Esercizi sulle disequazioni razionali

Pubblicato il 10 Febbraio 2012 da admin

Giacomo Balla – Autoritratto

Sviluppando i seguenti esercizi ci si può rendere conto del livello raggiunto.

1. \cfrac{(x-2)(x-3)}{(x+5)(x-7)}>0

2.(x-2)(x-3)(x+5)(x-7)>0

3.\cfrac{x}{5}+2x-\cfrac{5}{8}\cdot (x-4)>2

4.4(1+x)+3(3-2x)-3(2x+7)\geq 12(1-x)

5. \cfrac{x-1}{7}-2< \cfrac{x+1}{2}-\cfrac{7+2x}{14}

6. \cfrac{4x+1}{x+4}> \cfrac{4(x-1)}{(x+1)}

7. \cfrac{x+1}{x+3}+\cfrac{3-x}{x+5}\leq 0

8. \cfrac{2x-3}{x-2}<0

9.  \cfrac{x-2}{x+3}-\cfrac{1}{2}> 0

10. \cfrac{2x-3}{x+1}> 5

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Esercizi sulla determinazione della retta tangente ad una curva

Pubblicato il 10 Febbraio 2012 da admin

Giacomo Balla – 1912 – “Bambina che corre sul balcone”

Date le seguenti curve, determinare l’equazione della retta tangente passante per il punto specificato. Verificare che il punto dato appartenga alla curva. In caso contrario vedasi le soluzioni per determinare il corretto metodo da seguire.

1. y=x^{2}-x-1 nel punto P(0;1)  [soluzione]

2. y=x^{3}-x^{2}-x nel punto P(1;-1) [soluzione]

3. y=x^{4}-2x^{3}-6x^{2}+9x nel punto P(0;0) [soluzione]

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Il peso specifico

Pubblicato il 6 Febbraio 2012 da admin

Lyubov'Sergeevna Popova - 1915 - "Violino"

1) Qual è la massa in grammi di un corpo che ha il peso di 3,4N ?

2) Una ragazza entra in una salumeria e ordina “un newton di prosciutto”, tra lo stupore generale. Il salumiere, invece , non si scompone, e consegna circa un etto di prosciutto alla ragazza.

Sapresti determinare esattamente quanti grammi di prosciutto sono stati consegnati alla ragazza ?

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Soluzioni agli esercizi sulla derivata delle funzioni polinomiali e irrazionali

Pubblicato il 5 Febbraio 2012 da admin

Fortunato Depero

Queste sono le soluzioni agli esercizi precedenti:

1. y=x^{3}-2x^{2}-x

y'=3x^{2}-2\cdot2x^{1}-1x^{0}

e sviluppando le moltiplicazioni e sapendo che qualunque numero elevato alla zero dà o (zero) si ha:

y'=3x^{2}-2\cdot2x-1

2. y=7x^{5}-x^{4}-x^{2}

y'=35x^{4}-4x^{3}-2x^{1}

x elevato alla uno non si scrive per cui il risultato diventa:

y'=35x^{4}-4x^{3}-2x

3. y=8x^{3}-3x^{5}-6x^{7}+9x^{9}

y'=24x^{2}-15x^{4}-42x^{6}+81x^{8}

4. y=x^{-10}-3x^{-5}-7x^{-7}+8x^{-8}

A prescindere dal segno dell’esponente la regola può essere applicata pedissequamente:

y'=-10x^{-11}+15x^{-6}+49x^{-8}-64x^{-9}

E’ un uso comune non mantenere l’esponente della variabile negativa per cui la forma corretta è la seguente:

y'=-10\cfrac{1}{x^{11}}+15\cfrac{1}{x^{6}}+49\cfrac{1}{x^{8}}-64\cfrac{1}{x^{9}}

5. y=1000

y'=0

DA RICORDARSI SEMPRE CHE LA DERIVATA PRIMA DI UNA COSTANTE E’ SEMPRE ZERO

6. y=\cfrac{1}{3}x^{3}

y'=\cfrac{1}{3}\cdot3\cdot x^{2}

che semplificando i 3 diventa semplicemente

y'= x^{2}

7. y=\cfrac{1}{7}x^{7}+2x^{\frac{1}{2}}+5x^{\frac{1}{5}}

y'=x^{6}+x^{-\frac{1}{2}}+x^{-\frac{4}{5}}

che seguendo il consiglio precedente sarebbe meglio scriverla come:

