[:it]Maturità 2017: decimo quesito[:]

Pubblicato il 28 Giugno 2017 da admin

[:it]

Samy Charnine

Data la funzione

(1)   \begin{equation*} f(x)=\left | 4-x^{2} \right | \end{equation*}

verificare che essa non soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo [-3;3] e che comunque esiste almeno un punto dell’intervallo [-3;3] in cui la derivata prima f(x) si annulla. Questo esempio contraddice il teorema di Rolle? Motivare la risposta in maniera esaustiva.

Prerequisiti

  • conoscere il teorema di Rolle
  • saper fare il grafico di una funzione con il modulo
  • saper fare il grafico di una conica in maniera veloce

Sviluppo

Teorema di Rolle
Data una funzione f(x) definita in un intervallo limitato e chiuso [a;b] con le seguenti proprietà:

  • f(x) è continua in [a;b],
  • f(x) è derivabile in [a;b],
  • f(a)=f(b),

Sviluppo la funzione (1)

la applico:

(2)   \begin{equation*} \left | 4-x^2 \right |=\left\{\begin{matrix} 4-x^2 & 4-x^2 \geqslant 0\\ -(4-x^2) & 4-x^2<0 \end{matrix}\right. \end{equation*}

essa rappresenta due parabole con intersezioni con l’asse x che valgono +2 e -2.
Il grafico è infatti:

Il teorema di Rolle non è soddisfatto in quanto in -2 ed in 2 la funzione non è derivabile e sono due punti all’intervallo dell’intervallo [-3;3].
Non sono punti di derivabilità in quanto punti angolosi.

Ma se restringo l’intervallo, ad esempio[-1;1] il teorema di Rolle è perfettamente applicabile.
Infatti f(1)=f)-1) e tutte le altre condizioni dono soddisfatte.[:]

Pubblicato in Senza categoria | Contrassegnato | Lascia un commento

[:it]Maturità 2017: nono quesito[:]

Pubblicato il 28 Giugno 2017 da admin

[:it]

Samy Charnine

Dimostrare che l’equazione:

(1)   \begin{equation*} \arctan (x)+x^{3}+e^{x}=0 \end{equation*}

ha una e una sola soluzione reale

Prerequisiti

  • conoscere il teorema di unicità dello zero
  • calcolare la derivata
  • calcolare un limite
  • sapere la derivata delle funzioni trigonometriche

Sviluppo
Il teorema di unicità dello zero afferma che:
Se la derivata f'(x) è non nulla in ogni punto di \left (a,b \right ), la funzione ammette soltanto uno zero in tale intervallo aperto.

pongo

(2)   \begin{equation*} f(x)=\arctan (x)+x^{3}+e^{x} \end{equation*}

Calcolo i seguenti due limiti:

(3)   \begin{equation*} \underset{x\rightarrow+\infty }{lim}f(x)=+\infty \end{equation*}

(4)   \begin{equation*} \underset{x\rightarrow-\infty}{lim}f(x)=-\infty \end{equation*}

effettuando adesso al derivata prima ho:

(5)   \begin{equation*} f'(x)=\cfrac{1}{1+x^2}+3x^{2}+e^{x} \end{equation*}

La derivata prima è sempre positiva per cui la funzione di partenza è sempre crescente.

Le ipotesi del teorema sono soddisfatte e l’equazione ha una e una sola soluzione reale.

Il grafico di questa funzione è infatti:

 

[:]

Pubblicato in Senza categoria | Lascia un commento

[:it]Maturità 2017: ottavo quesito[:]

Pubblicato il 27 Giugno 2017 da admin

[:it]

Vladimir Kush

Un dado ha la forma di un dodecaedro regolare con le facce numerate da 1 a 12. Il dado è truccato in modo che la faccia contrassegnata dal numero 3 si presenti con una probabilità doppia rispetto a ciascun’altra faccia. Determinare il valore di p in percentuale e calcolare la probabilità che in 5 lanci del dado la faccia 3 esca almeno 2 volte.

Prerequisiti

  • conoscere i teoremi della probabilità
  • conoscere la permutazioni con ripetizione
  • conoscere la probabilità di eventi indipendenti

Sviluppo

La somma della probabilità di tutti gli eventi mi dà sempre 1.

Nel caso specifico la probabilità che esca la faccia dall’1 al 12 escluso il 3 è p mentre 2p se esce il 3; ho 11 facce equiprobabili, per cui vale la seguente equazione:

(1)   \begin{gather*} 2p+11p=1 \\ 13p =1 \\ p=\cfrac{1}{13} \end{gather*}

Perché un evento possa verificarsi almeno significa che potrebbe sempre capitare o esserci almeno il numero di volte richiesto.

