SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

[:it]

Samy Charnine

Dal post sulle probabilità condizionate si è affermato che:

che è uguale a scrivere:

ma nel caso in cui si abbiano eventi indipendenti

per cui si ha il principio delle probabilità composte ossia

Questa relazione è alla base della definizione di Entropia nell’ambito delle telecomunicazioni.

Esempio di applicabilità

Si vuole sapere qual è la probabilità che esca testa, nel lancio di una moneta due volte, sapendo che prima è uscita testa.

In questo caso si è in presenza di eventi indipendenti per cui la probabilità che esca testa al primo lancio è , la probabilità che esca nuovamente testa è , per cui la probabilità che in due lanci mi esca due volte testa vale .[:]

[:it]

Samy Charnine

Due eventi sono indipendenti se il verificarsi dell’uno non influisce sul calcolo della probabilità del verificarsi dell’altro

Due eventi sono dipendenti se il verificarsi dell’uno influisce sul calcolo della probabilità del verificarsi dell’altro.

Sono molto importanti queste due definizioni perché influiscono moltissimo nel caso in cui dovessi prevedere la trasmissione di un messaggio e quindi la necessità di trasmetterlo solo una volta o ritrasmetterlo.

Il primo esempio di eventi indipendenti potrebbe essere quello dell’estrazione di una pallina bianca da un’urna contente palline bianche e nere. In questo caso se dopo l’estrazione rimetto all’interno la pallina bianca estratta avrò eventi INDIPENDENTI ossia calcolare la probabilità di estrarre un’altra pallina bianca non dipende dall’estrazione precedente.

Se invece la pallina bianca non viene reintrodotta dall’urna allora tale fatto ha reso dipendente l’estrazione successiva da quella precedente.[:]

[:it]

Samy Charnine

E’ il caso in cui spesso si può trovare anche nell’ambito delle telecomunicazioni; se nella trasmissione di un fax , qual è la probabilità che essendo stato trasmesso un carattere bianco si possa avere un altro carattere bianco o un carattere nero?

In questo caso si è quindi nella situazione di probabilità subordinata o condizionata.

La probabilità che capiti l’evento A in seguito al fatto che si è verificato l’evento B è detta probabilità subordinata o probabilità condizionata e si indica con e si legge probabilità di A dato che si è verificato B.

Si può dimostrare facilmente che si calcola nella seguente maniera:

dove con si intende intersezione dei due eventi

in maniera analoga

.

Esempio:

E’ stata lanciata una moneta 3 volte ( o lanciate 3 monete in una volta sola). Qual è la probabilità che siano uscite tutte con la stessa faccia, sapendo che sono uscite meno di 2 teste?

La prima cosa che faccio è analizzare tutti i casi possibili del lancio di una moneta con i relativi risultati (esso si chiama spazio campionario o spazio degli eventi).

L’evento monete tutte con la stessa faccia A={}

L’evento monete su tre lanci almeno due teste B={}

[:]

[:it]

Yves Tanguy

• Due eventi sono incompatibili quando la loro probabilità non dipende dal fatto che accada o l’uno o l’altro.

Esempio: nell’estrazione di una carta da un mazzo di 40 carte, prendiamo in considerazione gli eventi:

1. : la carta estratta è un re;
2. : la carta estratta è un asso;
3. : la carta estratta è un re o un asso.

1. Essendoci quattro re su un mazzo di 40

2. Essendoci quattro assi su un mazzo di 40

3. In questo caso sommo semplicemente i due eventi

• Due eventi sono compatibili se essi sono possono capitare contemporaneamente.

Esempio: nell’estrazione di una carta da un mazzo di 40 carte, prendiamo in considerazione gli eventi:

1. : la carta estratta è un re
2. : la carta estratta è una carta di cuori;
3. : la carta estratta è un re o una carta di cuori

1. Essendoci quattro re su un mazzo di 40

2.Ci sono 10 carte di cuori per cui

3. Nel terzo caso i casi favorevoli sono costituiti da 10 carte di cuori sommando i quattro re a cui devo sottrarre il caso in cui entrambi gli eventi possano capitare

In pratica si è in questa situazione in cui si deve sottrarre la contemporaneità degli eventi che altrimenti si conterebbero due volte:

in quanto ho sottratto la probabilità che l’evento sia una carta di cuori e che sia proprio un re.[:]

[:it]

Joan Miró

Credere di esaurire la teoria della probabilità in pochi post è un’impresa molto ardua, per cui esso si pone solo come punto di sviluppo per una trattazione più approfondita attraverso lezioni di approfondimento in aula o su libri strettamente specifici.

Il concetto di fenomeno aleatorio si contrappone a quello di fenomeno deterministico. Ad esempio il moto di un corpo sottoposto alla forza di gravità terrestre; le leggi della dinamica e della cinematica consentono di determinarne in modo esatto la traiettoria, note che siano le condizioni iniziali e il valore dell’accelerazione di gravità.

Note cioè le cause, si possono esattamente valutare gli effetti e il fenomeno si può considerare deterministico.

Da un’analisi più accurata si nota che le condizioni iniziali e l’accelerazione di gravità non sono mi esattamente note per le inevitabili  incertezze di misura, la stessa traiettoria può essere osservata soltanto entro certi limiti d’approssimazione.

