[:it]Principio delle probabilità totali[:]

Pubblicato il 13 Settembre 2017 da admin

[:it]

Yves Tanguy

  • Due eventi sono incompatibili quando la loro probabilità non dipende dal fatto che accada o l’uno o l’altro.

Esempio: nell’estrazione di una carta da un mazzo di 40 carte, prendiamo in considerazione gli eventi:

  1. E_{1}: la carta estratta è un re;
  2. E_{2}: la carta estratta è un asso;
  3. E_{3}: la carta estratta è un re o un asso.

1. Essendoci quattro re su un mazzo di 40 E_{1}=\cfrac{4}{40}

2. Essendoci quattro assi su un mazzo di 40 E_{2}=\cfrac{4}{40}

3. In questo caso sommo semplicemente i due eventi E_{1}+E_{2}=\cfrac{8}{40}

 

  • Due eventi sono compatibili se essi sono possono capitare contemporaneamente.

Esempio: nell’estrazione di una carta da un mazzo di 40 carte, prendiamo in considerazione gli eventi:

  1. E_{1}: la carta estratta è un re
  2. E_{2}: la carta estratta è una carta di cuori;
  3. E_{3}: la carta estratta è un re o una carta di cuori

1. Essendoci quattro re su un mazzo di 40 E_{1}=\cfrac{4}{40}

2.Ci sono 10 carte di cuori per cui E_{2}=\cfrac{10}{40}

3. Nel terzo caso i casi favorevoli sono costituiti da 10 carte di cuori sommando i quattro re a cui devo sottrarre il caso in cui entrambi gli eventi possano capitare

In pratica si è in questa situazione in cui si deve sottrarre la contemporaneità degli eventi che altrimenti si conterebbero due volte:

E_{3}=\cfrac{10}{40}+\cfrac{4}{40}-\cfrac{1}{40}=\cfrac{13}{40}

in quanto ho sottratto la probabilità che l’evento sia una carta di cuori e che sia proprio un re.[:]

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[:it]Teoria della probabilità e dei fenomeni aleatori: assiomi di Kolmogrov[:]

Pubblicato il 12 Settembre 2017 da admin

[:it]

Joan Miró

Credere di esaurire la teoria della probabilità in pochi post è un’impresa molto ardua, per cui esso si pone solo come punto di sviluppo per una trattazione più approfondita attraverso lezioni di approfondimento in aula o su libri strettamente specifici.

Il concetto di fenomeno aleatorio si contrappone a quello di fenomeno deterministico. Ad esempio il moto di un corpo sottoposto alla forza di gravità terrestre; le leggi della dinamica e della cinematica consentono di determinarne in modo esatto la traiettoria, note che siano le condizioni iniziali e il valore dell’accelerazione di gravità.

Note cioè le cause, si possono esattamente valutare gli effetti e il fenomeno si può considerare deterministico.

Da un’analisi più accurata si nota che le condizioni iniziali e l’accelerazione di gravità non sono mi esattamente note per le inevitabili  incertezze di misura, la stessa traiettoria può essere osservata soltanto entro certi limiti d’approssimazione.

In queste circostanze la traiettoria del corpo non è esattamente prevedibile e il modello deterministico precedentemente  considerato può fornire soltanto indicazioni di massima su quello che sarà la traiettoria osservata.

Può accadere tuttavia che un’analisi più accurata dei risultati riveli una sorta di REGOLARITA’ STATISTICA nel senso che la traiettoria “media” da definirsi in maniera opportuna, tende sempre più a stabilizzarsi con l’aumentare del numero di osservazioni.

Quest’ultima frase è alla base delle telecomunicazioni nel senso che un segnale trasmesso non si ha mai la certezza di come esso possa arrivare al destinatario ma si può descrivere in maniera statistico come esso possa arrivare al destinatario stesso e sapendo la funzione statistica che lo descrive si può prevedere come esso possa essere ricevuto.

