SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

L’ultima tipologia di sconto è quello composto che, come dice il nome stesso,  fa riferimento al relativo interesse.

Nell’interesse composto ho:

La formula riassuntiva dello sconto composto è:

Dividendo entrambi i membri per mi trovo il valore attuale

applicando la definizione di sconto ()

1) Applico lo sconto semplice, calcola il valore attuale al tasso del 6% di un capitale di 400€ con scadenza di 2 anni .

2) Sempre con sconto semplice, ho un tasso del 5,39%, calcola il valore attuale per un capitale di 3600€ che scade tra 3 anni e 6 mesi.

3) Sempre con sconto semplice, si calcoli il valore attuale al tasso del 7,25% di un capitale di 420€ che scade tra 8 mesi e 10 giorni.

4) Sempre con sconto semplice, calcolare il valore attuale con sconto semplice al tasso del 5,8% di un capitale di 980€ esigibile tra 1 anno 3 mesi e 25 giorni.

Adesso un esercizio leggermente più difficile:

5) Cacolare quale tasso è stato applicato nel caso in cui si abbia un capitale di 500€ con scadenza tra 2 anni, 4 mesi, dietro ad un incasso (valore attuale) di 468,34€.

Nello sconto commerciale si fa un grande richiamo all’interesse semplice.

Nell’interesse semplice si aveva che M = C (1 + it) dove con M si identifica il capitale aumentato dell’interesse ossia il montante.

Nello sconto semplice invece che pensare ad M penso a C per cui applicando la formula in maniera uguale ho:

C = V(1 + it)

La formual inversa (vedasi argomento sulle equazioni di I grado) divido sia a destra che a sinistra per (1 + it) ed ho che

(1)       V = C / (1 + it)

Ricordando che:

S = C – V

sostituendo la (1) nella S = C- V ed applicando il minimo comune multiplo tra binomi (aiuto?????) posso dire che:

S = Cit / (1+ it)

Ecco i passaggi per arrivare alla formula precedente:

spiegazione

Altre formule inverse necessarie allo sviluppo degli esercizi.

Partendo dalla (1) devo trovare il tasso o il tempo.

Moltiplico a sinistra e a destra per (1+i*t) ed avrò:

C = V(1 + i*t) = V + V*i*t

V*i*t = C -V

t = C-V / V*i

oppure

i = C-V /V*t

A questo punto ho tutte le formule.

1) Considerando uno sconto commerciale, calcolare il valore attuale con un capitale di 900€ che scade tra due anni al tasso del 10%.

2) Calcolare il valore attuale con sconto commerciale di un capitale di  765€ che scade tra 7 mesi al tasso del 12,4%.

3) Calcola il valore attuale con uno sconto commerciale di un capitale di 600€ che scade tra 56 giorni al tasso del 6%.

4) Calcola il valore attuale con sconto commerciale del capitale di 950€ che scade tra 2 anni e 11 mesi al tasso del 4,4%.

5) Un capitale scade tra 3 anni e 7 mesi. Il suo valore attuale, calcolato con sconto commerciale al tasso del 5% è di 1000€. Calcola il capitale.

6) Calcola il valore attuale con sconto commerciale dei seguenti capitali:

a) 430€ che scade fra 4 anni al tasso del 6%

b) 520€ che scade fra 5 mesi, al tasso del 6,7%

c) 740€ che scade tra un anno, 5 mesi e 20 giorni. al tasso del 5,8%.

7) Una cambiale di 380€ viene scontata di 120 giorni prima della scadenza; sconto commerciale , tasso 8%. Calcola il valore attuale ricavato.

Lo Sconto commerciale è direttamente proporzionale al  capitale ed al tempo.

dove

S = sconto

C = Capitale

d = tasso di sconto

t = tempo

Il valore attuale è dato sempre dal capitale a cui sottraggo lo sconto:

raccogliendo la C il valore attuale diventa:

o se abbiamo il valore attuale e si vuole sapere quant’era il capitale iniziale prima dello sconto si ha:

Il concetto di sconto, che comunemente si pensa, è quello associato al momento della contrattazione nell’acquisto di una merce; la domanda che si pone spesso al commerciante è: che sconto potrei avere?

La definizione, nel campo della matematica finanziaria, è leggermente diverso.

Nomenclatura indispensabile:

S = sconto

C = capitale o somma a scadenza

V = Valore attuale o somma percepita in questo momento.

In pratica si deve pensare sempre di essere in questa situazione:

Ho chiesto un prestito e devo restituire una certa somma (con un interesse); mi trovo nella condizione di poter restituire la somma subito e colui il quale mi ha prestato la cifra, l’avrà prima della scadenza. Sarebbe auspicabile che si concedesse uno sconto avendo avuto la cifra prima del tempo.