Nel caso specifico la probabilità che in 5 lanci esca il 3 è dato da:

(2)   \begin{equation*} \left (\cfrac{2}{13} \right )^5 \end{equation*}

Per conoscere tutte le possibili permutazioni nel caso in cui uscisse 4 volte il 3 ed una sola volta un altro numero uso la seguente relazione:

(3)   \begin{equation*} P_{n}^{h,k}=\cfrac{n!}{h!k!\cdot ...} \end{equation*}

Si usa ad esempio quante parole diverse non di senso compito possono essere fatte con la parola AABCDE con il gruppo AA che si ripete.

Perché esca 4 volte
ho

(4)   \begin{equation*} P_{5}^{4,1}=\cfrac{5!}{4!1!}=5 \end{equation*}

ad esempio 3 3 3 3 5

La probabilità diventa:

(5)   \begin{equation*} 5\left (\cfrac{2}{13} \right )^4\cfrac{11}{13} \right \end{equation*}

Perché esca 3 volte
ho

(6)   \begin{equation*} P_{5}^{3,2}=\cfrac{5!}{3!1!}=10 \end{equation*}

ad esempio 3 3 3 5 5

La probabilità diventa:

(7)   \begin{equation*} 10\left (\cfrac{2}{13} \right ) ^3\left (\cfrac{11}{13}\right )^2 \right \end{equation*}

Perché esca 2 volte
ho

(8)   \begin{equation*} P_{5}^{2,3}=\cfrac{5!}{2!3!}=10 \end{equation*}

ad esempio 3 3 5 5 5

La probabilità diventa:

(9)   \begin{equation*} 10\left (\cfrac{2}{13} \right )^2\left (\cfrac{11}{13}\right )^3 \right \end{equation*}

sommando la (2), (5), (7) e la (9) si ha

(10)   \begin{equation*} \left (\cfrac{2}{13} \right )^5+5\left (\cfrac{2}{13} \right )^4\cfrac{11}{13} \right +10\left (\cfrac{2}{13} \right ) ^3\left (\cfrac{11}{13}\right )^2 \right + 10\left (\cfrac{2}{13} \right )^2\left (\cfrac{11}{13}\right )^3 \right=0,1719 \end{equation*}

in percentuale diventa

il 17,19%[:]

Pubblicato in Senza categoria | Lascia un commento

[:it]Maturità 2017: settimo quesito[:]

Pubblicato il 27 Giugno 2017 da admin

[:it]

Alex Alemany

Determinare le coordinate dei centri delle sfere di raggio \sqrt{6} tangenti sl piano \pi di equazione:

(1)   \begin{equation*} x+2y-z+1=0 \end{equation*}

nel suo punto P di coordinate (1,0,2).

Prerequisiti

  • conoscere l’equazione della sfera nello spazio
  • conoscere la formula che esprime la distanza di un punto da un piano
  • conoscere l’equazione della retta passante per un punto e perpendicolare ad un piano
  • conoscere la condizione di appartenenza di un punto ad una retta

Sviluppo

L’equazione di una retta passante per un punto in forma parametrica è:

(2)   \begin{equation*} \left\{\begin{matrix} x=x_{0}+lt \\ y=y_{0}+mt\\ z=z_{0}+nt \end{matrix}\right. \end{equation*}

l,m,n, rappresentano le coordinate del vettore direzione v(l,m,n) ossia quello parallelo alla retta.

L’equazione generale di un piano ha equazione:

(3)   \begin{equation*} ax+by+cz+d=0 \end{equation*}

i coefficienti a,b e c rappresentano le coordinate del vettore perpendicolare al piano.

Unendo queste due richiami teorici la retta passante per P(1,0,2) e perpendicolare al piano \pi: x+2y-z+1=0 in forma parametrica è:

(4)   \begin{equation*} \left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2t\\ z=2-t \end{matrix}\right. \end{equation*}

La formula della sfera è:

(5)   \begin{equation*} \left ( x-\alpha \right )^2+\left ( y-\beta \right )^2+\left ( z-\gamma \right )^2=r^{2} \end{equation*}

con C\left ( \alpha ,\beta ,\gamma \right ) centro della sfera ed r raggio della sfera.

applicandola si ha:

(6)   \begin{equation*} \left ( x-\alpha \right )^2+\left ( y-\beta \right )^2+\left ( z-\gamma \right )^2=6 \end{equation*}

Adesso richiamo la formula della distanza di un punto da un piano:

(7)   \begin{equation*} d=\cfrac{\left | ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} \end{equation*}

con a,b,c i coefficienti del piano (3) e P(x_{0},y_{0},z_{0}) il punto P di cui si vuole conoscere la distanza dal piano stesso.

