[:it]Test sui numeri relativi avanzato[:]

Pubblicato il 17 Marzo 2017 da admin

[:it]

Francis Picabia

[WpProQuiz 46][:]

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[:it]Polinomi: introduzione[:]

Pubblicato il 13 Marzo 2017 da admin

[:it]

Max Ernst

In generale si chiama espressione letterale l’insieme di operazioni da eseguire sui numeri rappresentati da lettere..

DEFINIZIONE DI MONOMIO

Un monomio è un prodotto tra coefficienti numerici e lettere con esponente naturale.

Esempi di monomi:

5a^{2}

7ab^{5}

GRADO DI UN MONOMIO

Il grado può essere rispetto ad una lettera o il grado complessivo. Il grado di una lettera è l’esponente che questa lettera ha nel monomio. Il grado complessivo è la somma degli esponenti di tutte le sue lettere.

ad esempio

5a^{2}b^{5} ha

  • grado 2 rispetto ad a
  • grado 5 rispetto a b
  • grado complessivo 7 (somma degli esponenti delle lettere)

MONOMI SIMILI

Due monomi sono simili se hanno la stessa parte letterale (stesse lettere con gli stessi esponenti).

Esempi di monomi simili

5a e 7a

67a^{2}b^{4} e 3a^{2}b^{4}

mentre non sono simili ad esempio

5a e 7b[:]

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[:it]Verifica sui problemi con i numeri relativi[:]

Pubblicato il 12 Marzo 2017 da admin

[:it]

Francis Picabia

[WpProQuiz 45][:]

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[:it]Excel: esercizi di base[:]

Pubblicato il 10 Marzo 2017 da admin

[:it]

Francis Picabia

6.1.CopiaSposta
6.2. SelezioneMultipla
 6.3. Formattazionecelle
6.4. Formuleareepoligoni
6.5. Fatturacalcoli
6.6.Totalie
6.7. Riassuntofunzionibase
6.8. Raccoltaesercizisemplici[:]

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[:it]Verifica sui numeri relativi: livello base[:]

Pubblicato il 5 Marzo 2017 da admin

[:it]

Roberto Bergonzo

[WpProQuiz 44][:]

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[:it]Integrali: calcolo delle aree. Problema 1[:]

Pubblicato il 4 Marzo 2017 da admin

[:it]

Francis Picabia

Rappresenta graficamente y=\sqrt{\cfrac{x}{4-x}} e determina l’area della regione di piano compresa fra la curva, l’asse delle y e la retta tangente alla curva nel suo punto di flesso. (suggerimento. Per il calcolo dell’integrale poni x=4\sin ^{2}t).

Sviluppo.
Intanto rappresento graficamente la curva.
Per calcolare il dominio si deve porre l’argomento della radice \geqslant 0 ed il denominatore \neq 0.
\cfrac{x}{4-x}\geqslant 0
Il numeratore è positivo per
x\geqslant 0
il denominatore non può essere negativo per cui ho:
4-x> 0
ossia
x<4
unendo le due disequazioni e valutando il segno si ha:

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Quindi il dominio è:
D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R}| 0\leqslant x<4 \right \}

Presenta un asintoto verticale in x=4 e, sempre usando lo studio del segno della funzione:
\underset{x\rightarrow 4^{-}}{lim}\sqrt{\cfrac{x}{4-x}}=+\infty

Adesso bisogna fare la derivata prima e successivamente la derivata seconda per determinare il punto di flesso e l’equazione della retta in esso tangente.
y'=\cfrac{1}{2\sqrt{\cfrac{x}{4-x}}}\cdot \cfrac{\left ( 4-x \right )-x\left ( -1 \right )}{\left ( 4-x \right )^{2}}
semplificandola opportunamente si ha:
y'=\cfrac{2}{\sqrt{\cfrac{x}{4-x} }\cdot \left ( 4-x \right )^{2}}
per trovare il flesso devo calcolare la derivata seconda.

