}-\cfrac{1}{7}\right):\left(1+\cfrac{25}{7}\right)\right] \left[\cfrac{59}{90}\right]

 [:en]a) 3,5-\cfrac{1}{2}\cdot1,\overline{9}   Risultato:\left[\cfrac{5}{2}\right]

b) 2,\overline{4}-3,5:0,5  Risultato:\left[-\cfrac{41}{9}\right]

c) 9,5+\left(0,1\right)^{2}:\left(\cfrac{7}{10}\right)  Risultato:\left[\cfrac{333}{35}\right]

d) \left(2\cdot4,5\right)^{2}+\left(-2\right)^{3}\cdot\left(0,1\right)^{-1}+\left(10-5,6\right):\cfrac{1}{2}  Risultato:\left[9,8\right]

e) 0,1\overline{6}:0,75+0,\overline{7}  Risutato: \left[1\right]

f) \left(0,\overline{3}+0,35\right):\cfrac{41}{20}+0,\overline{1}  Ris: \left[\cfrac{4}{9}\right]

g) \left[\left(2-\cfrac{3}{5}:2,25\right):\left(0,0\bar{7}+\cfrac{1}{15}\right)\right]\cdot\cfrac{5}{108}+0,0\bar{3}:\left[\left(1,\overline{6}-\cfrac{1}{7}\right):\left(1+\cfrac{25}{7}\right)\right]     Risultato: \left[\cfrac{59}{90}\right][:de]a) 3,5-\cfrac{1}{2}\cdot1,\overline{9}   Risultato:\left[\cfrac{5}{2}\right]

b) 2,\overline{4}-3,5:0,5  Risultato:\left[-\cfrac{41}{9}\right]

c) 9,5+\left(0,1\right)^{2}:\left(\cfrac{7}{10}\right)  Risultato:\left[\cfrac{333}{35}\right]

d) \left(2\cdot4,5\right)^{2}+\left(-2\right)^{3}\cdot\left(0,1\right)^{-1}+\left(10-5,6\right):\cfrac{1}{2}  Risultato:\left[9,8\right]

e) 0,1\overline{6}:0,75+0,\overline{7}  Risutato: \left[1\right]

f) \left(0,\overline{3}+0,35\right):\cfrac{41}{20}+0,\overline{1}  Ris: \left[\cfrac{4}{9}\right]

g) \left[\left(2-\cfrac{3}{5}:2,25\right):\left(0,0\bar{7}+\cfrac{1}{15}\right)\right]\cdot\cfrac{5}{108}+0,0\bar{3}:\left[\left(1,\overline{6}-\cfrac{1}{7}\right):\left(1+\cfrac{25}{7}\right)\right]     Risultato: \left[\cfrac{59}{90}\right][:]

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Dimostrazione formula risolutiva equazione di secondo grado

Pubblicato il 20 Febbraio 2012 da admin

Le equazioni di secondo grado sono il primo passo verso  la maturità della conoscenza della matematica. In tutti i cicli d’istruzione durante il primo massimo secondo anno delle superiore lo si affronta con sicurezza e la maturità delle persone fa sì che tale argomento non sia assolutamente così ostico.

Ecco il metodo più comune con il quale si risolvono.

Data la seguente equazione:

ax^{2}+bx+c=0

il fatto che sia di secondo grado l’incognita x significa che avrò due soluzioni.

Le soluzioni sono:

x_{1,2}=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

ma perchè?

La dimostrazione è più semplice di quello che non si pensi.

Si tenga presente il prodotto notevole (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}

ax^{2}+bx=-c moltiplico entrambi i membri per 4a e si ha:

4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac adesso sommo ad entrambi i membri b^{2} e si ha:

4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2} ma il primo membro è esattamente un quadrato del binomio 2ax+b e si ha:

(2ax+b)^{2}=-4ac+b^{2} risolvendo il quadrato a sinistra ho esattamente due soluzione una positiva ed una negativa:

2ax+b=\pm \sqrt{b^{2}-4ac}

risolvendola in funzione dell’incognita x ho:

x_{1,2}=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

che è proprio quella di partenza.

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Funzioni esponenziali e logaritmiche

Pubblicato il 20 Febbraio 2012 da admin

Salvador Dalì

ESPONENZIALI

Il fenomeno del deterioramento del cibo segue una curva esponenziale. Il valore che si utilizza per misurare l’intensità del suono è il decibel. Due fenomeni che per essere descritti richiedono una conoscenza seppur intuitiva degli esponenziali e dei logaritmi.