La formula che esprime questa situazione in maniera sintetica è:

S = C – V

Sconto è uguale al Capitale (futuro) a cui sottraggo il la cifra che adesso restituisco (valore attuale).

Si hanno tre tipi di sconto: sconto commerciale, sconto semplice e sconto composto.

Può capitare di avere come soluzione impossibile o indeterminata.

Cosa significa?

IMPOSSIBILE

E’ un qualcosa che non è possibile risolvere: sembra un gioco di parole. Se alla fine di un sistema d’equazioni mi trovo in una situazione:

7 = 3 è vero?

No è impossibile perchè 7 è sempre diverso da 3.

Ecco subito un esempio di un sistema IMPOSSIBILE:

Come si nota alla fine mi sono trovato nella condizione che 0 (zero) deve essere uguale a -11 ma è impossibile!

INDETERMINATO

E’ un qualcosa che non si può determinare ad esempio se vado a fare la spesa ed ho solo il totale della spesa fatta ma non il dettaglio dei singoli prodotti che ho acquistato, è indeterminato il loro costo.

Ad esempio, nel caso dei sistemi, quando mi trovo una sola equazione partendo da due o più (perchè una durante i passaggi intermedi si è completamente semplificata) allora mi troverò in una situazione indeterminata.

Ecco un esempio: si nota che un’equazione è diventata un’identità

Parto dallo stesso sistema

Esprimo tutto i funzione di x e si ha:

allora posso scrivere che

7 – y = 5 + y

in quanto le x devono avere lo stesso valore.

“porto” le y tutte dalla stessa parte

7 – 5 = y + y

2y = 2

y=1

Adesso sostituisco il valore trovato o nella prima o nella seconda (è uguale)

x = 7 – 1 = 6

oppure

x= 5+1=6

Devo risolvere il seguente sistema:

Si esprime la prima o la seconda equazione in funzione dell’altra variabile.

Decido di manipolare la prima equazione ed il sistema diventa:

Adesso la seconda equazione diventa:

Noto che nella seconda equazione ho solo un’incognita: la y.

quindi

Adesso sostituisco il valore trovato di y nella prima equazione ed ho:

Ed ecco le soluzioni:

.

I sistemi di equazione sono più utili di quanto si possa pensare per risolvere problemi di uso quotidiano.

Per farlo vi sono alcuni metodi; cercherò di spiegare quelli più comunemente usati.

Questa immagine rappresenta d’avvero quello che si può intendere per sistemi di equazione. Una mano non può esistere senza l’altra; è uguale a quello che capita con i sistemi di equazione di primo grado.

Espongo qua un problema che sarebbe ideale per i sistemi di disequazione ma che trova una prima applicazione anche nei sistemi di equazione lineare:

una persona noleggia un’auto e va in due agenzie di noleggio la A e la B con la seguente tariffa:

• A chiede una quota fissa di 45€ al giorno più 0,25€ per ogni chilometro percorso
• B chiede una quota fissa di 63€ al giorno più 0,18€ per ogni chilometro percorso.

Il problema che mi pongo è sicuramente qual è scelta migliore.

Un altro problema è tipico della settimana enigmistica ma potrebbe dare un senso a cimentarsi a risolvere un sistema di equazioni di primo grado:

Se Luigi desse a Carlo metà del suo denaro, Carlo avrebbe in totale la somma di 150€. Se invece fosse Carlo a dare a Luigi 1/3 di quanto ha, allora sarebbe Luigi ad avere la stessa somma. Quanto hanno Luigi e Carlo?

Adesso mi preme di dare delle tecniche di risoluzioni generali:

si danno dei nomi tanto per distinguerle: il metodo della sostituzione, quello dell’addizione, e quello del confronto. Quando affronterò lo studio dei punti in cui delle curve si toccano nello spazio si vedrà quanto utile è conoscere tali metodi.

Ecco il primo sistema semplice ma tanto per cominciare va bene:

METODO DELL’ADDIZIONE

Mi devo solo ricordare come faccio le somme in colonna. Unica avvertenza: incolonnare bene, prima le x poi le y e poi i numeri; importantissimo non sbagliare l’incolonnamento!

Lo scopo è quello di far sparire una delle due incognite o la x o la y:

Ritrovandomi l’equazione

che mi fornisce come soluzione

Nel caso in cui non fosse chiaro è sufficiente andare al post sulla risoluzione delle equazioni di primo grado (equazioni di primo grado). Trovata la x è sufficiente adesso sostituire il valore della x o nella prima o nella seconda equazione

Oppure si può trovare la y moltiplicando per -1 la seconda equazione trovandomi in questa situazione:

e risolvo la semplice equazione di primo grado:

che ha come soluzione

.