SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

Per comprendere completamente il problema si deve partire dai seguenti punti:

– 1- bastano solo 2 punti per determinare l’equazione della retta passante per due punti

– 2 – l’equazione della retta è SEMPRE y = m * x + q dove m e q sono due numeri mentre y ed x rimangono le due incognite.

– 3 – se devo verificare che un punto appartiene ad una retta devo sostituire le sue coordinate all’equazione per verificare se trovo o meno un’identità.

ESERCIZI SUL PUNTO 3 – Un punto appartiene ad una retta? –

a) y = 2*x + 1.   Il punto A(1;2) appartiene alla retta? Alla x corrisponde il valore 1 ad y il valore 2. Sostituisco questi due nuemeri all’equazione e risulta:

2 = 2 * 1 + 1

2 = 2 + 1

2 = 3

I termini di sinistra sono uguali a quelli di destra? No, l’identità non è soddisfatta per cui il punto A(1;2) non appartiene alla retta.

Il punto B(3;7) appartiene alla retta o meglio la retta passa per il punto B?

Sostituisco i valori ed ho:

7 = 3*2 +1

7 = 7

Ho un’identità per cui tale punto appartiene alla retta!

ESERCIZI SUL PUNTO 2 – Equazione di una retta – rette parallele e perpendicolari

Questo esercizio serve per determinare sempre m e q. Il parametro più importante è m perchè una volta che lo si conosce si può sempre trovare la retta parallela o perpendicolare a quella data sapendo che:

m = m’ rette parallele

m = – 1/m’    rette perpendicolari

allora se ho

y = 2*x + 7

m = 2

q = 7

Se ho

3*y + 4*x + 6 = 0

La devo trasformare in forma canonica:

3*y = – 4*x – 6

divido entrambi i membri per 3 ossia il coefficiente di y ed ho:

y = – 4/3 * x  – 6/3

quindi

m = – 4/3 e

q = -2

ESERCIZI SUL PUNTO 1 – Retta passante per due punti

Dati i punti A(2;3) e B(5;4) trovare l’equazione della retta:

y = m*x + q

allora

sostituisco le coordiate del primo punto A(2;3) ed ho:

3 = 2*m + q

4 = 5*m + q

Esso è un sistema nelle due incognite m e q.

Cambio di segno alla seconda e sommo la prima equazione con la seconda ossia:

3 = 2*m + q

– 4 =- 5*m – q

– 1 = -3*m

che è un’equazione con una sola incognita m.

m = 1/3 si sostituisce tale valore all’altra equazione ed ho:

3 = 1/3 *2 + q

q = 3 -2/3 = 7/3

L’equazione è:

y = 1/3 *x + 7/3

Quello che si vuole calcolare è il montante in n ossia all’atto in cui scade l’ultima rata.

La formula che applico è quella dell’interesse composto ossia:

si può raccogliere R ed il termine che rimane è proprio la serie geometrica con ragione uguale a (1+i).

Applicandola si ha:

e ponendo si ha:

S prende il nome di S posticipato, figurato n, al tasso i.

Il suo valore si può calcolare usando la seguente tabella excel:

Tabella S ed a

Viceversa se devo calcolare il valore attuale della rendita ad un anno prima della scadenza della prima rata dovrò applicare la seguente formula:

Applico ancora il concetto di serie geometrica con

Per cui

con a si legge a posticipato, figurato n, al tasso i.

1) Trovare le equazioni dei lati del triangolo di vertici O(0,0), A(2,1) e B(-1,3).

2) Verificare che il triangolo di vertice A(2;1), B(3;4), C(9;2) è rettangolo e calcolarneperimetro ed area.

Questo è difficile ma sicuramente potrebbe dare soddisfazione

3)Trovare il centro della circonferenza passante per O(0;0), B(1;-6) e C(7;-4)

Gino Severini

1 ) Una rendita è costituita da 12 rate (annue), ciascuna di 1800€. Si vuole determinare il montante, al tasso i=0,0715 (7,15%), all’atto in cui scade l’ultima rata (rendita posticipata).

SVILUPPO

Lo sviluppo richiede l’applicazione della seguente formula:

con che viene chiamato S posticipato, figurato n, al tasso i.

