SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

[:it]Geometria nello spazio: esercizio 2[:]

Pubblicato il 12 Maggio 2017 da admin

[:it]

Guido Borelli

Una sfera, il cui centro è il punto $k(-2,-1,2)$ è tangente al piano $\Alpha$ di equazione $2x-2y+z-9=0$ . Qual è il punto di tangenza? Qual è il raggio della sfera?

Sviluppo

Il primo passo è determinare il raggio della sfera attraverso la determinazione della distanza tra il centro ed il piano:

$r=\cfrac{\left | ak_{x}+bk_{y}+ck_{z}+d \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

dove con $k_{x},k_{y},k_{z}$ sono le tre coordinate del centro, e a,b,c,d sono i rispettivi coefficienti numerici di $x,y,z$ ed il termine noto.

La relazione precedente diventa quindi:

$\cfrac{\left | 2\cdot \left (-2 \right )+ \left (-2 \right )\cdot\left ( -1 \right )+1\cdot 2-9 \right |}{\sqrt{2^{2}+\left ( -2 \right )^{2}+1^{2}}}=\cfrac{\left | -4+2+2-9 \right |}{\sqrt{4+4+1}}=3$

L’equazione della sfera generica è:

$\left ( x-k_{x} \right )^{2}+\left ( y-k_{y} \right )^{2}+\left ( z-z_{x} \right )^{2}=r^{2}$

Sostituendo i valori numerici diventa:

$\left ( x+2 \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}+\left ( z-2 \right )^{2}=3^{2}$

metto a sistema l’equazione della sfera con quella del piano ed ho il punto di tangenza:

$\left\{\begin{matrix} \left ( x+2 \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}+\left ( z-2 \right )^{2}=3^{2}\\ 2x-2y+z-9=0 \end{matrix}\right.$

se continuassi tale metodo mi troverei però un’equazione in due incognite infatti avrò:

$5x^2+5y^2-22x+28y-8xy-4=0$

Il metodo risolutivo è allora il seguente.

I coefficienti numerici del piano rappresentano le coordinate del vettore perpendicolare al piano, ed il centro rappresenta proprio un punto che appartiene alla retta cercata che avrà equazione parametrica:

$\left\{\begin{matrix} x=-2+2t\\ y=-1-2t\\ z=2+t \end{matrix}\right.$

adesso si sostituiscono i valori nell’equazione del piano determinando t:

$\left ( -2+2t \right )2-2\left ( -1-2t \right )+2+t-9=0$

$-4+4t+2+4t+2+t-9=0$

$t=1$

Adesso si sostituisce il valore trovato nell’equazione parametrica del piano e si trova il punto d’intersezione.

x=0

y=-3

z=3

Graficamente si ha la seguente situazione:

[:]

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[:it]Test sui monomi[:]

Pubblicato il 12 Maggio 2017 da admin

[:it]

Guido Borelli

[WpProQuiz 49][:]

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[:it]Verifica conclusiva su Power Point e concetti di base sulla teoria dell’informazione[:]

Pubblicato il 10 Maggio 2017 da admin

[:it]

Guido Borelli

13 temi da sviluppare

Tipi di rete LAN, WAN, MAN
Trasmissione a pacchetti
email (SMTP, POP3)
Social Forum
Tutela della salute: illuminazione, corretta postazione di lavoro, ambiente
Sicurezza
Virus
CopyRight
Hardware
software
Firma Digitale
Documenti digitali
Velocità di trasmissione e scaricamento file.

Il power Point dovrà contenere:

Dieci slide
almeno 4 immagini
una diapositiva titolo
una diapositiva Titolo e contenuto
almeno un grafico (a piacere)
almeno 5 forme
almeno una nota per il relatore
il numero di pagina ad esclusione della slide di tipo titolo
la data solo nell’ultima diapositiva
il nome su tutte le diapositive
un indice con il link alle diapositive che lo sviluppano
che ogni slide possa avere una transizione
che ogni slide abbia un’animazione a scelta

[:]

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[:it]Approfondimenti Retta sul piano cartesiano in forma parametrica e vettore direzione[:]

Pubblicato il 7 Maggio 2017 da admin

[:it]

Guido Borelli

Normalmente una retta viene sempre definita nella forma

$y= mx +q$

o nella forma

$ax+by+c=0$

che viene utilizzata solo quando si deve determinare la distanza tra un punto ed una retta.