Per comodità riscrivo la derivata prima nella seguente maniera:

y'=2\left ( \cfrac{x}{4-x} \right )^{-\frac{1}{2}}\cdot \left ( 4-x \right )^{-2}
la derivata seconda deve essere posta a zero per trovare il punto di flesso.
y^{''}=2\left ( -\cfrac{1}{2} \right )\left ( \cfrac{x}{4-x} \right )^{-\frac{3}{2}}\cfrac{4}{\left ( 4-x \right )^{2}}\left ( 4-x \right )^{-2}+2\left ( \cfrac{x}{4-x} \right )^{-\frac{1}{2}}(-2)\left ( 4-x \right )^{-3}(-1)

semplificandola in maniera opportuna essa diventa:
y^{''}=-\cfrac{1}{x\sqrt{\cfrac{x}{4-x}}}+\cfrac{1}{\sqrt{\cfrac{x}{4-x}}}

che si annulla per x=1

Sostituendo il valore trovato alla funzione di partenza y=\sqrt{\cfrac{x}{4-x}}
F_{y}=\cfrac{1}{\sqrt{3}}
Le coordinate del punto di flesso sono:
F\left ( 1;\cfrac{1}{\sqrt{3}} \right )

per trovare il coefficiente angolare della retta passante per il punto di flesso è sufficiente calcolare il valore della derivata prima in x=1
y^{'}(1)=\cfrac{1}{\cfrac{1}{\sqrt{3}}}\cdot \cfrac{2}{9}
m=\cfrac{2}{9}\sqrt{3}
La retta tangente alla curva e passante per il punto di flesso ha equazione:
y-\cfrac{1}{\sqrt{3}}=\cfrac{2}{9}\sqrt{3}\left ( x-1 \right )
Rappresento sul piano cartesiano la curva e la retta.

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Per meglio capire la zona di cui si deve calcolare l’area evidenzio solo la zona di interesse ossia per 0<x<1

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L’area voluta è quel piccolo spicchio tra l’asse y la retta e la curva per cui si dovranno calcolare i seguenti integrali:

(1)   \begin{equation*} A=\int_{0}^{1}\cfrac{2}{9}\sqrt{3}x+\cfrac{\sqrt{3}}{9}\, dx-\int_{0}^{1}\sqrt{\cfrac{x}{4-x}}\, dx \end{equation*}

Il primo integrale è facilmente risolvibile

(2)   \begin{equation*} \left.\begin{matrix} \cfrac{2}{9}\sqrt{3}\cdot \cfrac{x^{2}}{2}+\cfrac{\sqrt{3}}{9}\cdot x \end{matrix}\right|_{0}^{1}=\cfrac{\sqrt{3}}{9}+ \cfrac{\sqrt{3}}{9}=\cfrac{2}{9}\cdot \sqrt{3} \end{equation*}

La seconda parte dell’integrale chiede la seguente sostituzione x=4\sin ^{2}t, derivando

dx=8\sin t\cos t\,dt

cambiando gli estremi di integrazione, in seguito alla sostituzione:

4\sin ^{2}t=0
risolta dà
t=0
e
4\sin ^{2}t=1
\sin ^{2}t=\cfrac{1}{4}
prendo solo la radice positiva
\sin t=\cfrac{1}{2}
t=\cfrac{\pi}{6}

diventa:

(3)   \begin{equation*} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\sqrt{\cfrac{4\sin ^{2}t}{4-4\sin ^{2}t}}\cdot 8\sin t\cos t\,dt \end{equation*}

ricordandosi l’equazione goniometrica:

\sin ^{2}t+\cos ^{2}t=1 ed applicandola al denominatore della (3)
4-4\sin ^{2}t=4\left ( 1-\sin ^{2}t \right )=4\cos ^{2}t

la (3) diventa:

(4)   \begin{equation*} \int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\sqrt{\cfrac{4\sin^{2}t}{4\cos^{2}t}}\cdot 8\sin t\cos t\,dt=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\cfrac{\sin t}{\cos t}\cdot 8\sin t\cos t\,dt=8\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\sin^{2} t\,dt \end{equation*}

