Le definizione di derivata

Pubblicato il 23 Dicembre 2010 da admin

Enrico Prampolini

Partiamo dalla definizione di derivata:

\underset{h\rightarrow 0}{lim}\cfrac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Questa formula NON deve far paura ma soltanto pensare alla sua immediata applicabilità!

Più facile a dirsi che a farsi. Cercherò di dimostrare il più possibile questa mia affermazione.

Quando penso alla derivata penso alla definizione di velocità ed in particolar modo all’autovelox che esegue il limite precedente.

L’autovelox esegue la seguente operazione:

v=\cfrac{x_{2}-x_{1}}{t_{2}-t_{1}}.

Ossia considerando due punti calcola quanto tempo impiega l’automobile a percorrere lo spazio tra il punto 2 ed il punto 1, poi divide il risultato rispetto al tempo preso ed ha la velocità calcolata. Se tele limite mi dà un numero maggiore del limite fissato automaticamente scatta la foto e ci troviamo con una bella multa!

Primo esempio

l’esempio di partenza è calcolare la derivata della funzione:

f(x) = x.

f(x+h) = x+h

f(x) = x.

e quindi applicando solo la definizione cosa si ha?

\underset{h\rightarrow 0}{lim}\cfrac{x+h-x}{h}.

Si noti che x e -x si eliminano h diviso h dà 1 per cui ho 1.

Secondo esempio

Derivata della funzione:

f(x)=x^{2}

Per questa funzione cosa bisogna ricordarsi?

Applico la definizione di derivata:

\underset{h\rightarrow 0}{lim}\cfrac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}.

\underset{h\rightarrow 0}{lim}\cfrac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}=\underset{h\rightarrow 0}{lim}\cfrac{x^{2}+2xh-h^{2}-x^{2}}{h}=\underset{h\rightarrow 0}{lim}\cfrac{2xh-h^{2}}{h}=2x.

Adesso bisogna fermarsi un poco per generalizzare il procedimento.

Ma questo lo eseguirò nel prossimo post per adesso lascio che la cosa provi a sedimentarsi

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Le equazioni di primo grado: introduzione

Pubblicato il 20 Dicembre 2010 da admin

Carlo Carrà

Le equazioni di primo grado si possono risolvere sempre utilizzando la seguente regola fondamentale che nasce dal pensare un’equazione ai  due bracci di una bilancia:

quello che faccio al membro di sinistra (o braccio sinistro della bilancia) deve sempre essere fatto al membro di destra (o braccio destro della bilancia).

Se

7 = 7

allora posso sommare a destra e sinistra lo stesso numero (3) ed il risultato non cambia:

 7 + 3 = 7 + 3

posso dividere a destra e sinistra per lo stesso numero (3) ed il risultato non cambia:

 \cfrac{7 }{3} = \cfrac{7}{3}

posso moltiplicare a destra e a sinistra per lo stesso numero (3) ed il risultato non cambia:

 7\cdot 3 = 7 \cdot 3

 Partendo da questo presupposto posso risolvere la seguente equazione

  x + 3 = 7

come?

REGOLA EMPIRICA (BUON SENSO!): LA X DEVE SEMPRE STARE DA SOLA E POSITIVA!

REGOLA PRIMA

Sommo a sinistra e a destra il -3 e risulta:

 -3 + x +3 = 7-3

 A questo punto -3 e +3 sono opposti e posso eliminarli:

A sinistra rimane la x da sola senza nessun coefficiente:

x = 4.

Questa è proprio la soluzione! Ossia vi è un solo numero che sostituito alla x e sommato al numero 3 fornisce proprio 7; infatti 4+3=7.

Questa regola viene spesso applicata dicendo che quando il numero passa il simbolo di uguale esso cambia di segno ossia da positivo diventa negativo e da negativo diventa positivo: è ciò che si vede ma in realtà ciò che accade è che si è sommata la stessa cifra a destra e a sinistra dell’uguale e siccome a sinistra vi è lo 0 (zero), sommandogli un numero si vede solo il numero stesso.

E’ come quando due oggetti uno caldo ed uno freddo si mettono a contatto, alla fine la temperatura dei due oggetti si equilibra; dal punto oggettivo si può pensare che il freddo sia passato da un oggetto all’altro ma ciò che accade è il corpo caldo che ha una maggiore energia riscalda il corpo freddo avvenendo un passaggio d’energia. Dal punto di vista pratico la temperatura dei due corpi si bilancia!

REGOLA SECONDA

Data l’equazione:

3\cdot x=1

per applicare la REGOLA EMPIRICA devo moltiplicare a destra e a sinistra per \cfrac{1}{3}

\cfrac{3}{3}\cdot x=\cfrac{1}{3}

i due 3 si semplificano e come risultato ho: proprio:

\cfrac{1}{3}

CONCLUSIONE

La regola prima e la regola seconda con la regola empirica permettono di risolvere tutte le equazioni di primo grado

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Il senso del blog

Pubblicato il 20 Dicembre 2010 da admin

Questo blog avrà la sua possibilità di esistere nel momento in cui vi si porranno problemi che possono essere risolti attraverso l’astrazione matematica.

Saranno indispensabili i contributi di tutti quegli appassoniati/studenti che vorranno parteciparVi ponendo domande e risposte a cui l’intera comunità virtuale potrà rispondere.

Lo scopo è quello di poter dare motivi di riflessione e crescita a tutti quelli che vorranno parteciparVi.

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