y'=x^{6}+\frac{1}{x\frac{1}{2}}+\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}

non è ancora corretta e quindi si esegue il seguente passo:

y'=x^{6}+\cfrac{1}{\sqrt{x}}+\cfrac{1}{\sqrt[5]{x^{4}}}

8. y=x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1

y'=10x^{9}+9x^{8}+8x^{7}+7x^{6}+6x^{5}+5x^{4}+4x^{3}+3x^{2}+2x+1

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Esercizi: derivata di funzioni polinomiali e irrazionali

Pubblicato il 5 Febbraio 2012 da admin

Umberto Boccioni

Determinare la derivata prima delle seguenti funzioni polinomiali.

1. y=x^{3}-2x^{2}-x.

2. y=7x^{5}-x^{4}-x^{2}.

3. y=8x^{3}-3x^{5}-6x^{7}+9x^{9}.

4. y=x^{-10}-3x^{-5}-7x^{-7}+8x^{-8}.

5. y=1000.

6. y=\cfrac{1}{3}x^{3}.

Questa è una funzione irrazionale considerando il fatto che vi è la radice

7.y=\cfrac{1}{7}x^{7}+2x^{\frac{1}{2}}+5x^{\frac{1}{5}}.

la stessa funzione può essere scritta come:

y=\cfrac{1}{7}x^{7}+2\sqrt{x}+5\sqrt[5]{x}.

8. y=x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1.

Provare a risolverle e poi eventualmente andare alle soluzioni.

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Volume dei solidi

Pubblicato il 2 Febbraio 2012 da admin

Il volume dei solidi ci aiutano a capire quanto spazio occupano i singoli oggetti.

Ecco il volume dei solidi più conosciuti

CUBO

V_{cubo}=l^{3}

PARALLELEPIPEDO RETTANGOLO O PRISMA RETTO

V_{parallelepipedo}=a\cdot b\cdot c

CILINDRO

V_{cilindro}=pi\cdot r^{2}\cdot h

SFERA

V_{sfera}=\frac{4}{3}\cdot pi\cdot r^{3}

PIRAMIDE

V_{piramide}=\frac{1}{3}\cdot A\cdot h

 

 

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La derivata del prodotto di due funzioni – regola di Leibniz (1675)

Pubblicato il 30 Gennaio 2012 da admin

Wassily Kandinsky

Dato il prodotto di due funzioni che per comodità indicherò con u e v, per calcolare la loro derivata dovrò seguire il seguente procedimento:

y = u \cdot v

Utilizzo sempre l’approccio NSA ho:

y + dy = (u +du)(v+dv)

sviluppo il prodotto:

y + dy = uv+udv+vdu+dudv

y e uguale uv per  cui ho:

uv + dy = uv + udv + vdu + dudv

elimino uv che sono uguali ed opposti ed ho:

dy =  udv + vdu + dudv

adesso divido per dx a destra e sinistra ed ho:

\cfrac{dy}{dx}=\cfrac{du}{dx}v+\cfrac{dv}{dx}u+\cfrac{dudv}{dx}.

ma l’ultimo termine essendo infinitesimo si può scartare per poi avere alla fine:

REGOLA DI LEIBNIZ

y'=\cfrac{du}{dx}v+\cfrac{dv}{dx}u

conosciuta anche in questa forma:

se

y = f(x)g(x)

y’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

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Retta tangente ad una curva: prima applicazione della derivata prima

Pubblicato il 29 Gennaio 2012 da admin

Giorgio De Chirico

Determinare la retta tangente ad una curva è solo la conseguenza immediata del riuscire a calcolare la derivata prima di una qualunque curva.

Il vantaggio che se ne trae immediatamente è quello di evitare di dover risolvere un sistema di equazioni, a volte di non semplice risoluzione, e il successivo studio del discriminante.

Sviluppo il seguente esercizio partendo solo dalle conoscenze di derivata e di retta passante per un punto appartenente alla curva data.

Si abbia la curva di equazione:

(1.0)  y=x^{4}+3x^{2}+2x.

ed il punto P(1;6) che appartiene alla curva precedente.

