[:it]Metodo delle secanti o di Lagrange o delle parti proporzionali[:]

Pubblicato il 16 Gennaio 2017 da admin

[:it]

Norman Rockwell

Per trovare la soluzione in questo caso, invece che trovare il punto medio, come nel metodo di bisezione, si trova la retta passante per i due punti, per cui vale il teorema di unicità della radice, e si determina il suo punto di intersezione con l’asse delle x.

L’errore o approssimazione è data dalla differenza tra le due intersezioni successive ossia:

\left | x_{n}-x_{n-1} \right |

La retta passante per i due estremi ha equazione:

\cfrac{y-f(a_{0})}{f(b_{0})-f(a_{0})}=\cfrac{x-a_{0}}{b_{0}-a_{0}}

e la sua intersezione vale:

x_{1}=a_{0}-\cfrac{\left ( b_{0}-a_{0} \right )\cdot f(a_{0})}{f(b_{0})-f(a_{0})}

Ecco il metodo ricorsivo per determinare la soluzione:

Data l’equazione f(x)=0, si cerchi un intervallo \left [ a_{0};b_{0} \right ] tale che f\left ( a_{0} \right )\cdot f\left ( b_{0} \right )<0.

  1. Calcolare x_{1}=a_{0}-\cfrac{\left ( b_{0}-a_{0} \right )\cdot f(a_{0})}{f(b_{0})-f(a_{0})}
  2. Calcolare f\left ( x_{1} \right )
  3. Se f\left ( x_{1} \right )=0 allora x_{1} è proprio la soluzione e si termina il ciclo altrimenti si va al passo successivo.
  4. Solo al passo successivo al primo si calcola \left | x_{2}-x_{1} \right |, se risulta minore della precisione voluta, si termina il ciclo uscendo.
  5. Se f\left ( x_{1} \right )\neq 0 si deve scegliere il nuovo intervallo con il seguente criterio:

se f\left ( x_{1} \right )<0 allora a_{1}=x_{1} , b_{1}=b_{0}

se f\left ( x_{1} \right )>0 allora a_{1}=a_{0} , b_{1}=x_{1}

6. Si torna al punto 1 con i nuovi intervalli.

 

Nel caso in cui il segno della derivata seconda mantenesse lo stesso segno (ossia la curva mantenesse la stessa concavità) nell’intervallo trovato, il procedimento si semplifica notevolmente e si ha la seguente ricorsione.

Se f(a_{0})\cdot f^{''}(x)>0

allora

x_{0}=b_{0}

x_{n+1}=x_{n}-\cfrac{a_{0}-x_{n}}{f(a_{0})-f(x_{n})}\cdot f(x_{n})

 

Se f(a_{0})\cdot f^{''}(x)<0

allora

x_{0}=a_{0}

x_{n+1}=x_{n}-\cfrac{b_{0}-x_{n}}{f(b_{0})-f(x_{n})}\cdot f(x_{n})

 

 

 [:]

Pubblicato in Senza categoria | Lascia un commento

[:it]Approfondimento sulle porprietà dei logaritmi[:]

Pubblicato il 15 Gennaio 2017 da admin

[:it]

Norman Rockwell

Questo mio approfondimento nasce dall’esigenza di chiarire quando due funzioni logaritmiche sono uguali o meno.

In particolare è corretto affermare che:

log\left (x \right )+log\left (x \right )=log\left (x^{2} \right )?

Se applicassimo la proprietà dei logaritmi senza alcuna riflessione in merito la risposta sarebbe affermativa.

Se andiamo ad effettuare il grafico delle due funzioni ci si accorge che sono uguali solo per x>0.

Allora dove sta la soluzione al problema?

Per applicare la proprietà bisogna prima studiare il dominio ossia scrivere la relazione precedente è possibile farlo solo dopo aver evidenziato che si può fare solo e soltanto per x>0.

Se si fosse richiesto invece di studiare solo la funzione:

y=log\left (x^{2} \right )

allora il dominio sarebbe stato tutto \mathbb{R} esclusa l’origine.[:]

Pubblicato in Senza categoria | Lascia un commento

[:it]Metodo di bisezione[:]

Pubblicato il 15 Gennaio 2017 da admin

[:it]Trovare una soluzione non significa che si debba conoscere esattamente il suo valore preciso ma è sufficiente uno approssimato.

Il procedimento si basa sul punto medio di un intervallo, in cui si presuppone esserci una soluzione. La scelta dell’intervallo deve soddisfare il teorema dell’unicità del limite.

Il punto medio si calcola come:

m_{0}=\cfrac{a_{0}+b_{0}}{2}

Il valore del punto medio meno la soluzione precisa (che non si conosce) è sicuramente minore di metà dell’intervallo stesso.

Ossia in maniera algebrica:

\left |m_{0}-c \right |<\cfrac{b_{0}-a_{0}}{2}

Quindi si prende metà dell’intervallo, che invece si conosce, come stima dell’approssimazione. Questa scelta assolutamente corretta ha come svantaggio il fatto che, per arrivare all’approssimazione voluta, bisogna reiterare il procedimento numerose volte.

L’approssimazione viene definita come:

\epsilon _{0}=\cfrac{b_{0}-a_{0}}{2}

Il procedimento si itera prendendo come nuovo estremo dell’intervallo il punto medio trovato e si calcola quindi la nuova media e la nuova stima finchè essa sia minore di quella voluta.

