Volume dei solidi

Pubblicato il 2 Febbraio 2012 da admin

Il volume dei solidi ci aiutano a capire quanto spazio occupano i singoli oggetti.

Ecco il volume dei solidi più conosciuti

CUBO

V_{cubo}=l^{3}

PARALLELEPIPEDO RETTANGOLO O PRISMA RETTO

V_{parallelepipedo}=a\cdot b\cdot c

CILINDRO

V_{cilindro}=pi\cdot r^{2}\cdot h

SFERA

V_{sfera}=\frac{4}{3}\cdot pi\cdot r^{3}

PIRAMIDE

V_{piramide}=\frac{1}{3}\cdot A\cdot h

 

 

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La derivata del prodotto di due funzioni – regola di Leibniz (1675)

Pubblicato il 30 Gennaio 2012 da admin

Wassily Kandinsky

Dato il prodotto di due funzioni che per comodità indicherò con u e v, per calcolare la loro derivata dovrò seguire il seguente procedimento:

y = u \cdot v

Utilizzo sempre l’approccio NSA ho:

y + dy = (u +du)(v+dv)

sviluppo il prodotto:

y + dy = uv+udv+vdu+dudv

y e uguale uv per  cui ho:

uv + dy = uv + udv + vdu + dudv

elimino uv che sono uguali ed opposti ed ho:

dy =  udv + vdu + dudv

adesso divido per dx a destra e sinistra ed ho:

\cfrac{dy}{dx}=\cfrac{du}{dx}v+\cfrac{dv}{dx}u+\cfrac{dudv}{dx}.

ma l’ultimo termine essendo infinitesimo si può scartare per poi avere alla fine:

REGOLA DI LEIBNIZ

y'=\cfrac{du}{dx}v+\cfrac{dv}{dx}u

conosciuta anche in questa forma:

se

y = f(x)g(x)

y’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

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Retta tangente ad una curva: prima applicazione della derivata prima

Pubblicato il 29 Gennaio 2012 da admin

Giorgio De Chirico

Determinare la retta tangente ad una curva è solo la conseguenza immediata del riuscire a calcolare la derivata prima di una qualunque curva.

Il vantaggio che se ne trae immediatamente è quello di evitare di dover risolvere un sistema di equazioni, a volte di non semplice risoluzione, e il successivo studio del discriminante.

Sviluppo il seguente esercizio partendo solo dalle conoscenze di derivata e di retta passante per un punto appartenente alla curva data.

Si abbia la curva di equazione:

(1.0)  y=x^{4}+3x^{2}+2x.

ed il punto P(1;6) che appartiene alla curva precedente.

COME FACCIO A VERIFICARE CHE QUESTO PUNTO APPARTIENE PROPRIO ALLA CURVA?

E’ sufficiente sostituire il valore della prima coordinata all’equazione (1.0) e verificare che si abbia un’identità. Infatti:

6=1^{4}+3\cdot1^{2}+2\cdot1

che è proprio un’identità

calcolo la derivata prima della  (1.0)

(1.1) y'=4x^{3}+6x+2.

Adesso sostituisco il valore della prima coordinata del punto P che è 1 nella (1.1) ossia nella derivata prima (y’) ed ho:

y'(1) = 4+6+2 = 12

il coefficiente angolare della retta tangente m=12

Per trovare adesso l’intercetta o l’ordinata all’origine o meglio ancora la q della retta

y=12x+q

è sufficiente sostituire i valori delle coordinate del punto P e si ha:

6 = 12 + q

che risolta dà q=-6

Quindi l’equazione della retta tangente alla curva (1.0) nel punto P(1;6)  è

y=12x-6

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Esercizi sulla derivata di un polinomio

Pubblicato il 29 Gennaio 2012 da admin

Giacomo Balla – “Noi quattro allo specchio”

Questi esercizi sono utili per prendere mano con la derivata di un polinomio:

Si calcoli la derivata di:

1) y=7x^{3}+6x^{2}+2x+4.

il passaggio è molto semplice.
il coefficiente dell’esponente si abbassa e si moltiplica con il coefficiente della base ossia ho:

y'=7\cdot3x^{3-1}+6\cdot2x^{2-1}+2\cdot1x^{1-1}.

y'=21x^{2}+12x+2.

2) y=\cfrac{1}{3}x^{3}+\cfrac{1}{2}x^{2}+x+4.

3) y=x^{8}+7x^{3}+6x^{2}+100.

4) y=5x^{5}+3x^{4}+2x^{10}+6x^{5}+0.

La regola:

y=x^{n}.

y'=nx^{n-1}.

può essere generalizzata al seguente caso.