Applicandola sapendo che la distanza tra il centro C\left ( \alpha ,\beta ,\gamma \right ) e il piano \pi: x+2y-z+1=0 vale \sqrt{6}:

(8)   \begin{equation*} d=\cfrac{\left | \alpha \cdot 1+\beta \cdot 2+\gamma \cdot -1 +1 \right |}{\sqrt{1+4+1}}}=\sqrt{6} \end{equation*}

Il centro C\left ( \alpha ,\beta ,\gamma \right ) appartiene alla retta trovata (4) per cui essa diventa:

(9)   \begin{equation*} \left\{\begin{matrix} \alpha =1+t \\ \beta =2t\\ \gamma=2-t \end{matrix}\right. \end{equation*}

adesso esprimo t in funzione delle coordinate del centro

(10)   \begin{equation*} \left\{\begin{matrix} t=\alpha-1 \\ \beta =2\alpha-2\\ \gamma=3-\alpha \end{matrix}\right. \end{equation*}

Adesso sostituisco i valori trovati nella (8) ed ho:

(11)   \begin{gather*} \cfrac{\left | \alpha+2(2\alpha-2)-3+\alpha+1 \right |}{\sqrt{1+4+1}}=\sqrt{6} \\ \left | 6\alpha -6 \right |=6 \\ \left | \alpha -1 \right |=1 \end{gather*}

Sapendo che in generale

(12)   \begin{equation*} \left | x \right |=\left\{\begin{matrix} x & x\geqslant 0\\ -x & x<0 \end{matrix}\right. \end{equation*}

la applico:

(13)   \begin{equation*} \left | \alpha -1 \right |=\left\{\begin{matrix} \alpha -1 & \alpha \geqslant 1\\ -\alpha +1 & \alpha <1 \end{matrix}\right. \end{equation*}

quindi ho due equazioni:

(14)   \begin{gather*} \alpha -1=1 \\ \alpha =2 \end{gather*}

e

(15)   \begin{gather*} -\alpha +1=1 \\ \alpha =0 \end{gather*}

i due centri hanno equazione:

(16)   \begin{equation*} C_{1}\left ( 0,-2,3 \right ) \end{equation*}

e

(17)   \begin{equation*} C_{2}\left ( 2,2,1 \right ) \end{equation*}

[:]

Pubblicato in Senza categoria | Lascia un commento

[:it]Maturità 2017: sesto quesito[:]

Pubblicato il 27 Giugno 2017 da admin

[:it]

Alex Alemany

Determinare il numero reale a in modo che il valore di

(1)   \begin{equation*} \underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{\sin (x)-x}{x^{a}} \end{equation*}

sia un numero reale non nullo.

Prerequisiti

  • conoscere come calcolare un limite
  • conoscere i limiti indeterminati
  • conoscere il teorema di De l’Hopital

Sviluppo

Se sostituisco il valore a cui tende la x nella (1) mi accorgo si essere nella condizione \cfrac{0}{0} e posso applicare De l’Hopital.

Il teorema di De l’Hopital afferma che nel caso in cui ci si trova nella condizione \cfrac{0}{0} o \cfrac{\infty }{\infty } allora:

(2)   \begin{equation*} \underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}\cfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}\cfrac{f'(x)}{g'(x)} \end{equation*}

che significa fare la derivata del numeratore e del denominatore separatamente e NON la derivata del quoziente di funzione!

Applico la (2):

(3)   \begin{equation*} \underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{\sin (x)-x}{x^{a}}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{\cos (x)-1}{a\cdot x^{a-1}} \end{equation*}

Sostituisco il valore a cui tende la x nella (3) e mi accorgo si essere ancora nella condizione \cfrac{0}{0} ma potrei porre l’esponente della x del denominatore a 0 e conseguentemente togliere la condizione che lo annulla (a=1), in questo caso il limite tenderebbe a 0, ma stiamo cercando un valore reale non nullo.
Applico nuovamente De l’Hopital.

(4)   \begin{equation*} \underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{\cos (x)-1}{a\cdot x^{a-1}}= \underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{-\sin (x)}{a\cdot (a-1) \cdot x^{a-2}} \end{equation*}

Sostituisco il valore a cui tende la x nella (4) e mi accorgo si essere ancora nella condizione \cfrac{0}{0} ma potrei porre l’esponente della x del denominatore a 0 e conseguentemente togliere la condizione che lo annulla (a=2), in questo caso il limite tenderebbe a 0, ma stiamo cercando un valore reale non nullo.
Applico nuovamente De l’Hopital.