Andrej Nikolaevič Kolmogorov

ASSIOMI DI KOLMOGROV

1- Ad ogni evento casuale a corrisponde un certo numero P(a), chiamato “probabilità di a“, che soddisfa la disuguaglianza 0\leq P(a)\leq 1.

2- La probabilità dell’evento certo è 1

3- La probabilità dell’unione di un numero finito o infinito numerabile di eventi mutuamente esclusivi è pari alla somma delle probabilità di questi eventi

La prima definizione porta quindi a definire la

P(a)=\cfrac{m}{n}

dove m sono i casi favorevoli, ed n  i casi possibili.[:]

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[:it]Telecomunicazioni: introduzione generale[:]

Pubblicato il 12 Settembre 2017 da admin

[:it]

Joan Miró

Per telecomunicazioni si intende una quell’insieme di regole, strumenti che permettono il passaggio di informazione.

L’informazione è alla base della comunicazione, qualunque tipo di comunicazione da quella verbale a quella dei segni porta dell’informazione.

Lo scopo di un corso di telecomunicazioni è quello di formalizzare sia dal punto di vista fisico ma anche tecnologico  gli strumenti ed imparare come essi si possano utilizzare.

Si può partire dalla forma d’onda, per passare ai vari tipi di segnale, passando per il rumore per arrivare ai mezzi trasmissivi sempre tenendo l’informatica come filo conduttore ma soprattutto punto d’unione tra i vari argomenti.

Alla base della teoria dell’informazione vi sono i fenomeni aleatori per cui il primo passo è definire quelli per poi passare alla definizione di informazione, entropia e poi le caratteristiche del mezzo.[:]

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[:it]Massimi e minimi funzione a due variabili: gradiente e matrice hessiana[:]

Pubblicato il 3 Agosto 2017 da admin

[:it]

Vladimir Kush

Lo studio dei massimi e dei minimi per le funzioni a due variabili richiede l’introduzione di alcuni nuove strumenti matematici quali il gradiente e la matrice hessiana.

ll gradiente è un vettore le cui componenti sono le derivate parziali seconde della funzione, questo in un sistema ortonormale.

\nabla f=\left ( \cfrac{\delta f}{\delta x};\cfrac{\delta f}{\delta y};... \right )

La matrice hessiana è composta dalle derivate seconde parziali opportunamente combinate, per semplicità scrivo quella relativa alla matrice quadrata di rango 2.

H=\begin{pmatrix} \cfrac{\delta ^{2}f}{\delta x^{2}}} & \cfrac{\delta ^{2}f}{\delta x \delta y}}\\ \cfrac{\delta ^{2}f}{\delta y\delta x}}&\cfrac{\delta ^{2}f}{\delta y^{2}}} \end{pmatrix}

Per calcolare i massimi e i minimi di una funzione a più variabili attraverso la matrice hessiana devo analizzare le seguenti condizioni:

  • annullare il gradiente \nabla f=0 i relativi punti saranno poi usati nello studio del segno del determinante della matrice hessiana
  • \left | H\left ( P_{0} \right ) \right |>0 e f_{xx}>0 allora P_{0} è un minimo relativo
  • \left | H\left ( P_{0} \right ) \right |>0 e e f_{xx}<0 allora P_{0} è un massimo  relativo
  • \left | H\left ( P_{0} \right ) \right |<0 allora P_{0} è un punto di sella.

Con f_{xx}=\cfrac{\delta ^{2}f}{\delta x^{2}}}

Il punto di sella è quel punto tale per cui la matrice hessiana rimane indefinita o in particolare è quel punto tale che prendendo due curve passanti per P esso è sia minimo che massimo graficamente si ha:

Moltiplicatori di Lagrange per la ricerca dei massimi e minimi vincolati

L’applicazione del teorema di Lagrange lo si usa quando la funzione è vincolata da un’altra. L’applicazione del teorema di Lagrange fornisce una condizione necessaria ma non sufficiente ma consente comunque la determinazione dei massimi e dei minimi vincolati.

