SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

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Claudio Souza Pinto

Sia P un punto di una semicirconferenza di diametro AB=2 e sia K il punto di AB per il quale AK=AP.  Posto , esprimi, in funzione di x, il rapporto fra l’area del cerchio inscritto nel triangolo APB e l’area del triangolo APK. Indicata con la funzione che esprime tale rapporto:

1. determina il suo comportamento per P che tende ad A e a B e stabilisci se la funzione è continua rispettivamente a destra di A e a sinistra di B.
2. determina il suo dominio indipendentemente dalle limitazioni imposte dal problema e stabilisci se la funzione possiede asintoti.
3. studiare il segno e costruisci un probabile grafico.

PREREQUISITI

• conoscere come determinare il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo rettangolo
• le relazioni fondamentali tra il lato e l’angolo opposto od adiacente di un triangolo rettangolo
• saper calcolare i limiti
• conoscere le formule parametriche per il seno ed il coseno
• conoscere la definizione di asintoto
• saper tracciare un grafico di una funzione ed il relativo segno

SVILUPPO

Si ha la seguente situazione grafica:

Area del cerchio inscritto nel triangolo APB.

Si utilizza la seguente relazione che lega il raggio alle lunghezze dei lati del triangolo rettangolo.

(1)

ossia

Area del cerchio inscritto risulta:

(2)

Area del triangolo APK

AK=AP per ipotesi e già precedentemente trovata (1)

ossia:

(3)

Si ha la funzione cercata effettuando il rapporto tra la (2) e la (3)

(4)

la (4) si può opportunamente manipolare per non avere un situazione di indeterminatezza quando l’angolo varia dal valore nullo a 90°.

Si moltiplica il numeratore ed il denominatore per:

Si ha il quadrato della differenza di un binomio

ma

per cui:

semplificando opportunamente il numeratore con il denominatore la (4) diventa:

(5)

Adesso si può sviluppare il punto a.

Se il punto P si sposta verso A significa calcolare

Se il punto P si sposta verso B significa calcolare

Quindi calcolare il seguente limite

La funzione nei sui estremi non presenta discontinuità in quanto il valore del limite coincide con il valore della funzione in tali punti.

Per approfondire tale cosa il punto successivo lo rafforza.

Punto b

Adesso si studia la funzione (5) nei dettagli:

(5)

Si escludono dal dominio i valori che annullano il denominatore ossia bisogna risolvere l’equazione:

I valori che annullano il quadrato sono gli stessi che annullano:

Per studiare gli zeri dell’equazione:

(6)

uso le formule parametriche del seno e coseno ossia:

e con

Siccome la tangente è definita ovunque tranne che per

bisogna verificare se tali valori risolvono la (6)

Sostituendo   si ha:

Si annulla per cui si hanno già dei valori da escludere dal dominio:

Adesso risolvo l’equazione parametrica:

facendo il minimo comune multiplo e togliendo il denominatore che non si annulla mai nel campo dei numeri reali mi ritrovo questa equazione:

che si riduce a:

che si annulla per

ossia

Ricapitolando il dominio di

(5)

è:

i valori che annullano il denominatore sono i punti che corrispondono agi asintoti verticali. Non vi sono asintoti orizzontali in quanto è indeterminato il limite per . Non vi sono nemmeno asintoti obliqui per lo stesso motivo precedente.

Punto c

Per studiare il segno è sufficiente studiare il segno del numeratore in quanto il denominatore è sempre positivo.

La funzione seno è sempre positiva per .

