SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

Un condensatore piano è formato da due armature circolari di raggio R, poste a distanza d, dove R e d sono espresse in metri (m). Viene applicata alle armature una differenza di potenziale variabile nel tempo e inizialmente nulla.

All’interno del condensatore si rileva la presenza di un campo magnetico B.

Trascurando gli effetti di bordo, a distanza r dall’asse di simmetria del condensatore, l’intensità di B, espressa in tesla(T), varia secondo la legge:

con

dove e sono costanti positive e è il tempo trascorso dall’istante iniziale, espresso in secondi (s).

• Dopo aver determinato le unità di misura di a e k
• spiegare perché nel condensatore è presente un campo magnetico anche in assenza di magneti e correnti di conduzione
• Qual è la relazione tra le direzioni di B e del campo elettrico E nei punti interni al condensatore?

Prerequisiti

• conoscenza delle unità di misura che caratterizzano il campo induzione magnetica
• conoscenza della legge di Ampere Maxwell o quarta equazione di Maxwell.

Sviluppo

Primo punto

Si parte dalla relazione espressa solo in funzione delle unità di misura:

dove è espressa inevitabilmente in secondi.

Per cui

Secondo punto

Si applica la legge di Ampere-Maxwell considerando nullo le correnti che non sono presenti in questo caso:

essendovi la circuitazione vi è il campo magnetico.

Terzo punto

Le linee di campo elettrico sono perpendicolari alle armature mentre quelle di campo magnetico sono concentriche rispetto al centro del condensatore e sono perpendicolari a quelle elettriche.

Si supponga, in assenza dei tre fili, che il contorno della regione S rappresenti il profilo di una spira conduttrice di resistenza R = 0,20 Ω. La spira è posta all’interno di un campo magnetico uniforme di intensità perpendicolare alla regione S. Facendo ruotare la spira intorno all’asse x con velocità angolare ω costante, in essa si genera una corrente indotta la cui intensità massima è pari a 5,0mA. Determinare il valore di ω.

Prerequisiti

• conoscenza della legge di Faraday Neumann applicata ad una superficie in rotazione che è equivalente ad un campo magnetico sinusoidale.

Sviluppo

La legge di Faraday Neumann dice che:

è costante

ed è l’unico termine che varia con il tempo per cui la sua derivata risulta:

che sostituita nell’equazione di partenza si ha:

Siccome si ha il valore massimo:

Si supponga che nel riferimento Oxy le lunghezze siano espresse in metri (m).

Si considerino tre fili conduttori rettilinei disposti perpendicolarmente al piano Oxy e passanti rispettivamente per i punti:

; e

I tre fili sono percorsi da correnti continue di intensità , e . Il verso di è indicato in figura mentre gli altri due versi non sono indicati.

Stabilire come varia la circuitazione del campo magnetico, generato dalle correnti
, e , lungo il contorno di S, a seconda dell’intensità e del verso di
e di .

Prerequisiti

• conoscenza della circuitazione del campo elettrico
• capre come poter determinare come un punto stia all’interno di una regione.

Sviluppo

La definizione di circuitazione è la seguente:

Ossia la circuitazione dell’induzione magnetica lungo un percorso chiuso, con cui risulta concatenata la corrente che genera il campo è sempre uguale al prodotto della permeabilità elettrica per l’intensità di corrente, qualunque sia la forma geometrica del percorso chiuso.

Questo significa che a prescindere dalla forma della superficie trovata devo calcolare la corrente concatenata (compresa) nella zona delimitata dalla superficie.

La circuitazione dell’induzione magnetica, calcolata lungo un cammino chiuso qualsiasi, è uguale al prodotto della permeabilità magnetica per la somma algebrica delle correnti concatenate.

Nel caso specifico quali dei tre fili sono compresi nella superficie delimitata dalle due curve? Se si avesse il grafico così preciso si fa presto a rispondere a questa domanda ma lo si può fare anche in maniera analitica.

Il punto è posizionato più in basso rispetto alla curva ma verifico che sia più in alto della curva .

per cui è all’interno della regione S.

Il punto è posizionato più in alto rispetto alla curva ma verifico che sia più in basso della curva .

per cui è all’interno della regione S.

Il punto è posizionato più in basso rispetto alla curva ma verifico che sia più in basso della curva .

per cui è al di fuori della regione S e non deve essere considerata per il calcolo della circuitazione.

quindi quando le correnti hanno verso opposto la circuitazione diminuisce fino ad annullarsi quando hanno lo stesso valore altrimenti aumenta nel caso in cui le due correnti hanno lo stesso verso.

Si assuma,d’ora in avanti, di avere e .

• Studiare le due funzioni così ottenute
• verificando che il grafico di ammette un centro di simmetria
• i grafici di e sono tangenti nel punto B(0,−1)
• determinare inoltre l’area della regione piana S delimitata dai grafici delle funzioni e .