Calcolare la derivata di

y=\sqrt{x}.

si deve pensare che la radice quadrata di un numero è il numero elevato alla frazione corrispondente; il numeratore sarà sempre uno ma al denominatore avrò il grado della derivata.

APPROFONDIMENTI SULLA RADICE N-ESIMA DI UN NUMERO O LETTERA

Nel caso specifico:

y=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}.

ancora:

y=\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}.

che generalizzando diventa:

y=\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}.

Adesso torno alla derivata prima:

y'=\cfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\cfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}.

APPROFONDIMENTO SUGLI ESPONENTI NEGATIVI

quando si mette un esponente negativo è equivalente a scrivere il numero in termini frazionari ossia:

2^{-4}=\cfrac{1}{2^{4}}.

che generalizzando diventa:

a^{-n}=\cfrac{1}{a^{n}}.

Tornando alla mia derivata cosa si ha?

y'=\cfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\cfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{1}{x\frac{1}{2}}=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}.

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La derivata di x alla n

Pubblicato il 27 Gennaio 2012 da admin

Giacomo Balla

Nel post precedente si è visto che la derivata di

y = x2

che si indica con y’ vale

y’ = 2x.

Adesso si rifletta sulla seguente equazione:

y=x. Essa è una retta e se devo calcolare la derivata prima devo far mente locale sulla definizione.

LA DERIVATA E’ LA PENDENZA DELLA RETTA TANGENTE

ma y=x è proprio una retta e la retta tangente alla retta è la retta stessa.

Ma quanto vale l’inclinazione della retta?

Esattamente il suo coefficiente angolare ossia il valore numerico del coefficiente della x. Nel caso specifico è 1.

Una retta orizzontale all’asse delle ascisse può avere equazione y=1 oppure y=4 oppure y=a con “a” un qualunque numero.

La retta parallela all’asse delle x non ha inclinazione per cui la derivata assume valore nullo.

 

y

y’
X2

2x
x 1

0

0

Considerando la tabella precedente allora

se y=x3

la derivata prima risulta y=3x2

Generalizzando:

IL VALORE DELL’ESPONENTE MOLTIPLICA LA BASE ED ALL’ESPONENTE SI SOTTRAE SEMPRE UNO

La prima formula che si impara è:

y=x^{n}.

y'=n\cdot x^{n-1}


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Ecco le materie: maturità 2012

Pubblicato il 24 Gennaio 2012 da admin
Giacomo Balla - 1918 - "Colpo di fucile domenicale"

Giacomo Balla - 1918 - "Colpo di fucile domenicale"

Greco per il Liceo Classico;

Matematica per lo Scientifico,

Pedagogia per il Pedagogico,

Figura disegnata per il Liceo Artistico;

Economia Aziendale per Ragioneria;

Topografia per i Geometri

Alimenti e Alimentazione per l’Istituto Alberghiero.

 

 

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While e For

Pubblicato il 24 Gennaio 2012 da admin

Umberto Boccioni

Utilizzare un ciclo for o un ciclo while in termini di confronti matematici è indifferente.

Python, a tutti gli effetti, nasce per gestire i cicli while in quanto la struttura , che per antonomasia, ha sempre caratterizzato tutti i programmi per i for è forzata attraverso la funzione range.

La differenza fondamentale è dove comincia uno e dove finisce l’altro. Si noti questo semplice programma che è molto semplice nella sua realizzazione ma che presuppone una conoscenza molto approfondita della programmazione utilizzando una forte capacità di astrazione.

L’affrontare questo problema per chi è alle prime armi è indubbiamente uno scoglio notevole.

La prima cosa che si nota

n = input(‘fino a che numero devo contare: ‘)

s=0

for i in range(n+1):
s = s+i

print s

print (“rifaccio il conto solo con il ciclo while: “)

#rimetto a zero le variabili
# notare la differenza

i=0
s=0

while i <= n:
s=s+i
i=i+1

print s

 

Deve passare questo messaggio: USARE UN CICLO WHILE ED UN CICLO FOR E’ UGUALE

L’unica cosa che cambia è come strutturare il controllo per uscire dal ciclo; è come usare, in italiano una frase in attivo ed una in passivo.

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Esercizi sulle figure piane

Pubblicato il 23 Gennaio 2012 da admin

Gli esercizi sono di natura strettamente pratica:

[Indicare sempre le unità di misura]

1) Data la dimensione del seguente tavolo, calcolare la quantità di stoffa necessaria per coprirlo. Lati uguali di 50 cm.

2) Considerando che i metri quadrati di una terrazza sono 30. Si indichino le dimensioni dei lati.