Il dominio lo si è già trovato per cui l’andamento della funzione è il seguente:

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Claudio Souza Pinto

Tale test vuole cercare di stimolare le conoscenze sulla base delle proporzioni; il passo successivo è quello di affrontare i problemi più complessi ma solo dopo aver affrontato con sicurezza questo test. [WpProQuiz 42]

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Claudio Souza Pinto

6.1.   (+3)+(-5)+(-6)

sviluppo le parentesi attraverso la moltiplicazione tra i segni e quindi diventa:

+3-5-6=-8

6.2. (+8) + (-10)+(+11)

+8-10+11=+9

6.3. (-1)+(-3)+(-7)

-1-3-7=-11

6.4. (-2)+(+7)+(-8)

-2+7-8=-3

6.5.  

come primo sviluppo prima i segni:

effettuo il m.c.m.

sviluppo il prodotto

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[:it]Quando unisco due punti creo un segmento, se questo viene prolungato ai suoi estremi  creo una retta.

Una retta nello spazio, lasciata senza alcun riferimento, serve a poco per cui viene sempre disegnata sul piano cartesiano che mette in relazione una cosa in funzione di un’altra:

• il numero di vendite in funzione dei giorni
• gli ingredienti di una torta in funzione del tipo di torta
• il numero di passeggeri in funzione del costo del biglietto
• il numero di studenti in funzione della scuola di provenienza
• le promozioni in funzione della classe.

Una retta mette in relazione l’asse delle y con l’asse delle x.

In generale una retta viene scritta come:

(1)

prende il nome di coefficiente angolare in quanto esso mi fornisce l’inclinazione della retta.

prende il nome di ordinata all’origine perché è il valore dell’intersezione della retta con l’asse delle ordinate.

Le rette hanno quindi sempre equazione

(2)

ma comunemente si adotta la forma (1) perché fornisce molte più informazioni della forma (2).

Come faccio a rappresentare una retta sul piano cartesiano?

Fondamentale: sono sufficienti due punti per rappresentare una retta!

SOLO DUE ossia è sufficiente prendere un valore a caso di x ed uno di y oppure due di x o due di y, l’altra incognita si trova partendo dall’equazione della retta.

Ad esempio:

Metodo intersezione con gli assi anche illustrato nel video relativo

• prendo il valore troverò che ed ho trovato il punto A(0;2).
• Poi prendo y=0 allora avrò ossia per cui il secondo punto è B(-1;0).

Segno i due punti sul piano cartesiano, li unisco ed ho proprio la retta cercata

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Norman Rockwell

In questo esercizio si deve essere in grado di:

• adeguare la larghezza di una colonna al suo contenuto
• inserire una formula che calcoli la somma di opportune celle
• inserire formule per calcolare la differenza
• inserie righe o colonne prima o dopo le altre.
• riempimento automatico
• rendere assoluto un riferimento

Modulo4esercizio3[:]

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Salvador Dalì

Che ci si ricordi che per calcolare la distanza tra due punti è sufficiente calcolare la differenza delle ordinate elevato al quadrato sommata alla differenza delle ordinate elevata al quadrato: il risultato tutto sotto radice.

Tale premessa permette di scegliere sempre il valore dell’ascissa più grande a cui sottrarre quella più piccola per evitare di sbagliare il segno!

Calcolare la distanza tra questi punti

6.1. A(3;4) e B (1;2)
6.2.  A(5,4) e B(8,4)
6.3. A(-2,3) e B(4,3)
6.4. A(3,5) e B(-6,-4)
6.5. A(-5,0) e B(-8,2)
6.6. e B(1,1)

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Salvador Dali

Ricordarsi che per rappresentare i punti su un piano cartesiano si deve:

1. disegnare gli assi cartesiani: quello orizzontale viene chiamato comunemente x, quello verticale viene chiamato comunemente y; essi sono ortogonali l’uno con l’altro.
2. un punto è caratterizzato da due numeri messi tra parentesi e separati da ;
3. il primo valore rappresenta sempre la coordinata x, l’altro la coordinata y;
4. si segna sull’asse delle x il primo numero, si segna su quello delle y il secondo;
5. si traccia una linea verticale passante per il valore segnato sulle x;
6. si traccia una linea orizzontale passante per il valore segnato sull’asse delle y;
7. dove si intersecano le due linee si ha proprio il punto.