Prerequisiti

• saper fare lo studio di funzione
• ricordare la condizione per il centro di simmetria di una curva
• risolvere un sistema uguagliando al parte esponenziale con la parte non esponenziale
• saper calcolare un integrale definito: area racchiusa tra due curve

Sviluppo

Primo punto

Parto con la che è una semplice parabola.

Le intersezione con l’asse ossia ponendo risulta -1.

L’intersezioni con l’asse ossia ponendo e risolvendo l’equazione di secondo grado sono:

e

Con la derivata prima determino il vertice della parabola:

Il vertice della parabola risulta:

è un punto di minimo (basta studiare il segno della derivata prima.

Adesso studio la .

L’intersezione con l’asse ossia ponendo risulta -1.

L’intersezione con l’asse ossia ponendo risulta 1.

Studio la derivata prima e di ha dopo alcuni semplici passaggi:

Studiando il segno si vede che il primo è il punto di massimo mentre il secondo è il punto di minimo con le seguenti coordinate.

minimo e massimo

La rappresentazione grafica fornisce le seguenti curve:

Secondo punto

Perchè esista un centro di simmetria deve valere la seguente relazione:

sostituendoli nella risulta:

e bisogna uguagliarle:

da questa si vede che e guardando solo i termini che non sono nell’esponente si ha la condizione ossia .

il punto è quello di simmetria. Come si poteva anche vedere dal grafico

Terzo punto

Si deve risolvere il sistema:

L’esponenziale si deve annullare per cui:

che ha come soluzioni 0 e 2

Anche il polinomi che moltiplica l’esponenziale si deve annullare

che ha come soluzione o e 2.

Quindi si annulla in  e in .

Per verificare la condizione di tangenza si calcola il valore della derivata prima in 0 e deve avere lo stesso valore:

ed effettivamente sono tangenti.

Quarto punto

Si deve calcolare l’area della seguente regione di piano:

Si deve notare che il primo integrale (x-1) è la derivata a meno di -2 dell’esponente per cui la primitiva risulta:

.

Si considerino le seguenti funzioni:

Provare che, comunque siano scelti i valori di e in con , la funzione g ammette un massimo e un minimo assoluti. Determinare i valori di a e b in corrispondenza dei quali i grafici delle due funzioni f e g si intersecano nel punto A(2,1).

Prerequisiti

• saper fare la derivata prima
• segno della derivata prima
• risolvere un sistema d’equazioni

Sviluppo

Sviluppo la prima parte facendo la derivata prima di .

annullo la derivata per determinare i potenziali punti di massimo o di minimo

posso eliminare l’esponenziale perchè si annulla solo all’infinito e rimane:

si nota che la quantità sotto la radice è sempre positiva per cui si hanno sempre due valori che potranno essere un massimo ed un minimo.

Per verificare che siano anche massimo o minimo assoluti devo verificare che:

Applicando De L’Hospital:

Adesso sviluppo la seconda parte:

Sostituisco le coordinate di A(2,1) in f ed in g e risolvo il relativo sistema:

Risolvendola con il metodo che si preferisce si ha:

Un protone penetra in una regione di spazio in cui è presente un campo magnetico uniforme di modulo .

Esso inizia a muoversi descrivendo una traiettoria ad elica cilindrica, con passo costante , ottenuta dalla composizione di un moto circolare uniforme di raggio r=10.5 cm e di un moto rettilineo uniforme. Determinare il modulo del vettore velocità e l’angolo che esso forma con .

Prerequisiti

• conoscenza della forza di Lorentz
• moto circolare
• scomposizione dei vettori velocità

Sviluppo

Forza di Lorentz

Essendo un moto elicoidale si deve tener presente questo schema:

ossia la formula precedente diventa in modulo

per cui quella precedente diventa:

ma il periodo T:

da cui si trova:

.

In laboratorio si sta osservando il moto di una particella che si nuove nel verso positivo dell’asse x di un sistema di riferimento ad esso solidale.

All’istante iniziale, la particella si trova all’origine e in un intervallo di tempo di 2ns percorre una distanza di 25cm.

Una navicella passa con velocità v=0,80c lungo la direzione x del laboratorio, nel verso positivo, e da essa si osserva il moto della stessa particella.

Determinare le velocità medie della particella nei due sistemi di riferimento.

Quale intervallo di tempo e quale distanza misurerebbe un osservatore posto sulla navicella?

Prerequisiti

• conoscenza delle trasformazioni di Lorentz
• addizione delle velocità

Sviluppo

Nel primo sistema di riferimento al velocità media sarà:

Nel secondo sistema di riferimento devo applicare la relazione:

dal sistema della navetta osserverò una contrazione delle lunghezze:

ossia

L’intervallo di tempo sarà:

quindi rispetto al sistema di riferimento della navicella vi è stata una contrazione delle lunghezze ed una dilatazione dei tempi.