Esercizio 2)

una rendita è costituita da 20 rate annue, ciascuna di 3200€. Si determini il montante al tasso i=4,5% all’atto in cui scade l’ultima rata (rendita posticipata)

Eercizio 3)

una rendita è costituita da 15 rate annue, ciascuna di 12.000€. Si determini il montante al tasso i=4,5% all’atto in cui scade l’ultima rata (rendita posticipata)

Esercizio 4

Una rendita è costituita da 11 rate (annue), ciascuna  di Euro 2300. Si vuole determinare il valore attuale al tasso del 7% un anno prima della scadenza della prima rata (rendita posticipata)

Esercizio 5

Calcolare il valore della rata sapendo che è costituita da 8 versamenti annui. Il montante, calcolato all’atto in cui scade l’ultima al tasso i = 0,065 è di euro 9653,63.

Es. 6

Calcola il valore attuale di una rendita annua, che ha 15 rate ciascuna di 780€, un anno prima della scadenza della prima rata e al tasso del 7,15%.

Es. 7

Una persona ha diritto a incassare la somma di 780€ annualmente e per 16 anni. Calcola il valore attuale di tale rendita, al tasso del 7,75%, ad un anno prima della scadenza della prima rata.

Il problema è quello di capire la quantità di capitale che si ha a propria disposizione in un preciso momento sapendo che esso è scomposto in tante parti.

Queste parti vengono comunemente chiamate RATE.

Un esempio di utilizzo della teoria dell’equivalenza finanziaria è il pagamento rateale di una ristrutturazione.

Nel momento in cui si fissa il capitale da fornire per il lavoro, si fisseranno anche le date in cui verranno versate le rate ed il loro valore.

Ad esempio si fissano i seguenti pagamenti:

• 700€ fra 2 anni,
• 400€ fra 5 anni,
• 500€ fra 7 anni
• 800€ fra 9 anni.

Per capire l’esatta cifra che effettivamente verrà fornita, a chi effettuerà il lavoro, bisognerà fissare un tasso che sarà, ad esempio del 7% e si applicherà la seguente formula che è esattamente quella usata per lo sconto composto.

Perchè si utilizza proprio lo sconto composto?

Si potrebbe usare anche lo sconto semplice ma il concetto è lo stesso.

Siccome lo sconto descrive la situazione di una cifra (valore attuale) che viene percepita oggi invece che dopo un certo periodo di tempo, esso si adatta perfettamente a descrivere la situazione in cui si effettua lo sconto (pagamento rateale) non di una cifra ma di tante cifre riportate tutte ad oggi.

Nel caso caso in cui invece si fossero percepite le seguenti somme, ad esempio scorrendo l proprio estratto conto,

• 700€ al secondo anno,
• 400€ al quinto anno,
• 500€ al settimo anno,
• 800€ al nono anno

e si volesse capire che capitale ho all’undicesimo anno,  si applica la formula del montante nel caso dell’interesse composto con un opportuno tasso d’interesse (9%).

Avrò:

Perché proprio le formule della capitalizzazione composta?  La capitalizzazione descrive esattamente quale cifra si percepirà dopo un certo periodo di tempo o se ci poniamo alla fine di quel preciso periodo di tempo posso capire quale capitale è stato investito e di quanto è aumentato il suo valore.

Le rate quindi assumono valori diversi a seconda che queste sono state versate o verranno percepite.

Lo schema che può essere utile è quindi il seguente:

Per capire il valore delle rate che si percepiranno (future) usare le formule dello sconto

Per capire il valore delle rate percepite (passato) usare le formule della capitalizzazione composta.

Gino Severini - "Memorie di una giornata"

1) Una rendita prevede il pagamento di 200€ fra 3 anni, 330€ fra 6 anni, 400€ fra 8 anni e 200€ fra 11 anni.

Calcola:

a)      il valore attuale con sconto composto al tasso del 7%

b)      il montante in 13 con interesse composto al tasso del 7%

2) Consideriamo le seguenti prestazioni:

a) 2380€ disponibile fra 2 anni;

b) 3571,74 fra 8 anni;

Facendo uso dell’interesse composto annuo e dello sconto composto al tasso del 7% verifica che le due prestazioni sono finanziariamente equivalenti.

a) allo scadere della prima prestazione;

b) allo scadere della seconda prestazione.

3) Si considerino i due seguenti insiemi di prestazioni:

a) insieme A: 300€ in 4, 120€ in 6; 280€ in 7;

b) insieme B: 200€ in 1; 200€ in 2; 173,89 in 3.