Che significato hanno $a$ e $b$ ?

Essi rappresentano proprio le componenti del vettore $v_{\perp }\left ( a;b \right )$ perpendicolare alla retta.

Graficamente si vede benissimo tale fatto.

La retta $3x+2y+5=0$

ha vettore $v_{\perp }\left ( 3;2 \right )$

Date due rette

$ax+by+c=0$

$a'x+b'y+c=0$

Condizione di parallelismo

Saranno parallele quando i due vettori saranno una combinazione lineare dell’uno rispetto all’altro quindi:

$a=\alpha a'$

$b=\alpha b'$

o meglio:

$\cfrac{a}{a'}=\cfrac{b}{b'}$

graficamente si vede la cosa:

date le rette

$2x+2y+5=0$

$9x+6y+2=0$

sono parallele

e si vede che i due vettori sono sovrapposti ed uno è proprio multiplo dell’altro.

Condizione di perpendicolarità

In seguito alla definizione di prodotto scalare tra due vettori, saranno perpendicolari due rette se

$a\cdot a'+b\cdot b'=0$

Graficamente.

Se si hanno le due rette

$2x+2y+5=0$ con $m_{\perp }(2,2)$

$9x+6y+2=0$ con $v_{\perp }(9,6)$

Retta in forma parametrica

Tale rappresentazione utilizza il vettore direzione. Vi sono infinite rappresentazione della retta in forma parametrica perché sono infiniti i vettori che sono paralleli ad una retta.

Tale vettore si chiama vettore direzione.

Ad esempio:

$\left\{\begin{matrix} x=3+2t\\ y=2+5t \end{matrix}\right.$

il vettore direzione ha le coordinate che sono i coefficienti di t

$v(2,5)$

E’ molto più agevole avere la retta in forma parametrica per farne il grafico.

E’ la rappresentazione parametrica della retta

$5x-2y-11=0$

Passaggio dalla forma parametrica alla forma implicita.

Si risolve il sistema in funzione di t e si confrontano i due valori di t trovati.

Ad esempio:

$\left\{\begin{matrix} x=3+2t\\ y=2+5t \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} t=\cfrac{x-3}{2}\\ t=\cfrac{y-2}{5} \end{matrix}\right.$

$\cfrac{x-3}{2}=\cfrac{y-2}{5}$

$5x-15=2y-4$

$5x-2y-11=0$

Passaggio dalla forma implicita alla forma parametrica

Vi sono vari metodi.

Uno è il seguente.

La forma implicita

$ax+by+d=0$

fornisce il vettore $v_{\perp }(a,b)$ , il vettore direzione è perpendicolare a questo per cui avrà coordinate $v(b,-a)$

La forma parametrica generale è:

$\left\{\begin{matrix} x=x_{0}+lt\\ y=y_{0}+mt \end{matrix}\right.$

dove v(l,m) è il vettore direzione e $P(x_{0},y_{0})$ sono le coordinate di un punto appartenente alla retta.

Ad esempio se ho la retta:

$x+2y+5=0$

il vettore $v_{\perp }(1,2)$ , il vettore direzione è $v(2,-1)$ ,

$\left\{\begin{matrix} x=x_{0}+2t\\ y=y_{0}-t \end{matrix}\right.$

Adesso prendo il punto $P(0,-\cfrac{5}{2})$ che appartiene alla retta.

$\left\{\begin{matrix} x=0+2t\\ y=-\cfrac{5}{2} -t \end{matrix}\right.$ [:]

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[:it]Distanza punto piano[:]

Pubblicato il 7 Maggio 2017 da admin

[:it]

Cole Rise

La distanza di un punto da un piano non è che la trasposizione nello spazio della distanza di un punto da una retta sul piano cartesiano.