Senza entrare nel formalismo del teorema è sufficiente sapere che data la funzione f(x,y) e la funzione vincolo  g(x,y) si definisce

L\left ( x,y,\lambda \right )=f(x,y)+\lambda g(x,y)

Si annulla il gradiente di questa funzione e si sostituiscono i valori trovati in f(x,y) e li si confrontano e quelli minori sono i minimi e quelli maggiori sono i massimi.[:]

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[:it]Maturità 2012: testo e sviluppo della prova d’esame[:]

Pubblicato il 29 Giugno 2017 da admin

[:it]

Vladimir Kush

Testo: M557

1P. Primo Problema

2P. Secondo problema

1Q. Primo quesito

2Q. Secondo quesito

3Q. Terzo quesito

4Q. Quarto quesito

5Q. Quinto quesito

6Q. Sesto quesito

7Q. Settimo quesito

8Q. Ottavo quesito

9Q. Nono Quesito

10Q. Decimo quesito[:]

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[:it]Maturità 2017: decimo quesito[:]

Pubblicato il 28 Giugno 2017 da admin

[:it]

Samy Charnine

Data la funzione

(1)   \begin{equation*} f(x)=\left | 4-x^{2} \right | \end{equation*}

verificare che essa non soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo [-3;3] e che comunque esiste almeno un punto dell’intervallo [-3;3] in cui la derivata prima f(x) si annulla. Questo esempio contraddice il teorema di Rolle? Motivare la risposta in maniera esaustiva.

Prerequisiti

  • conoscere il teorema di Rolle
  • saper fare il grafico di una funzione con il modulo
  • saper fare il grafico di una conica in maniera veloce

Sviluppo

Teorema di Rolle
Data una funzione f(x) definita in un intervallo limitato e chiuso [a;b] con le seguenti proprietà:

  • f(x) è continua in [a;b],
  • f(x) è derivabile in [a;b],
  • f(a)=f(b),

Sviluppo la funzione (1)

la applico:

(2)   \begin{equation*} \left | 4-x^2 \right |=\left\{\begin{matrix} 4-x^2 & 4-x^2 \geqslant 0\\ -(4-x^2) & 4-x^2<0 \end{matrix}\right. \end{equation*}

essa rappresenta due parabole con intersezioni con l’asse x che valgono +2 e -2.
Il grafico è infatti:

Il teorema di Rolle non è soddisfatto in quanto in -2 ed in 2 la funzione non è derivabile e sono due punti all’intervallo dell’intervallo [-3;3].
Non sono punti di derivabilità in quanto punti angolosi.

Ma se restringo l’intervallo, ad esempio[-1;1] il teorema di Rolle è perfettamente applicabile.
Infatti f(1)=f)-1) e tutte le altre condizioni dono soddisfatte.[:]

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[:it]Maturità 2017: nono quesito[:]

Pubblicato il 28 Giugno 2017 da admin

[:it]

Samy Charnine

Dimostrare che l’equazione:

(1)   \begin{equation*} \arctan (x)+x^{3}+e^{x}=0 \end{equation*}

ha una e una sola soluzione reale

Prerequisiti

  • conoscere il teorema di unicità dello zero
  • calcolare la derivata
  • calcolare un limite
  • sapere la derivata delle funzioni trigonometriche

Sviluppo
Il teorema di unicità dello zero afferma che:
Se la derivata f'(x) è non nulla in ogni punto di \left (a,b \right ), la funzione ammette soltanto uno zero in tale intervallo aperto.

pongo

(2)   \begin{equation*} f(x)=\arctan (x)+x^{3}+e^{x} \end{equation*}

Calcolo i seguenti due limiti:

(3)   \begin{equation*} \underset{x\rightarrow+\infty }{lim}f(x)=+\infty \end{equation*}

(4)   \begin{equation*} \underset{x\rightarrow-\infty}{lim}f(x)=-\infty \end{equation*}

effettuando adesso al derivata prima ho:

(5)   \begin{equation*} f'(x)=\cfrac{1}{1+x^2}+3x^{2}+e^{x} \end{equation*}

La derivata prima è sempre positiva per cui la funzione di partenza è sempre crescente.