Verificare che essi si equivalgono sulla base dell’interesse composto annuo e dello sconto composto al tasso del 5,75%, qualunque sia l’epoca di valutazione. [per esempio con riferimento al tempo zero…]

4) Una rendita prevede il pagmento di 500€ fra 1 anno, 960€ fra tre anni, 740€ fra 6 anni. Calcola

a) il valore attuale con sconto composto di tasso del 6,7%;

b) il montante a interesse composto annuo, all’atto in cui scade l’ultima rata, al tasso del 7,35%

c) l valore in 4; interesse composto annuo e sconto composto al 7,5%

RIDUZIONE DI PIU’ CREDITI A UNA DATA DI SCADENZA

5) Una persona deve pagare 1780€ fra un anno, 4650€ fra 3 anni e 6540€ fra 6 anni.

D’accordo col creditore stabilisce  il pagamento di una somma unica fra 2 anni.

Calcola tale somma nel caso di:

a) interesse semplice e sconto commerciale a tasso del 8%

b) interesse composto annuo e sconto commerciale al tasso del 7,25%

6) Una persona deve pagare 5 cambiali, ciascuna di 300€: la prima scade fra 2 mesi, la seconda fra 4, la terza fra 6, la quarta fra 8 e l’ultima fra 10. Si stabilisce di sostituire a esse una cambiale unica scadente fra 10 mesi. Calcola l’importo di tale cambiale: interesse semplice al tasso dell’8%.

7) Ripeti l’esercizio precedente supponendo che l’operazione venga regolata a interesse composto annuo al tasso dell’8%.

8) Una persona deve eseguire i seguenti pagamenti: 800€ fra 8 mesi; 1700€ fra 15 mesi; 2300€ fra 19 mesi. Ottiene dal creditore di poter fare un pagamento unico fra 12 mesi. Determina quale somma dovrà pagare tenendo conto che il regolamento viene effettuato con interesse composto annuo e sconto composto al tasso del 9%.

9) Tizio deve pagare a Caio 1400€ fra 2 anni; 2300€ fra 3 anni; 3000€ fra 4 anni. Ottiene da Caio di pagare subito 2000€ e di poter fare un pagamento a saldo fra un anno. Determina l’importo di quest’ultimo  tenendo presente che il regolamento avviene sulla base di interesse composto annuo e sconto composto , tasso del 9,3%.

10) Una persona ha acquistato un bilocale per 60.000€ pagando all’atto dell’acquisto 20.000€. Per la differenza ha assunto l’impegno di pagare 10.000€ dopo 2 anni, 10.000€ dopo 4 anni, 20.000€ dopo 6 anni, aumentando l’importo di ciascuna quota dell’interesse composto annuo calcolato al tasso del 9%. All’atto in cui effettua il primo pagamento, cioè dopo 2 anni, quella persona ottiene di poter estinguere gli impegni restanti pagando il valore attuale dei momtanti dovuti a scadenza, calcolato con sconto composto al tasso del 7%. Calcola la somma unica pagata.

1) Trovare l’equazione della retta che passa per il punto P di intersezione delle due rette x+y = 0 e 2x – y + 3 =0 ed è parallela alla retta y=3x-1.

2) Trovare l’equazione della retta che passa per il punto P di intersezione delle due rette y = 2x e 2y – 3 = 0 ed è perpendicolare alla retta x + y -1 = 0

Qual’è il punto di intersezione tra le seguenti due rette?

a) 2x-y+1=0

b) x-y+2 = 0

c) y=x

Mettere un insieme di formule equivale a dare per scontato che la nostra capacità di memorizzazione e di velocità di sviluppo delle formule sia finita.

La cosa ideale sarebbe conoscere la formula di aprtenza dalla quale, poi, anche molto velocemente si riescono a raggiungere anche tutte le formule inverse.

Comunque anche se si hanno le formule ma non si sa come applicarle cominciano i problemi.

Ed allora ecco il formulario sullo sconto!

Formulario

1) Scrivere la retta passante per i punti A(2,1) e B(-3;0).

2) Scrivere la retta passante per il punto A(4,-2) e B(-6,2)

3) Scrivere la retta passante per il punto A(4;5) e B(-2;5)

4) Tra le rette precedenti ve n’è qualcuno che è parallela o perpendicolare tra di esse?