In particolare la funzione esponenziale è del seguente tipo:

y=a^{x}

E’ in uso comune utilizzare però la seguente funzione esponenziale utilizzando come base non un numero qualunque a ma la lettera e che si chiama numero di nepero o di Eulero che approfondì alcune sue proprietà e vale

e=2,718281828

Una delle prime proprietà che balzano all’occhio è che la derivata della funzione esponenziale è ancora essa stessa.

y=e^{x}

la sua derivata prima diventa:

y'=e^{x} ossia è l’unica funzione grazie alla quale

y(x)=y'(x)

Il grafico è:

Esponenziale

Ma se il numero \pi è da tutti conosciuto come quel numero tramite il quale si riesce a determinare la lunghezza di una circonferenza o l’area del cerchio, come faccio a calcolare e?

e=1+\cfrac{1}{1!}+\cfrac{1}{2!}+\cfrac{1}{3!}+.+\cfrac{1}{n!}

con n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)\cdot.1

ad esempio:

4!=4\cdot3\cdot2\cdot1

LOGARITMI

Sono stati utilizzati moltissimo nell’ambito economico per calcolare ad esempio nel caso della capitalizzazione composta il tempo necessario affinché si sia realizzato un certo montante partendo da un opportuno capitale ad un particolare tasso.

Ossia si parte dalla formula che riassume tutta la capitalizzazione composta:

M=C(1+i)^{t}

per poi arrivare alla formula inversa:

t=\cfrac{Log_{10}M-Log_{10}C}{Log(1+i)}

Tale formula viene utilizzata moltissimo già a metà del 1500 quando gli scambi commerciali richiedevano di conoscere il tempo necessario per avere un certo guadagno.

Partendo però dall’inzio:

e^{x}=b

allora il logaritmo è definito come:

x=log_{e}(b)=ln(b) con b argomento del logaritmo e con ln il logaritmo naturale o di eulero/nepero.

Il grafico risulta:

logaritmo

La derivata del logaritmo (si può dimostrare) vale:

y'=\cfrac{1}{x}

 

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Soluzioni ottimo livello di preparazione sulle derivate e tangenti

Pubblicato il 20 Febbraio 2012 da admin

18. y=\sqrt{x}+\cfrac[l]{1}{\sqrt{x}}Come nell’esercizio 15) conviene esprimere la funzione precedente come:

y=x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}

adesso procedo con la derivata prima:

y'=\cfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}-\cfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1}=\cfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}-\cfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}

in conclusione:

y'=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}-\cfrac{1}{2\sqrt{x^{3}}}

19. y=(x-3)(x-5)(x-2) nel punto P(0;-30)

il primo passo è sviluppare la moltiplicazione tra binomi:

y=x^{3}-10x^{2}+31x-30

il punto P appartiene?

-30=0^{3}-10\cdot0^{2}+31\cdot0-30=-30

il punto P appartiene alla retta.

y'=3x^{2}-20x+31

y'(0)=3\cdot0^{2}-20\cdot0+31=31=m

y=31x+q sostituisco q e risulta:

-30=31\cdot0+q quindi q=-30

La retta tangente risulta

y=31x-30

20. y=-3x^{2}+4x+1 nel punto P(1;1)

il punto P appartiene alla curva?

1=-3\cdot1^{2}+4\cdot1+1=2

il punto P non appartiene alla retta!

Bisogna seguire il seguente procedimento:

Retta passante per il punto P

(y-1)=m(x-1) ordinandola ho y=mx-m+1 metto in sistema il fascio di rette e la curva e poi pongo a zero il determinante.

\begin{cases} y=-3x^{2}+4x+1\ y=mx-m+1 \end{cases}

utilizzo il metodo del confronto

-3x^{2}+4x+1=mx-m+1

-3x^{2}+4x-mx+m=0

-3x^{2}+x(4-m)+m=0

a=-3

b=4-m

c=m

\Delta=b^{2}-4ac=(4-m)^{2}-4(-3)(m)=16-8m+m^{2}+12m=0

m^{2}+3m+16=0

m_{1,2}=\cfrac{-3\pm\sqrt{9-16}}{2}

il discriminante è più piccolo di zero e ciò significa che non esiste alcuna retta passante per P e tangente alla curva.