Le ipotesi del teorema sono soddisfatte e l’equazione ha una e una sola soluzione reale.

Il grafico di questa funzione è infatti:

 

[:]

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[:it]Maturità 2017: ottavo quesito[:]

Pubblicato il 27 Giugno 2017 da admin

[:it]

Vladimir Kush

Un dado ha la forma di un dodecaedro regolare con le facce numerate da 1 a 12. Il dado è truccato in modo che la faccia contrassegnata dal numero 3 si presenti con una probabilità doppia rispetto a ciascun’altra faccia. Determinare il valore di p in percentuale e calcolare la probabilità che in 5 lanci del dado la faccia 3 esca almeno 2 volte.

Prerequisiti

  • conoscere i teoremi della probabilità
  • conoscere la permutazioni con ripetizione
  • conoscere la probabilità di eventi indipendenti

Sviluppo

La somma della probabilità di tutti gli eventi mi dà sempre 1.

Nel caso specifico la probabilità che esca la faccia dall’1 al 12 escluso il 3 è p mentre 2p se esce il 3; ho 11 facce equiprobabili, per cui vale la seguente equazione:

(1)   \begin{gather*} 2p+11p=1 \\ 13p =1 \\ p=\cfrac{1}{13} \end{gather*}

Perché un evento possa verificarsi almeno significa che potrebbe sempre capitare o esserci almeno il numero di volte richiesto.

Nel caso specifico la probabilità che in 5 lanci esca il 3 è dato da:

(2)   \begin{equation*} \left (\cfrac{2}{13} \right )^5 \end{equation*}

Per conoscere tutte le possibili permutazioni nel caso in cui uscisse 4 volte il 3 ed una sola volta un altro numero uso la seguente relazione:

(3)   \begin{equation*} P_{n}^{h,k}=\cfrac{n!}{h!k!\cdot ...} \end{equation*}

Si usa ad esempio quante parole diverse non di senso compito possono essere fatte con la parola AABCDE con il gruppo AA che si ripete.

Perché esca 4 volte
ho

(4)   \begin{equation*} P_{5}^{4,1}=\cfrac{5!}{4!1!}=5 \end{equation*}

ad esempio 3 3 3 3 5

La probabilità diventa:

(5)   \begin{equation*} 5\left (\cfrac{2}{13} \right )^4\cfrac{11}{13} \right \end{equation*}

Perché esca 3 volte
ho

(6)   \begin{equation*} P_{5}^{3,2}=\cfrac{5!}{3!1!}=10 \end{equation*}

ad esempio 3 3 3 5 5

La probabilità diventa:

(7)   \begin{equation*} 10\left (\cfrac{2}{13} \right ) ^3\left (\cfrac{11}{13}\right )^2 \right \end{equation*}

Perché esca 2 volte
ho

(8)   \begin{equation*} P_{5}^{2,3}=\cfrac{5!}{2!3!}=10 \end{equation*}

ad esempio 3 3 5 5 5

La probabilità diventa:

(9)   \begin{equation*} 10\left (\cfrac{2}{13} \right )^2\left (\cfrac{11}{13}\right )^3 \right \end{equation*}

sommando la (2), (5), (7) e la (9) si ha

(10)   \begin{equation*} \left (\cfrac{2}{13} \right )^5+5\left (\cfrac{2}{13} \right )^4\cfrac{11}{13} \right +10\left (\cfrac{2}{13} \right ) ^3\left (\cfrac{11}{13}\right )^2 \right + 10\left (\cfrac{2}{13} \right )^2\left (\cfrac{11}{13}\right )^3 \right=0,1719 \end{equation*}

in percentuale diventa

il 17,19%[:]

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[:it]Maturità 2017: settimo quesito[:]

Pubblicato il 27 Giugno 2017 da admin

[:it]

Alex Alemany

Determinare le coordinate dei centri delle sfere di raggio \sqrt{6} tangenti sl piano \pi di equazione:

(1)   \begin{equation*} x+2y-z+1=0 \end{equation*}

nel suo punto P di coordinate (1,0,2).