COME FACCIO A VERIFICARE CHE QUESTO PUNTO APPARTIENE PROPRIO ALLA CURVA?

E’ sufficiente sostituire il valore della prima coordinata all’equazione (1.0) e verificare che si abbia un’identità. Infatti:

6=1^{4}+3\cdot1^{2}+2\cdot1

che è proprio un’identità

calcolo la derivata prima della  (1.0)

(1.1) y'=4x^{3}+6x+2.

Adesso sostituisco il valore della prima coordinata del punto P che è 1 nella (1.1) ossia nella derivata prima (y’) ed ho:

y'(1) = 4+6+2 = 12

il coefficiente angolare della retta tangente m=12

Per trovare adesso l’intercetta o l’ordinata all’origine o meglio ancora la q della retta

y=12x+q

è sufficiente sostituire i valori delle coordinate del punto P e si ha:

6 = 12 + q

che risolta dà q=-6

Quindi l’equazione della retta tangente alla curva (1.0) nel punto P(1;6)  è

y=12x-6

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Esercizi sulla derivata di un polinomio

Pubblicato il 29 Gennaio 2012 da admin

Giacomo Balla – “Noi quattro allo specchio”

Questi esercizi sono utili per prendere mano con la derivata di un polinomio:

Si calcoli la derivata di:

1) y=7x^{3}+6x^{2}+2x+4.

il passaggio è molto semplice.
il coefficiente dell’esponente si abbassa e si moltiplica con il coefficiente della base ossia ho:

y'=7\cdot3x^{3-1}+6\cdot2x^{2-1}+2\cdot1x^{1-1}.

y'=21x^{2}+12x+2.

2) y=\cfrac{1}{3}x^{3}+\cfrac{1}{2}x^{2}+x+4.

3) y=x^{8}+7x^{3}+6x^{2}+100.

4) y=5x^{5}+3x^{4}+2x^{10}+6x^{5}+0.

La regola:

y=x^{n}.

y'=nx^{n-1}.

può essere generalizzata al seguente caso.

Calcolare la derivata di

y=\sqrt{x}.

si deve pensare che la radice quadrata di un numero è il numero elevato alla frazione corrispondente; il numeratore sarà sempre uno ma al denominatore avrò il grado della derivata.

APPROFONDIMENTI SULLA RADICE N-ESIMA DI UN NUMERO O LETTERA

Nel caso specifico:

y=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}.

ancora:

y=\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}.

che generalizzando diventa:

y=\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}.

Adesso torno alla derivata prima:

y'=\cfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\cfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}.

APPROFONDIMENTO SUGLI ESPONENTI NEGATIVI

quando si mette un esponente negativo è equivalente a scrivere il numero in termini frazionari ossia:

2^{-4}=\cfrac{1}{2^{4}}.

che generalizzando diventa:

a^{-n}=\cfrac{1}{a^{n}}.

Tornando alla mia derivata cosa si ha?

y'=\cfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\cfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{1}{x\frac{1}{2}}=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}.

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La derivata di x alla n

Pubblicato il 27 Gennaio 2012 da admin

Giacomo Balla

Nel post precedente si è visto che la derivata di

y = x2

che si indica con y’ vale

y’ = 2x.

Adesso si rifletta sulla seguente equazione:

y=x. Essa è una retta e se devo calcolare la derivata prima devo far mente locale sulla definizione.

LA DERIVATA E’ LA PENDENZA DELLA RETTA TANGENTE

ma y=x è proprio una retta e la retta tangente alla retta è la retta stessa.

Ma quanto vale l’inclinazione della retta?

Esattamente il suo coefficiente angolare ossia il valore numerico del coefficiente della x. Nel caso specifico è 1.

Una retta orizzontale all’asse delle ascisse può avere equazione y=1 oppure y=4 oppure y=a con “a” un qualunque numero.

La retta parallela all’asse delle x non ha inclinazione per cui la derivata assume valore nullo.

 

y

y’
X2

2x
x 1

0

0

Considerando la tabella precedente allora

se y=x3

la derivata prima risulta y=3x2

Generalizzando:

IL VALORE DELL’ESPONENTE MOLTIPLICA LA BASE ED ALL’ESPONENTE SI SOTTRAE SEMPRE UNO

La prima formula che si impara è:

y=x^{n}.

y'=n\cdot x^{n-1}


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