(5)   \begin{equation*} \underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{-\sin (x)}{a\cdot (a-1) \cdot x^{a-2}}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{-\cos (x)}{a\cdot (a-1) \cdot (a-2) \cdot x^{a-3}} \end{equation*}

Sostituisco il valore a cui tende la x nella (4) e mi accorgo di essere adesso nella condizione \cfrac{-1}{0}=\infty ma pongo l’esponente della x del denominatore a 0 e, conseguentemente, togliere la condizione che lo annulla (a=3), in questo caso la (5) diventa:

(6)   \begin{equation*} \underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{-\cos (x)}{a\cdot (a-1) \cdot (a-2) \cdot x^{a-3}}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\cfrac{-\cos (0)}{3\cdot (3-1) \cdot (3-2) \cdot x^{0}}=-\cfrac{1}{6} \end{equation*}

L’unico valore per cui il limite assume un valore reale non nullo è:

(7)   \begin{equation*} a=3 \end{equation*}

[:]

Pubblicato in Senza categoria | Lascia un commento

[:it]Maturità 2017: quesito 5[:]

Pubblicato il 27 Giugno 2017 da admin

[:it]

Alex Alemany

Dati i punti A(-2,3,1), B(3,0,-1), C(2,2,-3), determinare l’equazione della retta r passante per A e per B e l’equazione del piano \pi perpendicolare ad r e passante C.

Prerequisiti

  • conoscere l’equazione della retta passante per due punti nello spazio
  • capire il significato dei coefficienti numerici della retta e di un piano
  • capire il significato di un punto appartenente ad una curva

Sviluppo

L’equazione di una retta passante per due punti ha equazione:

(1)   \begin{equation*} \left\{\begin{matrix} x=x_{2}+\left ( x_{1}-x_{2} \right )t \\ y=y_{2}+\left ( y_{1}-y_{2} \right )t\\ z=z_{2}+\left ( z_{1}-z_{2} \right )t \end{matrix}\right. \end{equation*}

Applicandola al caso posto dal quesito, la retta passante per A e per B ha equazione:

(2)   \begin{equation*} \left\{\begin{matrix} x=-2+5t \\ y=3-3t\\ z=1-2t \end{matrix}\right. \end{equation*}

i coefficienti di x (5), di y (-3), di z (-2), rappresentano le coordinate del vettore direzione v(5,-3,-2) ossia quello parallelo alla retta.
L’equazione generale di un piano ha equazione:

(3)   \begin{equation*} ax+by+cz+d=0 \end{equation*}

i coefficienti a,b e c rappresentano le coordinate del vettore perpendicolare al piano.

Conseguenza di questo l’equazione del piano \pi utilizza le coordinate della retta:

(4)   \begin{equation*} 5x-3y-2z+d=0 \end{equation*}

Per trovare d è sufficiente sostituire le coordinate del punto C e risolvere la relativa equazione di primo grado in d:

(5)   \begin{gather*} 10-6+6+d=0 \\ d=-10 \end{gather*}

L’equazione del piano risulta:

(6)   \begin{equation*} 5x-3y-2z-10=0 \end{equation*}

[:]

Pubblicato in Senza categoria | Lascia un commento

[:it]Maturità 2017: quarto quesito[:]

Pubblicato il 27 Giugno 2017 da admin

[:it]

Samy Charnine

Per sorteggiare numeri reali nell’intervallo [0;2] viene realizzato un generatore di numeri casuali che fornisce numeri distribuiti, in tale intervallo, con densità di probabilità data dalla funzione:

(1)   \begin{equation*} f(x)=\cfrac{3}{2}x^{2}-\cfrac{3}{4}x^{3} \end{equation*}

Quale sarà il valore medio dei numeri generati?
Qual è la probabilità che il primo numero estratto sia \cfrac{4}{3}?
Qual è la probabilità che il secondo numero estratto sia minore di 1?

Prerequisiti

  • conoscere cosa rappresenta in ambito statistico la densità di probabilità
  • conoscere come calcolare il valor medio di una variabile aleatoria continua
  • saper sviluppare un integrale

Sviluppo

La densità di probabilità fornisce, come dice il nome stesso, la probabilità che accada un evento continuo all’interno di un intervallo. Per conoscere tale valore si deve calcolare l’area sottesa dalla curva ed essa si calcola attraverso proprio un integrale nell’intervallo voluto.

(2)   \begin{equation*} P\left ( X\in A \right )=\int_{A}p_{X}(x)dx \end{equation*}

Per calcolare il valor medio di una variabile aleatoria continua si deve applicare:

(3)   \begin{equation*} m=\int_{A}xf(x)dx \end{equation*}

applicandolo al caso specifico il valor medio risulta

(4)   \begin{gather*} m=\int_{0}^{2}\cfrac{3}{2}x^{3}-\cfrac{3}{4}x^{4}dx \\ \left\begin{matrix} \cfrac{3}{2}\cfrac{x^{4}}{4}-\cfrac{3}{4}\cfrac{x^5}{5} \end{matrix}\right|_{0}^{2} \\ \cfrac{3}{2} \cdot \cfrac{16}{4}-\cfrac{3}{4}\cdot \cfrac{32}{5} \\ 6-\cfrac{24}{5}= \\ m=\cfrac{6}{5} \end{gather*}

Chiedere la probabilità che venga estratto un particolare numero non ha significato in quanto essendo definito uno spazio continuo di valori cercare di sapere esattamente un valore preciso è come cercare di dare una descrizione statistica di eventi discreti con una densità di probabilità.