La distanza punto retta sul piano cartesiano

Data la retta nella forma

$ax+by+c=0$

ed il punto $P\left ( x_{p};y_{p} \right )$

la distanza sarà:

$d=\cfrac{\left | ax_{p}+by_{p}+c \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

la distanza di un punto nello spazio e di un piano sarà

Dato un piano nella forma

ax+by+cz+d=0

ed il punto $P\left ( x_{p};y_{p};z_{p} \right )$

la distanza sarà:

$d=\cfrac{\left | ax_{p}+by_{p}+cz_{p}+d \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

[:]

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[:it]Testo maturità scientifico anno 2015[:]

Pubblicato il 7 Maggio 2017 da admin

[:it]

Guido Borelli

Questi sono i problemi e i quesiti della maturità anno 2015:

matematica-scientifico-problema1

matematica-scientifico-problema2

matematica-scientifico-questionario

[:]

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[:it]Posizione reciproca tra piani[:]

Pubblicato il 7 Maggio 2017 da admin

[:it]Dati due piani:

$ax+by+cz+d=0$

$a'x+b'y+c'z+d'=0$

PIANI PARALLELI

Quando le componenti del vettore $v_{\perp }$ e $v'_{\perp }$ sono uno combinazione lineare dell’altro.

Ossia:

$a=\alpha a'$

$b=\alpha b'$

$c=\alpha c'$

in maniera più compatta e semplice:

$\cfrac{a}{a'}=\cfrac{b}{b'}=\cfrac{c}{c'}$

Ad esempio i piani:

$2x-6y+4z+1=0$

$4x-13y+8z+1=0$

sono paralleli come si vede nel grafico:

PIANI PERPENDICOLARI

Quando il prodotto scalare dei vettori $v_{\perp }$ e $v'_{\perp }$ è nullo.

Il prodotto scalare è:

$\vec{a}\cdot \vec{b}=\left | \vec{a} \right |\cdot \left | \vec{b} \right |\cdot \cos \vartheta$

quando sono perpendicolari $\cos \vartheta=0$

e quindi la condizione è

$a\cdot a'+b\cdot b'+c\cdot c'=0$

Ad esempio i piani

$2x-4y+2z+5=0$

$3x+2y+z+1=0$

sono perpendicolari infatti

$2\cdot 3 -4 \cdot 2 + 2 \cdot 1 =0$

e graficamente

[:]

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[:it]Piano[:]

Pubblicato il 6 Maggio 2017 da admin

[:it]Un piano nello spazio ha la seguente equazione:

$ax+by+cz+d=0$

i coefficienti a, b e c rappresentano le coordinate del vettore perpendicolare al piano.

Ad esempio la rappresentazione del piano $2x+3y+4z+5=0$ ha come vettore $v_{\perp }\left ( 2,3,4 \right )$ è un vettore che è perpendicolare la piano dato.

Graficamente si ha la seguente situazione:

in cui in azzurro si nota il piano ed in grigio il vettore che è proporio perpendicolare al piano in esempio con le coordinate precedentemente date.

Tale affermazione è molto utile quando si devono studiare le posizioni reciproche tra un piano ed una retta.

PIANO PASSANTE PER TRE PUNTI

Un piano è sempre identificato da tre punti per cui, se fossero dati e si dovesse trovare il relativo piano che li contiene, è sufficente sostituire le loro coordinate nell’equazione generica del piano e risolvere il relativo sistema.

Vi è una particolarità: ci si troverà un sistema di tre equazioni in quattro incognite. Lo si risolve come se vi fossero tre incognite, la quarta verrà poi eliminata quando si andranno a sostituire i valori nel piano di partenza.