Rappresentare sul piano cartesiano i seguenti punti:

6.1. (2;3)

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

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[:it]

Andreas Angelidakis

1. Su un corpo M sono applicate, nella stessa direzione AA’, le seguenti forze, positive nel senso da M ad A, negative nel senso opposto:

52Kg, 25Kg, -74Kg, 9 Kg, 15Kg, -103Kg

Dire qual è la risultante.

(Si ricordi dalla fisica che, in questo caso, la risultante, è data, per intensità, dalla somma algebrica dell’intensità delle forze componenti).

[-76Kg]

2. Quanti anni sono trascorsi dalla nascita di Aristotele, avvenuta nel 344 a.C., alla morte di Giulio Cesare avvenuta nel 44 a.C.? E a quella di Caligola, avvenuta nel 41 d.C.?

( Si indichino gli anni prima di Cristo con i numeri negativi e quelli dopo di Cristo con i numeri positivi)

[300;385]

3. In un grattacielo, un ascensore parte dal settimo piano e sale di nove piani, poi scende di cinque piani e quindi di altri dieci. Di quanti piani deve salire l’ascensore per giungere al tredicesimo piano?

[12]

4. Un automobilista percorre 20 Km su una stessa strada, poi altri 45 nel verso opposto, quindi 42 nel verso iniziale, ed infine altri 17 nel verso opposto. Qual è stata la distanza massima dal punto di partenza che l’automobilista ha raggiunto? A che punto i trova ora?

[25Km; al punto di partenza]

5. Un tale preleva dal suo conto corrente 350€, il giorno dopo versa 200€ e successivamente preleva 70€. L’ammontare del suo credito è così di 10.000€. Qual era il suo credito prima di queste operazioni?

[10.220€]

6. Un punto P, mobile sopra una retta, percorre, a partire da un punto A, in n certo verso, poi 6,5m nel verso opposto, quindi 3,2m nel verso iniziale. A che distanza da A si trova P?

[2,9m]

5. Un termometro segna 16°C sopra lo zero, la temperatura si abbassa di °C e poi cresce di 1,5 °C, infine discende di altri 4 °C. Che temperatura segna il termometro?

[9,75 °C]

7. Uno scalatore parte da un campeggio posto a 1100 m sul livello del mare; sale per 500m, discende per 110m, risale per 971m e discende per 75m. A quale altezza, sul livello del mare, si troverà alla fine?

[+2386m]

[:]

[:it]

Paul David bond

[WpProQuiz 41]

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[:it]Sommare numeri relativi frazionari dignifica applicare comunque tutto ciò che si è appreso con la somma delle frazioni.

Lo richiamo qui con un esempio perché tutta la teoria è presente nel post:

somma tra frazioni

Allora:

Esercizi suddivisi per un livello sufficiente [6]:

6.1.   (+3)+(-5)+(-6)	[-8]
6.2. (+8) + (-10)+(+11)	[+9]
6.3. (-1)+(-3)+(-7)	[-11]
6.4. (-2)+(+7)+(-8)	[-3]
6.5.
6.6.
6.7.	[ -1 ]
6.8.	[ 0]
6.9.
6.10.
6.11.
6.12.	[-6]
6.13.
6.14.	[0]
6.15. (+13)+(+32)+(-5)+(-7)+(-10)+(+7)	[+30]
6.16. (-25)+(-10)+(+8)+(+2)+(+4)+(+13)	[-8]
6.17. (15-9)+(11+4-28-9)+(-8+16-11)	[-19]
6.18.	[+2]

Si devono eseguire le operazioni a partire da quelle contenute nelle parentesi più interne

Esercizi per un livello discreto [7]:

7.1.	[-3]
7.2.	[+38]
7.3.
7.4.
7.5.

Esercizi per un buon livello [8]

8.1.
8.2.
8.3.	[+1]

Esercizi per un ottimo livello [9/10]

10.1.

Soluzioni guidate agli esercizi[:]