La primitiva si può calcolare attraverso l’integrazione per parti.
\int \sin ^{2}t\, dt=\int \sin t \cdot \sin t \, dt=-\sin t\cos t+\int \cos ^{2}t \, dt
utilizzando sempre l’equazione goniometrica
\int \sin ^{2}t\, dt= -\sin t\cos t+\int 1-\sin ^{2}t \, dt=-\sin t\cos t+t -\int \sin ^{2}t \, dt
spostando al primo membro i due integrali si ha:
2\int \sin ^{2}t\, dt= -\sin t\cos t+t
e l’integrale risolto diventa:
\int \sin ^{2}t\, dt= -\cfrac{1}{2}\sin t\cos t+\cfrac{1}{2}t

(5)   \begin{equation*} 8\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\sin^{2} t\,dt\left=\begin{matrix} -4\sin t\cos t+4t\end{matrix}\right|_{0}^{\frac{\pi}{6}}=-\sqrt{3}+\cfrac{2}{3}\pi \end{equation*}

Adesso sottraendo alla (2) la (5) si ha il risultato:

\cfrac{2}{9}\sqrt{3}+\sqrt{3}-\cfrac{2}{3}\pi =\cfrac{11}{9}\sqrt{3}-\cfrac{2}{3}\pi

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[:it]Rette: approfondimenti sulle rette parallele e perpendicolari[:]

Pubblicato il 26 Febbraio 2017 da admin

[:it]

Francis Picabia

Due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare.
Ossia hanno lo stesso numero che moltiplica la x.

Ad esempio
y=2x+3
y=2x
y=2x-3
y=2x-5
sono tutte rette parallele ed infatti dal grafico lo si vede

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Due rette sono perpendicolari quando il coefficiente angolare è opposto e reciproco uno all’altro.
Ad esempio
y=2x+3
y=-\cfrac{1}{2}x
sono rette perpendicolari ed infatti dal grafico lo si può notare:

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[Questo post è scritto totalmente in LaTex]

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[:it]Power Point: esercizio 1[:]

Pubblicato il 22 Febbraio 2017 da admin

[:it] 

modulo6esercizio[:]

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[:it]Test rappresentazione retta[:]

Pubblicato il 21 Febbraio 2017 da admin

[:it]

Roberto Bergonzo

[WpProQuiz 43]

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[:it]Soluzione esercizio su integrale per sostituzione[:]

Pubblicato il 20 Febbraio 2017 da admin

[:it]9.1.  \int \cfrac{1}{\sqrt{9x^{2}-1}}dx

Effettuo la seguente sostituzione:

(1) t=3x+\sqrt{9x^{2}-1}

t-3x=\sqrt{9x^{2}-1}

elevo entrambi i membri alla seconda in maniera da non avere più la radice quadrata

\left (t-3x \right )^{2}=9x^{2}-1

t^{2}+9x^{2}-6tx=9x^{2}-1

t^{2}-6tx=-1

x=\cfrac{t^{2}+1}{6t}

facendo la derivata a desta e sinistra si ha:

dx=\cfrac{2t(6t)-6(t^{2}+1)}{36t^2}dt

(2) dx=\cfrac{t^{2}-1)}{6t^2}dt

\sqrt{9x^{2}-1}=t-3x=t-\cfrac{t^2+1}{6t}

(3) \sqrt{9x^{2}-1}=\cfrac{3t^2-3}{6t}

Adesso sostituendo la (2) e la (3) nell’integrale di partenza si ha:

\int \cfrac{1}{\cfrac{3t^{2}-3}{6t}}\cdot \cfrac{t^{2}-1}{6t^{2}}dt=\cfrac{1}{3}\int \cfrac{1}{t}dt

\cfrac{1}{3}\int \cfrac{1}{t}dt=\cfrac{1}{3}\ln t+k

e sostituendo la (1) si ha come risultato:

\cfrac{1}{3}\ln \left | 3x+\sqrt{9x^2-1} \right |+k[:]

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