Derivate dei polinomi e rette tangenti: tutto OK?

Pubblicato il 17 Febbraio 2012 da admin

Carlo Carrà

Alcuni esercizi per testare un livello sufficiente di preparazione.

Calcolare la derivata prima e seconda delle seguenti funzioni polinomiali:

1. y=x^{3}+x^{2}+x+1

2. y=\cfrac[l]{1}{3}x^{3}+\cfrac[r]{1}{2}x^{2}+x+7

3. y=\cfrac{1}{6}x^{5}+\cfrac{1}{3}x^{4}+\cfrac{1}{2}x+\cfrac{2}{3}

4. y=\cfrac{9}{7}x^{6}+\cfrac{6}{5}x^{5}+5

5. y=\cfrac{4}{5}x^{6}+\cfrac{7}{3}x^{3}+\cfrac{1}{2}x^{2}+80

6. y=7x+1

7. y=6x

8. y=9x^{3}+6x^{2}

9. y=7x^{4}+\cfrac{1}{2}x-3

Calcolare l’equazione della retta  tangente alla curva nel punto P

10. y=x^{2}+3x+1 nel punto P(1:5)

Ecco le soluzioni della prima parte [soluzioni]

Per testare una preparazione discreta.

Calcolare la derivata prima di:

11. y=6x^{3}+\cfrac{x-3}{4}

Calcolare l’equazione della retta  tangente alla curva nel punto P

12. y=5x^{2}+4x^{3}+6x-3 nel punto P(1:12)

13. y=7x+4 nel punto P(0;4)

14. y=7 nel punto P(3;4)

[soluzioni]

Per testare una buona preparazione

Calcolare la derivata prima di:

15. y=\sqrt[3]{x^{4}}

16. y=x^{3}(x+5)^{2}

Calcolare l’equazione della retta  tangente alla curva nel punto P

17. y=\cfrac{9}{5}x^{3}+\cfrac{7}{3}x^{2} in P(0;0)

[soluzioni]

Per testare un ottimo livello di preparazione

Calcolare la derivata prima della funzione:

18. y=\sqrt{x}+\cfrac[l]{1}{\sqrt{x}}

Calcolare l’equazione della retta  tangente alla curva nel punto P

19. y=(x-3)(x-5)(x-2) nel punto P(0;-30)

20. y=-3x^{2}+4x+1 nel punto P(1;1)

[soluzioni]

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Vettori o liste o stringhe

Pubblicato il 16 Febbraio 2012 da admin

[:it]

Salvador Dalì

Il vettore in matematica è un insieme di numeri opportunamente referenziati necessari per descrivere oggetti con più caratteristiche. Ad esempio, le tre dimensioni di un parallelepipedo formano un vettore in cui ogni dimensione rappresento un elemento del vettore.

Nel piano cartesiano un punto è rappresentato da due numeri rispettivamente il valore dell’ascissa e dell’ordinata, nello spazio tridimensionale abbiamo tre numeri uno per l’ascissa, uno per l’ordinata ed uno per l’asse zeta che fornisce la tridimensionalità.

L’utilizzo dei vettori in informatica è fondamentale per ordinare elementi di una lista: lista che può essere pensata sia come un vero e proprio elenco telefonico che come un insieme di numeri opportunamente ordinata o meno.

Ad esempio la seguente struttura è un vettore:

v[Aldo, Giovanni, Giacomo]

Esso è un vettore formato da tre elementi. Ad ogni elemento si può accedere mediante la posizione che il singolo elemento ha all’interno della posizione. Ad esempio se voglio accedere ad Aldo devo usare v[0], se voglio accedere a Giovanni v[1], se voglio accedere a Giacomo avrò v[2].

Si noti che si parte sempre da zero.