[testo di partenza]

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Soluzioni livello buono di preparazione

Pubblicato il 20 Febbraio 2012 da admin

Pierre Auguste Renoir

15. y=\sqrt[3]{x^{4}}

per poter applicare la definizione in maniera immediata conviene esprimere la funzione precedente in questa maniera:

y=x^{\frac{4}{3}}

y'=\cfrac{4}{3}x^{\frac{4}{3}-1}=\cfrac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}=\cfrac{4}{3}\sqrt[3]{x}

16. y=x^{3}(x+5)^{2}

prima si sviluppa il prodotto notevole e poi la moltiplicazione:

y=x^{3}(x^{2}+10x+25)=x^{5}+10x^{4}+25x^{3}

y'=5x^{4}+40x^{3}+75x^{2}

17. tangente alla curva y=\cfrac{9}{5}x^{3}+\cfrac{7}{3}x^{2} in P(0;0)

il punto P appartiene alla curva?

0=\cfrac{9}{5}\cdot0^{3}+\cfrac{7}{3}\cdot0^{2}=0

P appartiene alla curva.

y'=\cfrac{27}{5}x^{2}+\cfrac{14}{3}x

y'(0)=\cfrac{27}{5}\cdot0^{2}+\cfrac{14}{3}\cdot0=0=m

la retta è

y=qin quanto m=0 sostituisco il punto P:

0=q

la retta tangente è y=0

[per tornare al testo]

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Soluzione livello discreto per testare le derivate e tangenti alla curva

Pubblicato il 19 Febbraio 2012 da admin

Pierre Auguste Renoir

11. y=6x^{3}+\cfrac{x-3}{4}non bisogna farsi ingannare dalla seconda parte in quando si ha un denominatore.

Per non cadere in errore è sufficiente dividerlo ossia considerare la seguente funzione:

y=6x^{3}+\cfrac{x}{4}-\cfrac{3}{4}

in questa forma è più facile effettuare la derivata prima:

y=18x^{2}+\cfrac{1}{4}

12. y=5x^{2}+4x^{3}+6x-3 nel punto P(1:12)

verifico che il punto P appartenga alla curva:

12=5\cdot1^{2}+4\cdot1^{3}+6\cdot1-3

12=5+4+6-3=12 il punto P appartiene alla curva

Calcolo la derivata prima della curva:

y'=10x+12x^{2}+6

m=y'(1)=10+12+6=28

la retta quindi è y=28x + q per determinare q sostituisco il punto P

12=28+q da cui q=-16

L’equazione della retta tangente è:

y=28x-16

13. y=7x+4 nel punto P(0;4)

P appartiene alla curva?

4=7\cdot0+4=4

Sì, P appartiene alla curva.

y'=7

Significa che la retta tangente alla retta è la retta stessa.

Avendo dato come definizione di derivata la pendenza della retta tangente ad una curva, inevitabilmente l’affermazione precedente è vera.

Una cosa è fondamentale:

LA DERIVATA FORNISCE L’INCLINAZIONE DELLA CURVA IN UN OPPORTUNO PUNTO DELLA CURVA

ESSERE TANGENTI IN UN PUNTO DELLA CURVA SIGNIFICA CALCOLARE IN QUEL PRECISO PUNTO QUANTO VALE L’INCLINAZIONE DELLA CURVA

LA RETTA TANGENTE IN UN PUNTO POTREBBE BENISSIMO INTERSECARE LA CURVA IN UNA ALTRO PUNTO MA QUELLO CHE INTERESSA E’ L’INCLINAZIONE DELLA RETTA NEL PUNTO PRESO IN CONSIDERAZIONE.

Vedasi questo esempio:

Si vuole calcolare la retta tangente tangente alla curva:

y=x^{3}-2x^{2}-1 nel punto P(0:-1)

è la retta y=-1

 

14. Retta tangente alla curva y=7 nel punto P(3;4)

il punto P appartiene alla retta?

No!

y'=0

y'(3)=0

NON ESISTE alcuna retta che passa per P(3:4) e che sia tangente alla retta di partenza ossia con coefficiente angolare 0.

OSSERVAZIONE

Si potrebbe pensare che la retta x=3 sia proprio la retta tangente ma è sì una retta che tocca la retta in un punto, come pure tutte quelle appartenenti al fascio di rette y=mx-3m+4, ma NESSUNA presenta la stessa inclinazione  della retta y=7 o meglio tangente.

[Per tornare al testo del problema]

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Algoritmo di ordinamento: bubble sort

Pubblicato il 17 Febbraio 2012 da admin

Carlo Carrà - 1921 - "Pino sul mare"

E’ il caso più semplice di ordinamento che si conosca. E’ il metodo meno efficiente in termini di tempi di risoluzione ma è il più intuitivo. Tradotto significa bolle ossia si comporta come le bollicine di una bottiglia di acqua minerale che dal basso risalgono verso l’alto. L’algoritmo è il seguente:

Il primo elemento del vettore si confronta con l’elemento successivo se è maggiore si scambia do posto.