Prerequisiti

  • conoscere l’equazione della sfera nello spazio
  • conoscere la formula che esprime la distanza di un punto da un piano
  • conoscere l’equazione della retta passante per un punto e perpendicolare ad un piano
  • conoscere la condizione di appartenenza di un punto ad una retta

Sviluppo

L’equazione di una retta passante per un punto in forma parametrica è:

(2)   \begin{equation*} \left\{\begin{matrix} x=x_{0}+lt \\ y=y_{0}+mt\\ z=z_{0}+nt \end{matrix}\right. \end{equation*}

l,m,n, rappresentano le coordinate del vettore direzione v(l,m,n) ossia quello parallelo alla retta.

L’equazione generale di un piano ha equazione:

(3)   \begin{equation*} ax+by+cz+d=0 \end{equation*}

i coefficienti a,b e c rappresentano le coordinate del vettore perpendicolare al piano.

Unendo queste due richiami teorici la retta passante per P(1,0,2) e perpendicolare al piano \pi: x+2y-z+1=0 in forma parametrica è:

(4)   \begin{equation*} \left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2t\\ z=2-t \end{matrix}\right. \end{equation*}

La formula della sfera è:

(5)   \begin{equation*} \left ( x-\alpha \right )^2+\left ( y-\beta \right )^2+\left ( z-\gamma \right )^2=r^{2} \end{equation*}

con C\left ( \alpha ,\beta ,\gamma \right ) centro della sfera ed r raggio della sfera.

applicandola si ha:

(6)   \begin{equation*} \left ( x-\alpha \right )^2+\left ( y-\beta \right )^2+\left ( z-\gamma \right )^2=6 \end{equation*}

Adesso richiamo la formula della distanza di un punto da un piano:

(7)   \begin{equation*} d=\cfrac{\left | ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} \end{equation*}

con a,b,c i coefficienti del piano (3) e P(x_{0},y_{0},z_{0}) il punto P di cui si vuole conoscere la distanza dal piano stesso.

Applicandola sapendo che la distanza tra il centro C\left ( \alpha ,\beta ,\gamma \right ) e il piano \pi: x+2y-z+1=0 vale \sqrt{6}:

(8)   \begin{equation*} d=\cfrac{\left | \alpha \cdot 1+\beta \cdot 2+\gamma \cdot -1 +1 \right |}{\sqrt{1+4+1}}}=\sqrt{6} \end{equation*}

Il centro C\left ( \alpha ,\beta ,\gamma \right ) appartiene alla retta trovata (4) per cui essa diventa:

(9)   \begin{equation*} \left\{\begin{matrix} \alpha =1+t \\ \beta =2t\\ \gamma=2-t \end{matrix}\right. \end{equation*}

adesso esprimo t in funzione delle coordinate del centro

(10)   \begin{equation*} \left\{\begin{matrix} t=\alpha-1 \\ \beta =2\alpha-2\\ \gamma=3-\alpha \end{matrix}\right. \end{equation*}

Adesso sostituisco i valori trovati nella (8) ed ho:

(11)   \begin{gather*} \cfrac{\left | \alpha+2(2\alpha-2)-3+\alpha+1 \right |}{\sqrt{1+4+1}}=\sqrt{6} \\ \left | 6\alpha -6 \right |=6 \\ \left | \alpha -1 \right |=1 \end{gather*}

Sapendo che in generale

(12)   \begin{equation*} \left | x \right |=\left\{\begin{matrix} x & x\geqslant 0\\ -x & x<0 \end{matrix}\right. \end{equation*}

la applico:

(13)   \begin{equation*} \left | \alpha -1 \right |=\left\{\begin{matrix} \alpha -1 & \alpha \geqslant 1\\ -\alpha +1 & \alpha <1 \end{matrix}\right. \end{equation*}

quindi ho due equazioni:

(14)   \begin{gather*} \alpha -1=1 \\ \alpha =2 \end{gather*}

e

(15)   \begin{gather*} -\alpha +1=1 \\ \alpha =0 \end{gather*}

i due centri hanno equazione:

(16)   \begin{equation*} C_{1}\left ( 0,-2,3 \right ) \end{equation*}

e

(17)   \begin{equation*} C_{2}\left ( 2,2,1 \right ) \end{equation*}

[:]

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[:it]Maturità 2017: sesto quesito[:]

Pubblicato il 27 Giugno 2017 da admin

[:it]

Alex Alemany

Determinare il numero reale a in modo che il valore di

(1)   \begin{equation*} \underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{\sin (x)-x}{x^{a}} \end{equation*}

sia un numero reale non nullo.

Prerequisiti

  • conoscere come calcolare un limite
  • conoscere i limiti indeterminati
  • conoscere il teorema di De l’Hopital

Sviluppo

Se sostituisco il valore a cui tende la x nella (1) mi accorgo si essere nella condizione \cfrac{0}{0} e posso applicare De l’Hopital.

Il teorema di De l’Hopital afferma che nel caso in cui ci si trova nella condizione \cfrac{0}{0} o \cfrac{\infty }{\infty } allora:

(2)   \begin{equation*} \underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}\cfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}\cfrac{f'(x)}{g'(x)} \end{equation*}

che significa fare la derivata del numeratore e del denominatore separatamente e NON la derivata del quoziente di funzione!

Applico la (2):

(3)   \begin{equation*} \underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{\sin (x)-x}{x^{a}}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{\cos (x)-1}{a\cdot x^{a-1}} \end{equation*}

Sostituisco il valore a cui tende la x nella (3) e mi accorgo si essere ancora nella condizione \cfrac{0}{0} ma potrei porre l’esponente della x del denominatore a 0 e conseguentemente togliere la condizione che lo annulla (a=1), in questo caso il limite tenderebbe a 0, ma stiamo cercando un valore reale non nullo.
Applico nuovamente De l’Hopital.

(4)   \begin{equation*} \underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{\cos (x)-1}{a\cdot x^{a-1}}= \underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{-\sin (x)}{a\cdot (a-1) \cdot x^{a-2}} \end{equation*}

Sostituisco il valore a cui tende la x nella (4) e mi accorgo si essere ancora nella condizione \cfrac{0}{0} ma potrei porre l’esponente della x del denominatore a 0 e conseguentemente togliere la condizione che lo annulla (a=2), in questo caso il limite tenderebbe a 0, ma stiamo cercando un valore reale non nullo.
Applico nuovamente De l’Hopital.

(5)   \begin{equation*} \underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{-\sin (x)}{a\cdot (a-1) \cdot x^{a-2}}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{-\cos (x)}{a\cdot (a-1) \cdot (a-2) \cdot x^{a-3}} \end{equation*}

Sostituisco il valore a cui tende la x nella (4) e mi accorgo di essere adesso nella condizione \cfrac{-1}{0}=\infty ma pongo l’esponente della x del denominatore a 0 e, conseguentemente, togliere la condizione che lo annulla (a=3), in questo caso la (5) diventa:

(6)   \begin{equation*} \underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{-\cos (x)}{a\cdot (a-1) \cdot (a-2) \cdot x^{a-3}}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{-\cos (0)}{3\cdot (3-1) \cdot (3-2) \cdot x^{0}}=-\cfrac{1}{6} \end{equation*}

L’unico valore per cui il limite assume un valore reale non nullo è:

(7)   \begin{equation*} a=3 \end{equation*}

[:]

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