Mentre si può calcolare agevolmente la probabilità che un numero estratto sia minore di 1 sviluppando il seguente integrale:

(5)   \begin{gather*} P[x<1]=\int_{0}^{1}\cfrac{3}{2}x^{2}-\cfrac{3}{4}x^{3}dx \\ \left\begin{matrix} \cfrac{3}{2}\cfrac{x^{3}}{3}-\cfrac{3}{4}\cfrac{x^4}{4} \end{matrix}\right|_{0}^{1} \\ \cfrac{3}{2} \cdot \cfrac{1}{3}-\cfrac{3}{4}\cdot \cfrac{1}{4} \\ \cfrac{1}{2}-\cfrac{3}{16}= \\ P[x<1]=\cfrac{5}{16} \end{gather*}

[:]

Pubblicato in Senza categoria | Lascia un commento

[:it]Maturità 2017: terzo quesito[:]

Pubblicato il 26 Giugno 2017 da admin

[:it]

Paul Klee

Sapendo che:

(1)   \begin{equation*} \underset{x\rightarrow0}{lim}\cfrac{\sqrt{ax+2b}-6}{x}=1$ \end{equation*}

determinare i valori di a e b.

Prerequisiti

  • conoscere il calcolo con i limiti
  • sapere fare la razionalizzazione inversa
  • prodotto notevole della differenza del binomio
  • conoscere il metodo della fattorizzazione per eliminare gli zeri del numeratore e denominatore

Sviluppo

Sostituendo il valore 0 alla x del numeratore e del denominatore mi trovo nella situazione:

\cfrac{\sqrt{2b}-6}{0}=\infty

La razionalizzazione inversa è necessaria per poter semplificare la x presente al numeratore con quella del denominatore; utilizzo il prodotto notevole

(2)   \begin{equation*} \left ( a+b \right )\cdot \left ( a-b \right )=a^{2}-b^{2} \end{equation*}

Bisogna anche ricordarsi che il quadrato di una radice quadrata mi dà proprio il radicando ossia l’argomento della radice.

(3)   \begin{equation*} \left (\sqrt{5} \right )^2=5 \end{equation*}

Applicandola ad un prodotto notevole ho:

(4)   \begin{equation*} \left ( \sqrt{a}+b \right )\left ( \sqrt{a}-b \right )=\left ( \sqrt{a} \right )^2-b^{2}=a-b^2 \end{equation*}

Faccio la razionalizzazione inversa ossia moltiplico il numeratore ed il denominatore per \sqrt{ax+2b}+6 e la (1) diventa:

(5)   \begin{gather*} \cfrac{\left ( \sqrt{ax+2b}-6 \right )\left ( \sqrt{ax+2b}+6 \right )}{x\left ( \sqrt{ax+2b}+6 \right )} \\ \cfrac{ ax+2b-36 }{x\left ( \sqrt{ax+2b}+6 \right )} \end{gather*}

Adesso per togliere lo zero che annulla sia il numeratore che il denominatore pongo:

(6)   \begin{gather*} 2b-36=0 \\ b=18 \end{gather*}

sostituendo il valore trovato nella (6) nella (1) il limite diventa:

(7)   \begin{equation*} \underset{x\rightarrow0}{lim}\cfrac{ ax }{x\left ( \sqrt{ax+36}+6 \right )} \\ \end{equation*}

Solo adesso, dopo avere eseguito la razionalizzazione inversa, posso semplificare la x presente nel numeratore con quella del denominatore.

(8)   \begin{equation*} \underset{x\rightarrow0}{lim}\cfrac{ a }{\sqrt{ax+36}+6} \end{equation*}

Perché tale limite vada ad 1 è sufficiente risolvere la seguente equazione avendo posto a 0 il valore dell x (il valore a cui tende il limite)

(9)   \begin{gather*} \cfrac{ a }{\sqrt{36}+6}=1 \\ \cfrac{ a }{6+6}=1 \\ a=12 \end{gather*}

quindi ricapitolando i due valori sono:

(10)   \begin{gather*} a=12 \\ b=18 \end{gather*}

[:]

Pubblicato in Senza categoria | Contrassegnato | Lascia un commento

[:it]Maturità 2017: secondo quesito[:]

Pubblicato il 25 Giugno 2017 da admin

[:it]

Andrea Wan

Una torta di forma cilindrica è collocata sotto una cupola di plastica di forma semisferica. Dimostrare che la torta occupa meno dei 3/5 del volume della semisfera.