Se arrivato al secondo posto è ancora maggiore del terzo si scambia e così via fino ad arrivare all’ultimo posto.

Si riprende dall’inizio confrontando nuovamente il primo posto con il secondo fino ad arrivare al penultimo in quanto l’ultimo è già ordinato.

Ecco un esempio di un semplice vettore formato da cinque elementi non ordinati:

5 4 3 2 1

PRIMA FASE

5>4 scambio  –> 4 5 3 2 1

5>3 scambio  –> 4 3 5 2 1

5 >2 scambio –> 4 3 2 5 1

5>1 scambio  –> 4 3 2 1 5

SECONDA FASE (si ferma ad un punto inferiore rispetto al precedente)

4>3 scambio –> 3 4 2 1 5

4>2 scambio –> 3 2 4 1 5

4>1 scambio –> 3 2 1 4 5

TERZA FASE

3 > 2 scambio –> 2 3 1 4 5

3> 1 scambio –> 2 1 3 4 5

QUARTA FASE

2 > 1 scambio 1 2 3 4 5

STOP

Il numero delle fasi è sempre uguale al numero di elementi meno.

Come esercizio è utile provare ad implementarlo (suggerimento sono due cicli uno all’interno dell’altro).

 

 

 

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Ecco le soluzioni del test sulle derivate e rette tangenti: livello sufficiente

Pubblicato il 17 Febbraio 2012 da admin

Pierre Auguste Renoir

Ecco le soluzioni:

1.y=x^{3}+x^{2}+x+1.

y'=3x^{2}+2x^{1}+1.

y''=6x^{1}+2 o meglio y''=6x+2.

2. y=\cfrac[l]{1}{3}x^{3}+\cfrac[r]{1}{2}x^{2}+x+7

y'=\cfrac[l]{3}{3}x^{2}+\cfrac[r]{2}{2}x^{1}+1 semplificando il numeratore con il denominatore diventa:

y'=x^{2}+x+1

y''=2x^{1}+1 o meglio y''=2x+1

3. y=\cfrac{1}{6}x^{5}+\cfrac{1}{3}x^{4}+\cfrac{1}{2}x+\cfrac{2}{3}

y'=\cfrac{5}{6}x^{4}+\cfrac{4}{3}x^{3}+\cfrac{1}{2}

y''=\cfrac{20}{6}x^{3}+\cfrac{12}{3}x^{2} che semplificandola ulteriormente diventa

y''=\cfrac{10}{3}x^{3}+4x^{2}

4. y=\cfrac{9}{7}x^{6}+\cfrac{6}{5}x^{5}+5

y'=\cfrac{54}{7}x^{5}+6x^{4}

y''=\cfrac{270}{7}x^{4}+24x^{3}

5.y=\cfrac{4}{5}x^{6}+\cfrac{7}{3}x^{3}+\cfrac{1}{2}x^{2}+80

y'=\cfrac{24}{5}x^{5}+\cfrac{21}{3}x^{2}+\cfrac{2}{2}x^{1} che semplificando diventa

y'=\cfrac{24}{5}x^{5}+7x^{2}+x

y''=\cfrac{120}{5}x^{4}+14x^{1}+1 che semplilficato diventa

y''=24x^{4}+14x+1

6.y=7x+1

y'=7

y''=0

7.y=6x

y'=6

y''=0

8. y=9x^{3}+6x^{2}

y'=27x^{2}+12x^{1} che scritto in maniera semplificata

y'=27x^{2}+12x

y''=54x^{1}+12 che semplificata risulta

y''=54x

9.y=7x^{4}+\cfrac{1}{2}x-3

y'=28x^{3}+\cfrac{1}{2}

y''=84x^{2}

10. Retta tangente a y=x^{2}+3x+1 nel punto P(1:5)

Il punto P appartiene alla curva infatti:

5=1^{2}+3cdot1+1=5

allora

y' =2x^{1}+3 ossia meglio y'=2x+3 adesso alla x sostituisco la coordinata x del punto P ed ho y'=2+3=5=m

Il coefficiente angolare della retta è m=5.

La retta è y=5x+q. Devo trovare ancora q sostituendo le coordinate del punto P:

5=5cdot1+q e risolvendola rispetto all’incognita q–>

q=5-5=0

la retta tangente è y=5x

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