Ad esempio trovare l’equazione del piano passante per questi tre punti

A(1,1,0) B(0,-3,1) C(2,-2,0)

sostituendo le coordinate nell’equazione generica del piano ho:

$\left\{\begin{matrix} a+d=0\\ -3b+c+d=0\\ 2a-2b+d=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} d=-a\\ -3b+c-a=0\\ 2a-2b-a=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} d=-a\\ c=a+3b\\ a-2b=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} d=-2b\\ c=5b\\ a=2b \end{matrix}\right.$

L’equazione del piano diventa:

$2bx+by+5bz-2b=0$

Ora divido tutto per $b$ e l’equazione del piano diventa:

$2x+y+5z-2=0$ .[:]

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[:it]Esercizi multipli power point[:]

Pubblicato il 21 Aprile 2017 da admin

[:it]Questo file fa riferimento all’inserimento di immagini che possono essere trovati on line.

esercizi_ppt[:]

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[:it]Probabilità: scommesse[:]

Pubblicato il 31 Marzo 2017 da admin

[:it]

Alex Alemany

Si immagini di trovarsi in questa situazione

La vincita del campionato delle seguenti squadre viene data seguendo la seguente tabella:

Milan	1:5
Inter	1:7
Juve	1:3

ossia:

se una persona scommette 1€ sulla vittoria del campionato del Milan guadagnerà 5€,

se scommette 1€ sulla vittoria del campionato dell’Inter guadagnerà 7€,

se scommet 1€ sulla vittoria del campionato della Juve guadagnerà 3€.

Vi sono due soggetti in questa situazione

lo scommettitore che deve conoscere la probabilità di vincita
il bookmaker che accetta e fissa le scommesse e non deve perderci anzi guadagnarsi

Conoscere il meccanismo probabilistico è necessario per capire se vale la pena giocare (non convine mai, alla lunga si perde sempre) e se vale la pena fare il bookmaker senza andare in fallimento!

Il ragionamento da cui si deve partire è il seguente:

la probabilità che esca testa è $\cfrac{1}{2}$

la probabilità che esca croce è $\cfrac{1}{2}$

allora il bookmaker mette le seguenti quote

1: 2 se esce testa

1:2 se esce croce

in questa maniera però il bookmaker alla fine della giornata di scommesse non avrà guadagnato nulla perchè la somma della probabilità di vincere mi dà l’evento certo ossia l’1.

NOTARE

la probabilità che esca testa vale $\cfrac{1}{2}$ se e solo se si ha un limite infinito di lanci!

Per aver la probabilità in un numero finito di lanci bisogna parlare di distribuzioni di probabilità.

Allora per garantire il guadagno il bookmaker fissa le seguenti quote:

1:1.6 se esce testa ossia se scommetto 1€ ne guadagnerò 1€ e 60 centesimi.

1:1.5 se esce croce ossia se scommetto 1€ ne guadagnerò 1€ e 50 centesimi.

Naturalmente un bookmaker cercherà di evitare di esplicitare in maniera troppo evidente il suo guadagno e lo scommettitore deve stare attento alle probabilità di vincita.

Per capire la vera probabilità degli eventi partendo dalla quote del bookmaker si devono eseguire i seguenti calcoli:

Probabilità che esca testa per il bookmaker–> $P[testa]=\cfrac{1}{1.6}=0,625$

Probabilità che esca croce per il bookmaker –> $P[croce]=\cfrac{1}{1.5}=0,6$

Sommo le probabilità e noto che $0,625+0,6=1,3$ circa

ossia il bookmaker ha la certezza di guadagnare!

Per capire la probabilità reale che esca testa si dovrà prendere la probabilità che esca testa per il bookmaker e dividerla per la probabilità complessiva del bookmaker (1,3).

Ossia:

$0.625:1,3=0,5$

La probabilità che esca croce sarà

$0.6:1,3=05$

che già si sapevano nel caso del lancio delle monete.

Analizzando adesso il problema delle tre squadre di partenza il bookmaker ha garantito il suo guadagno? Qual è la probabilità che vinca il campionato, secondo le quote associate, la relativa squadra?[:]

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