In queste circostanze la traiettoria del corpo non è esattamente prevedibile e il modello deterministico precedentemente  considerato può fornire soltanto indicazioni di massima su quello che sarà la traiettoria osservata.

Può accadere tuttavia che un’analisi più accurata dei risultati riveli una sorta di REGOLARITA’ STATISTICA nel senso che la traiettoria “media” da definirsi in maniera opportuna, tende sempre più a stabilizzarsi con l’aumentare del numero di osservazioni.

Quest’ultima frase è alla base delle telecomunicazioni nel senso che un segnale trasmesso non si ha mai la certezza di come esso possa arrivare al destinatario ma si può descrivere in maniera statistico come esso possa arrivare al destinatario stesso e sapendo la funzione statistica che lo descrive si può prevedere come esso possa essere ricevuto.

Andrej Nikolaevič Kolmogorov

ASSIOMI DI KOLMOGROV

1- Ad ogni evento casuale a corrisponde un certo numero P(a), chiamato “probabilità di a“, che soddisfa la disuguaglianza .

2- La probabilità dell’evento certo è 1

3- La probabilità dell’unione di un numero finito o infinito numerabile di eventi mutuamente esclusivi è pari alla somma delle probabilità di questi eventi

La prima definizione porta quindi a definire la

dove m sono i casi favorevoli, ed n  i casi possibili.[:]

[:it]

Joan Miró

Per telecomunicazioni si intende una quell’insieme di regole, strumenti che permettono il passaggio di informazione.

L’informazione è alla base della comunicazione, qualunque tipo di comunicazione da quella verbale a quella dei segni porta dell’informazione.

Lo scopo di un corso di telecomunicazioni è quello di formalizzare sia dal punto di vista fisico ma anche tecnologico  gli strumenti ed imparare come essi si possano utilizzare.

Si può partire dalla forma d’onda, per passare ai vari tipi di segnale, passando per il rumore per arrivare ai mezzi trasmissivi sempre tenendo l’informatica come filo conduttore ma soprattutto punto d’unione tra i vari argomenti.

Alla base della teoria dell’informazione vi sono i fenomeni aleatori per cui il primo passo è definire quelli per poi passare alla definizione di informazione, entropia e poi le caratteristiche del mezzo.[:]

[:it]

Vladimir Kush

Lo studio dei massimi e dei minimi per le funzioni a due variabili richiede l’introduzione di alcuni nuove strumenti matematici quali il gradiente e la matrice hessiana.

ll gradiente è un vettore le cui componenti sono le derivate parziali seconde della funzione, questo in un sistema ortonormale.

La matrice hessiana è composta dalle derivate seconde parziali opportunamente combinate, per semplicità scrivo quella relativa alla matrice quadrata di rango 2.

Per calcolare i massimi e i minimi di una funzione a più variabili attraverso la matrice hessiana devo analizzare le seguenti condizioni:

• annullare il gradiente i relativi punti saranno poi usati nello studio del segno del determinante della matrice hessiana
• e allora è un minimo relativo
• e e allora è un massimo  relativo
• allora  è un punto di sella.

Con

Il punto di sella è quel punto tale per cui la matrice hessiana rimane indefinita o in particolare è quel punto tale che prendendo due curve passanti per P esso è sia minimo che massimo graficamente si ha:

Moltiplicatori di Lagrange per la ricerca dei massimi e minimi vincolati

L’applicazione del teorema di Lagrange lo si usa quando la funzione è vincolata da un’altra. L’applicazione del teorema di Lagrange fornisce una condizione necessaria ma non sufficiente ma consente comunque la determinazione dei massimi e dei minimi vincolati.

Senza entrare nel formalismo del teorema è sufficiente sapere che data la funzione e la funzione vincolo   si definisce

Si annulla il gradiente di questa funzione e si sostituiscono i valori trovati in e li si confrontano e quelli minori sono i minimi e quelli maggiori sono i massimi.[:]

[:it]

Vladimir Kush

Testo: M557

1P. Primo Problema

2P. Secondo problema

1Q. Primo quesito

2Q. Secondo quesito

3Q. Terzo quesito

4Q. Quarto quesito

5Q. Quinto quesito

6Q. Sesto quesito

7Q. Settimo quesito

8Q. Ottavo quesito

9Q. Nono Quesito

10Q. Decimo quesito[:]

[:it]

Samy Charnine

Dimostrare che l’equazione:

(1)  

ha una e una sola soluzione reale

Prerequisiti

• conoscere il teorema di unicità dello zero
• calcolare la derivata
• calcolare un limite
• sapere la derivata delle funzioni trigonometriche

Sviluppo
Il teorema di unicità dello zero afferma che:
Se la derivata è non nulla in ogni punto di , la funzione ammette soltanto uno zero in tale intervallo aperto.

pongo

(2)  

Calcolo i seguenti due limiti:

(3)  

(4)  

effettuando adesso al derivata prima ho:

(5)  

La derivata prima è sempre positiva per cui la funzione di partenza è sempre crescente.

Le ipotesi del teorema sono soddisfatte e l’equazione ha una e una sola soluzione reale.

Il grafico di questa funzione è infatti:

[:]