1. Definizione di una lista:

elenco = [“Aldo”, “Giovanni”, “Giacomo”]

2. stampa di un elemento di una lista:

print elenco[0]

3. lunghezza di una lista:

i = len(elenco)

4.1.  stampa di una lista utilizzando il ciclo for

for i in range(len(elenco)):
print elenco[i]

4.2. stampa di una lista usando una variabile d’appoggio

for comico in elenco:
print comico

4.3. stampa della lista in formato vettoriale

print elenco

5.1 inserimento di un elemento in fondo alla lista

p=raw_input(“nuovo comico: “)
elenco.append(p)

utilizzo il comando append

6. cancellazione di un elemento di una lista

del elenco[0]

viene eliminato il primo elemento di una lista.

esempio di operazione su una lista:

cosa fa il programma?

elenco = [“banana”, “aldo”]

for comico in elenco:
print comico

if elenco[0]>elenco[1]:
temp=elenco[0]
elenco[0]=elenco[1]
elenco[1]=temp

for comico in elenco:
print comico

Prima di concludere un’affermazione importante.

LE STRINGHE SONO DEI VETTORI LUNGHI ESATTAMENTE QUANTO LA FRASE IMMESSA.

Il seguente programma esplicita il pensiero:

frase =raw_input(“dammi una frase: “)
print frase
j=len(frase)
print “la frase è lunga: “,j
lettera = frase[0]
print lettera

si noti come posso accedere ad ogni lettera che compone la mia frase esattamente come se fosse un vettore!

Un ulteriore esempio per la stampa di una lista è la seguente:

elenco=[7,8,9]
print(elenco)

for i in range(0,3):
print (elenco[i])

Questo esempio permette l’inserimento di elementi in una lista:

elenco=[7,8,9]
print(elenco)

for i in range(0,3):
print (elenco[i])

v=[0,0,0,0,0]
for i in range(0,5):
v[i]=input(“dammi un numero: “)

for i in range(0,5):
print (v[i])

“[:en]

Enrico Prampolini - 1955 - "Dissonanze"

Il vettore in matematica è un insieme di numeri opportunamente referenziati necessari per descrivere oggetti con più caratteristiche. Ad esempio, le tre dimensioni di un parallelepipedo formano un vettore in cui ogni dimensione rappresento un elemento del vettore.

Nel piano cartesiano un punto è rappresentato da due numeri rispettivamente il valore dell’ascissa e dell’ordinata, nello spazio tridimensionale abbiamo tre numeri uno per l’ascissa, uno per l’ordinata ed uno per l’asse zeta che fornisce la tridimensionalità.

L’utilizzo dei vettori in informatica è fondamentale per ordinare elementi di una lista: lista che può essere pensata sia come un vero e proprio elenco telefonico che come un insieme di numeri opportunamente ordinata o meno.

Ad esempio la seguente struttura è un vettore:

v[Aldo, Giovanni, Giacomo]

Esso è un vettore formato da tre elementi. Ad ogni elemento si può accedere mediante la posizione che il singolo elemento ha all’interno della posizione. Ad esempio se voglio accedere ad Aldo devo usare v[0], se voglio accedere a Giovanni v[1], se voglio accedere a Giacomo avrò v[2].

Si noti che si parte sempre da zero.

1. Definizione di una lista:

elenco = [“Aldo”, “Giovanni”, “Giacomo”]

2. stampa di un elemento di una lista:

print elenco[0]

3. lunghezza di una lista:

i = len(elenco)

4.1.  stampa di una lista utilizzando il ciclo for

for i in range(len(elenco)):
print elenco[i]

4.2. stampa di una lista usando una variabile d’appoggio

for comico in elenco:
print comico

4.3. stampa della lista in formato vettoriale

print elenco

5.1 inserimento di un elemento in fondo alla lista

p=raw_input(“nuovo comico: “)
elenco.append(p)

utilizzo il comando append

6. cancellazione di un elemento di una lista

del elenco[0]

viene eliminato il primo elemento di una lista.

esempio di operazione su una lista:

cosa fa il programma?

elenco = [“banana”, “aldo”]

for comico in elenco:
print comico

if elenco[0]>elenco[1]:
temp=elenco[0]
elenco[0]=elenco[1]
elenco[1]=temp

for comico in elenco:
print comico

Prima di concludere un’affermazione importante.

LE STRINGHE SONO DEI VETTORI LUNGHI ESATTAMENTE QUANTO LA FRASE IMMESSA.

Il seguente programma esplicita il pensiero:

frase =raw_input(“dammi una frase: “)
print frase
j=len(frase)
print “la frase è lunga: “,j
lettera = frase[0]
print lettera

 

si noti come posso accedere ad ogni lettera che compone la mia frase esattamente come se fosse un vettore!

 

 

“

[:de]

Enrico Prampolini - 1955 - "Dissonanze"

Il vettore in matematica è un insieme di numeri opportunamente referenziati necessari per descrivere oggetti con più caratteristiche. Ad esempio, le tre dimensioni di un parallelepipedo formano un vettore in cui ogni dimensione rappresento un elemento del vettore.

Nel piano cartesiano un punto è rappresentato da due numeri rispettivamente il valore dell’ascissa e dell’ordinata, nello spazio tridimensionale abbiamo tre numeri uno per l’ascissa, uno per l’ordinata ed uno per l’asse zeta che fornisce la tridimensionalità.

L’utilizzo dei vettori in informatica è fondamentale per ordinare elementi di una lista: lista che può essere pensata sia come un vero e proprio elenco telefonico che come un insieme di numeri opportunamente ordinata o meno.

Ad esempio la seguente struttura è un vettore:

v[Aldo, Giovanni, Giacomo]

Esso è un vettore formato da tre elementi. Ad ogni elemento si può accedere mediante la posizione che il singolo elemento ha all’interno della posizione. Ad esempio se voglio accedere ad Aldo devo usare v[0], se voglio accedere a Giovanni v[1], se voglio accedere a Giacomo avrò v[2].

Si noti che si parte sempre da zero.

1. Definizione di una lista:

elenco = [“Aldo”, “Giovanni”, “Giacomo”]

2. stampa di un elemento di una lista:

print elenco[0]

3. lunghezza di una lista:

i = len(elenco)

4.1.  stampa di una lista utilizzando il ciclo for

for i in range(len(elenco)):
print elenco[i]

4.2. stampa di una lista usando una variabile d’appoggio

for comico in elenco:
print comico

4.3. stampa della lista in formato vettoriale

print elenco

5.1 inserimento di un elemento in fondo alla lista

p=raw_input(“nuovo comico: “)
elenco.append(p)

utilizzo il comando append

6. cancellazione di un elemento di una lista

del elenco[0]

viene eliminato il primo elemento di una lista.

esempio di operazione su una lista:

cosa fa il programma?

elenco = [“banana”, “aldo”]

for comico in elenco:
print comico

if elenco[0]>elenco[1]:
temp=elenco[0]
elenco[0]=elenco[1]
elenco[1]=temp

for comico in elenco:
print comico

Prima di concludere un’affermazione importante.

LE STRINGHE SONO DEI VETTORI LUNGHI ESATTAMENTE QUANTO LA FRASE IMMESSA.

Il seguente programma esplicita il pensiero:

frase =raw_input(“dammi una frase: “)
print frase
j=len(frase)
print “la frase è lunga: “,j
lettera = frase[0]
print lettera

 

si noti come posso accedere ad ogni lettera che compone la mia frase esattamente come se fosse un vettore!

 

 

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Soluzione esercizio 3 sulla retta tangente alla curva

Pubblicato il 15 Febbraio 2012 da admin

Pierre Auguste Renoir – “Barca sulla Senna”

Ecco nuovamente il testo del problema:

y=x^{4}-2x^{3}-6x^{2}+9x nel punto P(0;0)

1- verifico che il punto appartenga alla curva:

0=0^{4}-2\cdot0^{3}-6\cdot0^{2}+9\cdot0=0

risulta un’identità per cui il punto appartiene alla curva.

2- calcolo la derivata prima della curva.

y'=4x^{3}-2\cdot3x^{2}-6\cdot2x^{1}+9\cdot1x^{0}

sviluppando i calcoli

y'=4x^{3}-6x^{2}-12x+9

3- sostituisco l’ordinata del punto per trovare la m

m=9

l’equazione della retta tangente ha coefficiente angolare m=9 l’equazione della retta risulta

y=9x+q

Adesso sostituisco le coordinate del punto P

0=9\cdot0+q

risolvendola rispetto all’incognita q

q=0.

La retta tangente alla curva ha equazione:

y=9x.

Graficamente la situazione si presenta in questi termini:

 

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Soluzione esercizio 2 sulla retta tangente ad una curva

Pubblicato il 14 Febbraio 2012 da admin

Fortunato Depero

Ecco nuovamente il testo del problema:

y=x^{3}-x^{2}-x nel punto P(1;-1)

Il primo passo è verificare l’appartenenza del punto P; sostituisco l’ascissa e l’ordinata del punto P alla curva data:

-1=1^{3}-1^{2}-1 sviluppando i calcoli ho:

-1=1-1-1 e  si ha l’identità -1=-1

A questo punto trovo la derivata prima della mia curva:

y'=3x^{2}-2x^{1}-1 o meglio:

y'=3x^{2}-2x-1

Adesso sostituisco alla x il valore dell’ascissa del punto P e si ha:

y'(1)=3-2-1=0=m

la retta tangente ha coefficiente angolare m=0

y=q

devo determinare q sostituendo le coordinate di P

-1=q

La retta tangente alla curva data è:

y=-1

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Esercizi sul volume dei solidi

Pubblicato il 14 Febbraio 2012 da admin

1)   Dato una dimensione a=12m ed h= 12dm

Calcolare:

Volume:

– del cubo di lato a

– del cilindro di diametro a ed altezza h

– della sfera di diametro a

– piramide di base quadrata lato a ed altezza h

2) Dato il volume della sfera 1000m3 calcolare le tre dimensioni del parallelepipedo avendo un lato congruente con il raggio della sfera; lo stesso volume della sfera ed una dimensione è doppia dell’altra.

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Soluzione esercizio 1 sulla retta tangente ad una curva

Pubblicato il 14 Febbraio 2012 da admin

Gino Severini

1) Il primo passo è verificare che il punto appartenga o meno alla curva fornita. Tale fatto fa sì che il problema si sviluppi utilizzando il significato geometrico della derivata o meno.

Nel caso specifico si nota che sostituendo alla x il valore 0 (zer0) ed alla y il valore 1 (uno) si ha:

1 = 0^{2}-0-1

ossia:

1=-1 che non essendo un’identità dimostra il fatto che il punto P non appartiene alla curva.

Non ha senso quindi calcolare la derivata prima della curva data.

Allora per determinare l’equazione della retta tangente eseguo i seguenti passi:

1.a) per determinare l’equazione delle rette passanti per il punto P  utilizzo la seguente forma:

y-y_{1}=m(x-x_{1})

nella quale sostituisco il valore dell’ordinata e dell’ascissa del punto P e diventa:

y-1 = m(x-0) ossia sviluppando i calcoli ho y-1=mx che mettendola in forma canonica diventa:

y=mx+1

ESSA RAPPRESENTA UN FASCIO DI RETTE (proprio) TUTTE PASSANTI PER IL PUNTO FORNITO

Adesso devo mettere in sistema la mia curva con il fascio di rette e PONENDO IL DETERMINANTE A ZERO trovo il valore di m delle rette tangenti alla curva data.

\{_{y=x^{2}-x-1}^{y=mx+1}&s=2

applico il metodo risolutivo del confronto (validissimo in questo caso e mi trovo la seguente equazione:

x^{2}-x-1=mx+1

quindi ordinandola rispetto alla x ho:

x^{2}-x-mx-1-1=0 adesso raggruppando la x e sommando i coefficienti senza x ho

x^{2}-x(1+m)-2=0

Adesso NON DEVO RISOLVERE L’EQUAZIONE MA PRENDERE SOLO IL DETERMINANTE

a = 1

b = 1+m

c= -2

ricordarsi che \Delta =b^{2}-4ac

per cui sostituendo ho: (1+m)^{2}-4(1)(-2) ossia 1+2m+m^{2}+8  che ordinandola per l’incognita m diventa:

m^{2}+2m+9=0

Applicando la formula risolutiva dell’equazione di secondo grado

x_{1,2}=\cfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

si ha:

m_{1,2}=\cfrac{-2\pm \sqrt{4-36}}{2}

e si nota subito che il determinante è più piccolo di zero.

Cosa significa? Che nessuna retta appartenente al fascio sarà MAI tangente alla curva data (in questo caso è una parabola).

Graficamente la soluzione appare immediata:

Ossia nessuna retta appartenente al fascio con centro in P(0;1) sarà mai tangente alla mia parabola.

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Soluzioni sulla verifica delle competenze sulle disequazioni

Pubblicato il 10 Febbraio 2012 da admin
Umberto Boccioni - 1911 - "Gli addii"

Umberto Boccioni - 1911 - "Gli addii"

1 . frac{(x-2)(x-3)}{(x+5)(x-7)}>0

A prescindere dal verso della disequazione, che in questo caso è >, i singoli binomi devono essere studiati separatamente.

NON SI DEVONO SVILUPPARE LE MOLTIPLICAZIONI

Ho quattro disequazioni:

1.1. x-2> 0

1.2. x-3> 0

1.3. x+5>0

1.4. x-7>0

la 1.1. diventa x>2

la 1.2. diventa x>3

la 1.3 diventa x>-5

la 1.4 diventa x>7

Adesso li rappresento tutti sulla retta delle soluzioni:

e quindi guardando il verso della disequazione (1) dovrò sempre valutare dov’è maggiore di zero.

x<-5 2<x<3 x>7

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Esercizi sulle disequazioni razionali

Pubblicato il 10 Febbraio 2012 da admin

Giacomo Balla – Autoritratto

Sviluppando i seguenti esercizi ci si può rendere conto del livello raggiunto.

1. \cfrac{(x-2)(x-3)}{(x+5)(x-7)}>0

2.(x-2)(x-3)(x+5)(x-7)>0

3.\cfrac{x}{5}+2x-\cfrac{5}{8}\cdot (x-4)>2

4.4(1+x)+3(3-2x)-3(2x+7)\geq 12(1-x)

5. \cfrac{x-1}{7}-2< \cfrac{x+1}{2}-\cfrac{7+2x}{14}

6. \cfrac{4x+1}{x+4}> \cfrac{4(x-1)}{(x+1)}

7. \cfrac{x+1}{x+3}+\cfrac{3-x}{x+5}\leq 0

8. \cfrac{2x-3}{x-2}<0

9.  \cfrac{x-2}{x+3}-\cfrac{1}{2}> 0

10. \cfrac{2x-3}{x+1}> 5

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Esercizi sulla determinazione della retta tangente ad una curva

Pubblicato il 10 Febbraio 2012 da admin

Giacomo Balla – 1912 – “Bambina che corre sul balcone”

Date le seguenti curve, determinare l’equazione della retta tangente passante per il punto specificato. Verificare che il punto dato appartenga alla curva. In caso contrario vedasi le soluzioni per determinare il corretto metodo da seguire.

1. y=x^{2}-x-1 nel punto P(0;1)  [soluzione]

2. y=x^{3}-x^{2}-x nel punto P(1;-1) [soluzione]

3. y=x^{4}-2x^{3}-6x^{2}+9x nel punto P(0;0) [soluzione]

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Il peso specifico

Pubblicato il 6 Febbraio 2012 da admin

Lyubov'Sergeevna Popova - 1915 - "Violino"

1) Qual è la massa in grammi di un corpo che ha il peso di 3,4N ?

2) Una ragazza entra in una salumeria e ordina “un newton di prosciutto”, tra lo stupore generale. Il salumiere, invece , non si scompone, e consegna circa un etto di prosciutto alla ragazza.

Sapresti determinare esattamente quanti grammi di prosciutto sono stati consegnati alla ragazza ?

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