Prerequisiti

  • conoscere il volume del cilindro e della sfera
  • trigonometria e disequazioni trigonometriche
  • studio di funzione

Sviluppo

(1)   \begin{equation*} V_{torta}<\cfrac{3}{5}\cfrac{V_{sfera}}{2} \end{equation*}

Schematizzo il problema in questa maniera:

(2)   \begin{gather*} \pi r^{2} h<\cfrac{3}{5}\cdot \cfrac{4}{3}\cdot \cfrac{1}{2}\pi R^{3} \\ r^{2} h<\cfrac{2}{5}R^{3} \end{gather*}

(3)   \begin{gather*} h=R\sin \alpha \\ r=R\cos \alpha \\ \end{gather*}

sostituendo questo nella (2) devo dimostrare che:

(4)   \begin{gather*} R^{2}\cos^{2} \alpha \cdot R\sin \alpha < \cfrac{2}{5}R^{3} \\ \cos^{2} \alpha \cdot \sin \alpha < \cfrac{2}{5}\\ \left ( 1-\sin ^{2}\alpha \right )\cdot \sin \alpha < \cfrac{2}{5}\\ \sin \alpha -\sin ^{3}\alpha -\cfrac{2}{5}< 0 \end{gather*}

pongo \sin \alpha =t
con 0\leqslant \alpha \leqslant \cfrac{\pi}{2} e quindi 0\leqslant t \leqslant 1

devo risolvere:

(5)   \begin{gather*} 5t-5t^3-2< 0 \\ 5t^3-5t+2> 0 \\ \end{gather*}

Effettuando uno studio di funzione di:

(6)   \begin{equation*} y=5t^3-5t+2 \end{equation*}

vedo che ha questo andamento per cui ho dimostrato l’affermazione del problema in quanto la funzione è sempre positiva nell’intervallo considerato

Rendered by QuickLaTeX.com

[:]

Pubblicato in Senza categoria | Lascia un commento

[:it]Maturità 2017: problema 2[:]

Pubblicato il 25 Giugno 2017 da admin

[:it]

Consideriamo la funzione f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, periodica di periodo T=4 il cui grafico, nell’intervallo  [0;4], è il seguente:

Come si evince dalla figura 1, i tratti OB, BD, DE del grafico sono i segmenti i cui estremi hanno coordinate: O(0,0), B(1,1), D(3,1), E(4,0).

1) Stabilisci in quali punti del suo insieme di definizione la funzione f è continua e in quali è derivabile e verifica l’esistenza dei limiti: \underset{x\rightarrow \infty }{lim} f(x) e \underset{x\rightarrow \infty }{lim} \cfrac{f(x)}{x}; qualora esistano, determinare il valore.
Rappresenta inoltre, per x\in \left [ 0;4 \right ], i grafici delle funzioni:

(1)   \begin{equation*} g(x)=f'(x) \end{equation*}

(2)   \begin{equation*} h(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt \end{equation*}

Prerequisiti

  • conoscere le caratteristiche dei punti angolosi
  • retta passante per due punti
  • conoscere i limiti
  • conoscere bene le derivate
  • conoscere gli integrali
  • saper fare un grafico con sicurezza delle funzioni elementari quali retta e parabola

Svolgimento
\underset{x\rightarrow \infty }{lim} f(x)
non può esistere essendo f(x) una funzione che oscilla tra +1 e -1.
Invece
\underset{x\rightarrow \infty }{lim} \cfrac{f(x)}{x}=0
in quanto f(x) varia sempre da +1 a -1 e diviso per un numero che tende all’infinito inevitabilmente si avrà lo 0 come risultato.

Per risolvere la (1), preferisco prima scrivere le equazioni che rappresentano la funzione periodica f(x).

L’equazione della retta passante per O(0,0), B(1,1) è proprio la bisettrice del primo quadrante y=x.
Per avere l’equazione della retta passante per B(1,1), D(3,-1) uso la relazione:

(3)   \begin{equation*} \cfrac{y-y_{D} }{ y_{B}-y_{D} }=\cfrac{x-x_{D}}{x_{B}-x_{D}} \end{equation*}

(4)   \begin{gather*} \cfrac{y+1}{1+1}=\cfrac{x-3}{1-3} \\ y=-x+2 \end{gather*}

Per avere l’equazione della retta passante per D(3,-1), E(4,0) uso la relazione (3)

(5)   \begin{gather*} \cfrac{y-0}{-1+0}=\cfrac{x-4}{3-4} \\ y=x-4 \end{gather*}

Ricapitolando:

(6)   \begin{equation*} f(x)=\left\{\begin{matrix} x & 0\leqslant x\leqslant 1\\ -x+2 &1\leqslant x\leqslant 3 \\ x-4 & 3\leqslant x\leqslant 4 \end{matrix}\right. \end{equation*}

La (1) adesso si può calcolare derivando la (6) tra gli opportuni intervalli:

(7)   \begin{equation*} g(x)=f'(x)=\left\{\begin{matrix} 1 & 0\leqslant x\leqslant 1\\ -1 &1\leqslant x\leqslant 3 \\ 1 & 3\leqslant x\leqslant 4 \end{matrix}\right. \end{equation*}

La sua rappresentazione grafica è:

Rendered by QuickLaTeX.com

Per trovare la (2), uso ancora la (6) considerando gli intervalli opportuni.

Per x\in [0;1]

(8)   \begin{equation*} h(x)=\int_{0}^{x}tdt=\left\begin{matrix} \cfrac{1}{2}t^{2}\end{matrix}\right|_{0}^{x}=\cfrac{x^{2}}{2} \end{equation*}

Per x\in [1;3]

(9)   \begin{gather*} h(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{1}tdt+\int_{1}^{x}(-t+2)dt= \\ \left\begin{matrix} \cfrac{1}{2}t^{2}\end{matrix}\right|_{0}^{1}+\left\begin{matrix} -\cfrac{t^{2}}{2}+2t\end{matrix}\right|_{1}^{x}= \\ \cfrac{1}{2}-\cfrac{x^{2}}{2}+2x+\cfrac{1}{2}-2=\\ -1-\cfrac{x^{2}}{2}+2x \end{gather*}

Per x\in [3;4]

(10)   \begin{gather*} h(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{1}tdt+\int_{1}^{3}(-t+2)dt+\int_{3}^{x}(t-4)dt \\ \left\begin{matrix} \cfrac{1}{2}t^{2} \end{matrix}\right|_{0}^{1}+ \left\begin{matrix} -\cfrac{t^{2}}{2}+2t \end{matrix}\right|_{1}^{3}+ \left\begin{matrix} (\cfrac{t^{2}}{2}-4t) \end{matrix}\right|_{3}^{x}= \\ \cfrac{1}{2}+\left ( -\cfrac{9}{2}+6 \right )-\left ( -\cfrac{1}{2}+2 \right )+\cfrac{x^2}{2}-4x-\cfrac{9}{2}+12\\ 8+\cfrac{x^2}{2}-4x \end{gather*}

Riunisco la (8) la (9) e la (10)

(11)   \begin{equation*} h(x)=\left\{\begin{matrix} \cfrac{x^{2}}{2} & 0\leqslant x\leqslant 1\\ -1-\cfrac{x^{2}}{2}+2x& 1\leqslant x\leqslant 3\\ 8+\cfrac{x^2}{2}-4x & 3\leqslant x\leqslant 4 \end{matrix}\right. \end{equation*}

La sua rappresentazione grafica è la rappresentazione di tre parabole negli opportuni intervalli:

Rendered by QuickLaTeX.com

2) Considera la funzione:

(12)   \begin{equation*} s(x)=\sin \left ( bx \right ) \end{equation*}

con b costante reale positiva; determina b in modo che s(x) abbia lo stesso periodo di f(x).
Dimostra che la porzione quadrata di piano OABC in figura 1 viene suddivisa dai grafici di f(x) e s(x) in tre parti distinte e determina le probabilità che un punto preso a caso all’interno del quadrato OABC ricada in ciascuna delle 3 parti individuate.

Prerequisiti

  • conoscere il significato di periodicità di una funzione trigonometrica
  • conoscere la definizione di probabilità
  • applicare il concetto di probabilità nel caso della geometria piana
  • conoscere l’integrale come area di una regione finita di piano

Sviluppo

Perché la funzione (12) abbia periodo 4 è sufficiente studiare quando:

(13)   \begin{equation*} \sin \left ( bx \right )=0 \end{equation*}

esso si annullerà quando:

(14)   \begin{gather*} bx=\pi \\ bx=2\pi \end{gather*}

avendo periodo 4 significa che sia per x=4 ma anche x=2 si annulla per cui:

(15)   \begin{gather*} b2=\pi \\ b4=2\pi \end{gather*}

entrambe mi portano ad affermare che

(16)   \begin{equation*} b=\cfrac{\pi }{2} \end{equation*}

Rappresento graficamente la situazione per x\in [0;1], ossia all’interno del quadrato OABC.

Rendered by QuickLaTeX.com

e si osserva che si hanno tre regioni.
La definizione di probabilità è:

(17)   \begin{equation*} P=\cfrac{favorevoli}{probabili} \end{equation*}

In questo caso: l’evento favorevole è una delle tre aree, l’evento probabile è l’area totale che vale 1 essendo un quadrato di lato 1.

L’area della zona superiore si calcola sottraendo all’area del quadrato di lato unitario l’integrale della funzione s(x):

(18)   \begin{gather*} A_{1}=1-\int_{0}^{1}\sin \left ( \cfrac{\pi}{2}x \right )dx= \\ 1-\left\begin{matrix} \left (-\cos \left ( \cfrac{\pi}{2}x \right )\cdot \cfrac{2}{\pi} \right ) \end{matrix}\right|_{0}^{1}= \\ 1-\cfrac{2}{\pi} \end{gather*}

Essa corrisponde alla probabilità che il punto possa cadere in quest’area.

L’area della zona centrale si calcola attraverso l’integrale della funzione s(x) a cui sottraggo l’area del triangolo di base 1 ed uguale altezza.

(19)   \begin{gather*} A_{2}=\int_{0}^{1}\sin \left ( \cfrac{\pi}{2}x \right )dx-\cfrac{1}{2}= \\ \left\begin{matrix} -\cos \left ( \cfrac{\pi}{2}x \right )\cdot \cfrac{2}{\pi} -\cfrac{1}{2} \end{matrix}\right|_{0}^{1}= \\ \cfrac{2}{\pi}-\cfrac{1}{2} \end{gather*}

La terza area corrisponde all’area del triangolo di base 1 ed altezza unitaria:

(20)   \begin{equation*} A_{3}=\cfrac{1}{2} \end{equation*}

3) Considerando ora le funzioni:

(21)   \begin{equation*} f(x)^2 \end{equation*}

e

(22)   \begin{equation*} s(x)^2 \end{equation*}

discuti, anche con argomentazioni qualitative, le variazioni (in aumento o in diminuzione) dei tre valori di probabilità determinati al punto precedente

Prerequisiti

  • conoscenza del grafico del quadrato di una funzione e sua approssimazione grafica
  • sapere sviluppare in maniera molto sicura gli integrali

Sviluppo

Tra 0\leqslant x\leqslant 1 la f(x)^2 da retta diventa una parabola.
mentre la funzione trigonometrica s(x) ha un flesso per x=\cfrac{1}{2}.
Si può quindi qualitativamente dire che
A_{3} diminuisce
A_{1} aumenta

Per meglio evidenziare la situazione faccio il grafico delle tre curve che può essere ricavato solo se precedentemente ci si è esercitati con i grafici delle funzioni trigonometriche.

Rendered by QuickLaTeX.com

Per l’area compresa si deve calcolare il seguente integrale:

(23)   \begin{equation*} A_{2}=\int_{0}^{1}\left (\sin \left ( \cfrac{\pi}{2}x \right ) \right )^2-x^{2}dx \end{equation*}

Vi sono due strade e la migliore è analizzare il grafico:

Rendered by QuickLaTeX.com

e si nota che l’area del grafico della funzione trigonometrica è proprio l’area del triangolo di base unitaria ed altezza uguale in quanto i contributi della “gobba” si bilanciano.

Quindi è sufficiente calcolare il seguente integrale notevolmente più semplice:
Per l’area compresa si deve calcolare il seguente integrale:

(24)   \begin{gather*} A_{2}=\cfrac{1}{2}-\int_{0}^{1}x^{2}dx= \\ \cfrac{1}{2}-\left\begin{matrix} \cfrac{x^3}{3} \end{matrix}\right|_{0}^{1}= \\ \cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3}=\cfrac{1}{6} \end{gather*}

valore di poco inferiore a quello precedente.

4) Determina il volume del solido generato dalla rotazione attorno all’asse y della porzione di piano compresa tra il grafico della funzione h(x) per x\in [0;3] e l’asse x.

Prerequisiti

  • conoscere la formula per il calcolo del volume di figure piane che ruotano attorno all’asse y.

Sviluppo

Si utilizza la seguente formula:

(25)   \begin{equation*} V=2\pi\int_{a}^{b}xf(x)dx \end{equation*}

La applico ad h(x)

(26)   \begin{gather*} V=2\pi\int_{0}^{1}\cfrac{x^3}{2}dx+\int_{1}^{3}-x-\cfrac{x^3}{2}+2x^{2}dx= \\ 2\pi \cdot \left\begin{matrix} \cfrac{x^4}{8} \end{matrix}\right|_{0}^{1}+ \left\begin{matrix} -\cfrac{x^2}{2}-\cfrac{x^4}{8}+\cfrac{2x^3}{3}- \end{matrix}\right|_{1}^{3}= \\ 2\pi \cdot \left (\cfrac{1}{8} -\cfrac{9}{2}-\cfrac{81}{8}+\cfrac{54}{3}+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{8}-\cfrac{2}{3} \right )= \\ 2 \pi\cdot \cfrac{83}{24}= \pi\cdot \cfrac{83}{12} \end{gather*}

[:]

Pubblicato in Senza categoria | Lascia un commento