Spiegare la relazione esistente tra la variazione del campo che induce la corrente e il verso della corrente indotta. Calcolare la corrente media che passa nella spira durante i seguenti intervalli di tempo:

Una spira di rame, di resistenza racchiude un’area di ed è immersa in un campo magnetico uniforme, le cui linee di forza sono perpendicolari alla superficie della spira. La component del campo magnetico perpendicolare alla superficie varia nel tempo come indicato in figura.

a: da 0,0 ms a 3,0 ms

b: da 3,0 ms a 5,0 ms

c: da 5,0 ms a 10 ms

Prerequiti

Conoscenza legge di Faraday-Neumann

Sviluppo

La corrente

l’unica cosa che varia nel tempo è il campo indizione magnetico secondo il grafico, la superficie rimane costante per cui si avrà:

quindi finchè il campo magnetico è negativo si avrà la corrente da un verso appena diventa positivo la corrente avrà verso opposto.

Per calcolare il valore medio della corrente tra i ari intervalli di deve calcolare il valore del campo magnetico in tali intervalli estrapolando i dati.

Intervallo [ms]	Campo magnetico B [mT]
0-3
3-5
5-10

Le funzioni trovate sono: nel primo tratto una parabola con vertice nell’origine e passante per il punto negli altri due casi sono delle rette che passano per i punti estratti dal grafico.

Per trovare il valore medio della corrente nei vari intervalli si deve svolgere il seguente integrale:

Intervallo	Integrale
0-3
3-5
5-10

Primo intervallo:

per il secondo ed il terzo è sufficiente sostituire i valori.

Si lanciano 4 dati con facce numerate da 1 a 6:

• Qual è la probabilità che la somma dei 4 numeri usciti non superi il 5?
• Qual è la probabilità che il prodotto dei 4 numeri usciti sia multiplo di 3?
• Qual è la probabilità che il massimo numero uscito sia 4?

Prerequisito

• conoscere bene le permutazioni con ripetizione
• lo schema ad albero per calcolare le probabilità del prodotto e somma di eventi

Sviluppo

Primo punto:

Per avere che la somma non superi il 5 è necessario che si abbia la seguente quaterna:

1 1 1 2

essa può essere vista come una permutazione con ripetizione del gruppo 1 tre volte e quindi le possibili permutazioni sono:

ed anche la quaterna

1 1 1 1

La probabilità che esca 1 è \cfrac{1}{6} come pure che esca il 2 e quindi si deve effettuare il prodotto affinché esca la quaterna 1 1 1 2 ossia

siccome può capitare quattro volte, la probabilità cercata sarà:

Secondo punto:

Il ragionamento è molto simile al precedente

per avere che il prodotto sia un multiplo del 3 si dovranno avere queste quaterne (a fianco inserisco quante possibili permutazioni possono essere inserite e elativa probabilità:

Quaterna	permutazione	probabilità
6 3 3 3	4
6 6 6 6	1
1 1 1 3	4
6 1 1 1	4
6 6 6 3	4
6 6 3 3	6

Si sommano adesso tutte le probabilità e si ha:

terzo punto:

Seguo il ragionamento e lo schema precedente:

quaterna	permutazione	probabilità
4 1 1 1	4
4 2 2 2	4
4 3 3 3	4
4 4 4 4	1
4 1 2 2	6
4 1 1 2	6
4 1 3 3	6
4 1 1 3	6
4 2 2 3	6
4 2 3 3	6

Si sommano adesso tutte le probabilità e si ha:

Dati i punti e , provare che il luogo geometrico dei punti P dello spazio, tali che, , è costituito da una superficie sferica S e scrivere la sua equazione cartesiana. Verificare che il punto appartenga ad S e determinare l’equazione del piano tangente in T ad S.

Prerequisiti

• conoscenza della distanza tra due punti nello spazio
• definizione di raggio e centro di una sfera
• conoscenza della retta passante per due punti nello spazio
• conoscenza della relazione tra vettore direzione della retta e di quello del piano
• conoscenza condizione di appartenenza di un punto nello spazio.

Sviluppo

Per prima cosa impongo la condizione .

elevando tutto al quadrato e sviluppando i quadrati del binomio si ha:

sommando i monomi simili ed ordinandoli nella forma della sfera si ha:

per dimostrare che rappresenti una sfera i coefficienti dei termini al quadrato devono essere uguali: ciò è soddisfatto; inoltre il valore del raggio deve dare un valore maggiore di zero. Le coordinate del centro sono:

e quelle del raggio sono:

quindi è proprio l’equazione di una sfera:

Per verificare che il punto appartenga alla sfera è sufficiente sostituire le sue coordinate all’equazione della sfera e verificare che si abbia un’identità.

ed infatti è un’identità:

Adesso determino la retta passante per il centro e per il punto .

quindi il vettore direzione ha componenti v(-4,4,4) che sono le stesse componenti del vettore direzione del piano perpendicolare a tale retta.

L’equazione del piano sarà quindi:

il piano passa per il punto , per cui è sufficiente sostituire le sue coordinate per determinare d:

ed il piano avrà equazione:

oppure semplificando: