SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

Fortunato Depero

Queste sono le soluzioni agli esercizi precedenti:

1.

e sviluppando le moltiplicazioni e sapendo che qualunque numero elevato alla zero dà o (zero) si ha:

2. 

x elevato alla uno non si scrive per cui il risultato diventa:

3.

4.

A prescindere dal segno dell’esponente la regola può essere applicata pedissequamente:

E’ un uso comune non mantenere l’esponente della variabile negativa per cui la forma corretta è la seguente:

5.

DA RICORDARSI SEMPRE CHE LA DERIVATA PRIMA DI UNA COSTANTE E’ SEMPRE ZERO

6.

che semplificando i 3 diventa semplicemente

7.

che seguendo il consiglio precedente sarebbe meglio scriverla come:

non è ancora corretta e quindi si esegue il seguente passo:

8.

Umberto Boccioni

Determinare la derivata prima delle seguenti funzioni polinomiali.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

Questa è una funzione irrazionale considerando il fatto che vi è la radice

7..

la stessa funzione può essere scritta come:

.

8. .

Provare a risolverle e poi eventualmente andare alle soluzioni.

Wassily Kandinsky

Dato il prodotto di due funzioni che per comodità indicherò con u e v, per calcolare la loro derivata dovrò seguire il seguente procedimento:

Utilizzo sempre l’approccio NSA ho:

y + dy = (u +du)(v+dv)

sviluppo il prodotto:

y + dy = uv+udv+vdu+dudv

y e uguale uv per  cui ho:

uv + dy = uv + udv + vdu + dudv

elimino uv che sono uguali ed opposti ed ho:

dy =  udv + vdu + dudv

adesso divido per dx a destra e sinistra ed ho:

.

ma l’ultimo termine essendo infinitesimo si può scartare per poi avere alla fine:

REGOLA DI LEIBNIZ

conosciuta anche in questa forma:

se

y = f(x)g(x)

y’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

Giorgio De Chirico

Determinare la retta tangente ad una curva è solo la conseguenza immediata del riuscire a calcolare la derivata prima di una qualunque curva.

Il vantaggio che se ne trae immediatamente è quello di evitare di dover risolvere un sistema di equazioni, a volte di non semplice risoluzione, e il successivo studio del discriminante.

Sviluppo il seguente esercizio partendo solo dalle conoscenze di derivata e di retta passante per un punto appartenente alla curva data.

Si abbia la curva di equazione:

(1.0)  .

ed il punto P(1;6) che appartiene alla curva precedente.

COME FACCIO A VERIFICARE CHE QUESTO PUNTO APPARTIENE PROPRIO ALLA CURVA?

E’ sufficiente sostituire il valore della prima coordinata all’equazione (1.0) e verificare che si abbia un’identità. Infatti:

che è proprio un’identità

calcolo la derivata prima della  (1.0)

(1.1) .

Adesso sostituisco il valore della prima coordinata del punto P che è 1 nella (1.1) ossia nella derivata prima (y’) ed ho:

y'(1) = 4+6+2 = 12

il coefficiente angolare della retta tangente m=12

Per trovare adesso l’intercetta o l’ordinata all’origine o meglio ancora la q della retta

y=12x+q

è sufficiente sostituire i valori delle coordinate del punto P e si ha:

6 = 12 + q

che risolta dà q=-6

Quindi l’equazione della retta tangente alla curva (1.0) nel punto P(1;6)  è

Giacomo Balla

Nel post precedente si è visto che la derivata di

y = x²

che si indica con y’ vale

y’ = 2x.

Adesso si rifletta sulla seguente equazione:

y=x. Essa è una retta e se devo calcolare la derivata prima devo far mente locale sulla definizione.

LA DERIVATA E’ LA PENDENZA DELLA RETTA TANGENTE

ma y=x è proprio una retta e la retta tangente alla retta è la retta stessa.

Ma quanto vale l’inclinazione della retta?

Esattamente il suo coefficiente angolare ossia il valore numerico del coefficiente della x. Nel caso specifico è 1.

Una retta orizzontale all’asse delle ascisse può avere equazione y=1 oppure y=4 oppure y=a con “a” un qualunque numero.

La retta parallela all’asse delle x non ha inclinazione per cui la derivata assume valore nullo.

Considerando la tabella precedente allora

se y=x³

la derivata prima risulta y=3x²

Generalizzando:

IL VALORE DELL’ESPONENTE MOLTIPLICA LA BASE ED ALL’ESPONENTE SI SOTTRAE SEMPRE UNO

La prima formula che si impara è:

.