3) Considerando che il pavimento di una sala da pranzo è di 55 metri quadrati e che per rifare il pavimento si utilizzeranno delle piastrelle con le seguenti dimensioni (30 cm x 60 cm) si calcoli quante piastrelle sono necessarie.

4) L’ombra di un campanile è lunga 70m, la distanza tra l’ombra e la punta del campanile dista 150m. Quanto alto è il campanile?

5) Devo dipingere una stanza: il barattolo che acquisto mi copre in tutto 120m^2 di superficie. Considerando che la stanza è di base rettangolare (5m x 6m) e l’altezza della stanza è di 3m, calcolare quanti barattoli di pittura devo acquistare. Si consideri che devo dare almeno due mani.

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Le aree – perimetro delle figure piane più utilizzate

Pubblicato il 23 Gennaio 2012 da admin

Il luogo comune sulla geometria è che è un qualcosa di diverso dall’algebra, staccato, quasi una materia a se’ stante. Nulla di più sbagliato: gli stessi libri vengono separati in due parti come se l’utilizzo dei conti e dei numeri facessero parte di un mondo diverso.

Anche questo ha contribuito notevolmente ad allontanare sempre più la naturale presenza della matematica nella vita quotidiana.

La vita che ci circonda è fatta da superfici, aree, volumi, lati che inevitabilmente sono strettamente connessi con l’utilizzo della loro misura. Che forse un sacchetto della spesa è tanto diverso da un tronco di cono?

Quando si acquista un’automobile non si calcola forse la capacità del bagagliaio e quante valige potranno starci? Ancora quando si viaggia in aereo non si paga forse la dimensione del bagaglio e se si supera un certo peso non si paga una tariffa più alta?

Un altro aspetto che spesso evidenzio è come la Fisica venga trattata in maniera separata dal resto ma… questo è un altro discorso.

Torno al problema delle figure piane; conditio sine qua non per affrontare la materia è conoscere le aree e i perimetri.

L’area è la misura di quello che viene racchiuso dai lati di una figura piana. La lunghezza dei lati fornisce il perimetro.

QUADRATO

Area: lato * lato

Perimetro:  lato+ lato + lato + lato

RETTANGOLO

Area: lato maggiore * lato minore

Perimetro: 2 *lato maggiore + 2*lato minore

TRIANGOLO

Area: ( base * altezza ) /2

Perimetro:somma dei tre lati

TRAPEZIO

Area: (base minore + base maggiore) * altezza ed il tutto diviso 2

Perimetro: base minore + base maggiore + 2*lati obliqui

Non si possono non definire le tre tipologie di triangoli: scaleno (tutte e tre i lati diversi), isoscele (due lati uguali), rettangolo (i tre lati diversi ma due di esso formano un angolo di 90°)

Il Teorema di Pitagora è il più conosciuto e si applica SOLO al triangolo rettangolo:

Il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

Ossia siccome si è amanti delle formule:

i = radice quadrata ( cateto uno al quadrato + cateto 2 al quadrato)

dove con il nome di cateto si identificano i due lati che formano tra di essi un angolo di 90° e ipotenusa il lato obliquo.

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La derivata di un polinomio

Pubblicato il 22 Gennaio 2012 da admin

Umberto Boccioni - "Risata"

La derivata è il valore dell’inclinazione della retta tangente di una curva.

Allora se ho una retta parallela all’asse delle y il suo coefficiente angolare è nullo ossia la sua inclinazione con l’asse delle y è nullo.

Una retta parallela all’asse delle x, ad esempio, ha equazione:

y = 4

e il valore dell’angolo con l’asse delle y è nullo per cui la derivata prima che mi fornisce proprio l’inclinazione della retta tangente ad una curva, nel caso specifico è nullo!

Generalizzando la derivata prima di una costante è sempre 0 (ZERO)

Se adesso prendo una retta di equazione, ad esempio,:

y = 3x+ 5 allora noto subito che il coefficiente angolare vale 3 (TRE) e la retta tangente ad una retta è la retta stessa per cui la derivata prima è proprio il coefficiente angolare.

La derivata prima di y = 7*x è proprio 7!

La prima generalizzazione è la seguente:

y = x^2 –> y’ = 2*x

y = 7*x –> y’ = 7

y = 100 –> y = 0

Quindi se come esercizio do’ il calcolo della derivata prima della seguente curva:

y= 3*x^2 + 7*x + 10

y’ = 3* 2* x + 7

in quanto la derivata prima di x^2 è 2*x e lo moltiplico per 3 e così via.

Esercizi:

a) y = 10x^2+9x

b) y = 3

c) y = (1/2)*x^2

Semplici tre esercizi ma fondamentali!

 

 

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