Nei dettagli:

Data l’equazione f(x)=0, si cerchi un intervallo \left [ a_{0};b_{0} \right ] tale che f\left ( a_{0} \right )\cdot f\left ( b_{0} \right )<0.

  1. determinare il punto medio dell’intervallo \left [ a_{0};b_{0} \right ], m_{0}=\cfrac{a_{0}+b_{0}}{2}, e si calcoli f\left ( m_{0} \right ).
  2. se f\left ( m_{0} \right )=0, allora m_{0} è proprio la soluzione e si termina il ciclo altrimenti si va al passo successivo.
  3. se f\left ( m_{0} \right )\neq 0 allora m_{0} è un valore approssimato della soluzione e si calcola \epsilon _{0}=\cfrac{b_{0}-a_{0}}{2}.
  4. Se \epsilon _{0}\leqslant 0 di quella voluta si esce da ciclo altrimenti si va al passo successivo
  5. Si sceglie il nuovo intervallo in questa maniera:

se f\left ( m_{0} \right )<0 allora a_{1}=m_{0} , b_{1}=b_{0}

se f\left ( m_{0} \right )>0 allora a_{1}=a_{0} , b_{1}=m_{0}

6. si torna torna al numero 1 con in nuovi intervalli.

 

 [:]

Pubblicato in Senza categoria | Lascia un commento

[:it]Teorema di unicità dello zero.[:]

Pubblicato il 14 Gennaio 2017 da admin

[:it]Questo teorema garantisce che un’equazione vista come funzione possa avere una soluzione.

Primo teorema

Se la funzione è, in intervallo [a,b]:

  • continua
  • derivabile almeno una volta
  • la f^{'}(x)\neq 0
  • f(a)\cdot f(b)<0

allora essa interseca l’asse delle x esattamente in un punto.

Secondo teorema

Se la funzione è, in intervallo [a,b]:

  • continua
  • derivabile due volte
  • la f^{''}(x)\neq 0
  • f(a)\cdot f(b)<0

allora essa interseca l’asse delle x esattamente in un punto.

Vi sono poi quattro metodi per determinare in maniera approssimata la soluzione cercata:

il metodo di bisezione

il metodo delle secanti

il metodo delle tangenti

il metodo iterativo o del punto unito[:]

Pubblicato in Senza categoria | Lascia un commento

[:it]Serie di Taylor e di McLauin[:]

Pubblicato il 10 Gennaio 2017 da admin

[:it]Studiare il grafico di una funzione non è cosa assolutamente semplice, inoltre spesso non interessa il grafico completo ma solo il suo andamento in un intorno di un suo determinato punto.

Per fare questo è sufficiente avere un punto attorno il quale la funzione da approssimare sia derivabile n volte e si può approssimare la funzione di partenza con un polinomio.

Allora vale il seguente teorema fondamentale in analisi che consente l’approssimazione voluta.

Sia f una funzione derivabile n volte in x_{0} allora si può approssimare la funzione di partenza con un polinomio tale che:

P(x)=f(x_{0})+f^{'}(x-x_{0})+\cfrac{f^{''}(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^2+\cfrac{f^{'''}(x_{0})}{3!}(x-x_{0})^3+...+\cfrac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^n

più ci si allontana dal punto x_{0} e meno precisa è l’approssimazione polinomiale della funzione.

Se poi il punto x_{0}=0 lo sviluppo in serie precedente si chiama serie di McLaurin

P(x)=f(0)+f^{'}(0)x+\cfrac{f^{''}(0)}{2!}x^2+\cfrac{f^{'''}(0)}{3!}x^3+...+\cfrac{f^{n}(0)}{n!}x^n[:]

Pubblicato in Senza categoria | Lascia un commento

[:it]Esercizi di base con le proporzioni[:]

Pubblicato il 8 Gennaio 2017 da admin

[:it]

Jack Vettriano

Ricordarsi sempre le formula risolutiva ossia si moltiplicano gli estremi e si divide per il medio nel caso in cui l’incognita sia uno dei due medi,

si moltiplicano i medi e si divide per l’estremo nel caso in cui l’incognita sia uno dei due medi.

Esercizi di base:

6.1. 9:x=3:2
6.2. x:8=10:5
6.3. 9:6=x:2
6.4. 9:6=3:x
6.5. 16:x=10:5
6.6. 16:8=x:5
6.7. 16:8=10:x

Esercizi per un livello più sicuro [7], ricordarsi di sviluppare prima le parentesi

7.1. \left ( 1-\cfrac{3}{4} \right ):0,2=1:x \left [ \cfrac{4}{5} \right ]
7.2. \left ( 4-\cfrac{1}{2} \right ):x=\left ( \cfrac{5}{4}+\cfrac{1}{2} \right ):\cfrac{4}{5} \left [ \cfrac{8}{5} \right ]
7.3. \left ( \cfrac{1}{4}+\cfrac{5}{12} \right ):x=\left ( 1-\cfrac{4}{9} \right ):\left ( \cfrac{7}{15}-\cfrac{1}{20} \right ) \left [ \cfrac{1}{2} \right ]

Si va verso un livello buono [8]

8.1. \left ( \cfrac{1}{3} +\cfrac{1}{2}\right )^{2}:\left ( 1-\cfrac{1}{6} \right )^{2}=x: \left [\left ( \cfrac{4}{7} \right )^{2} \cdot \left ( 2-\cfrac{1}{4} \right )^{2}+2 \right ] \left [ 3 \right ]
8.2. x:\cfrac{3}{5}=\left ( 3+\cfrac{1}{8} \right ):\left ( \cfrac{5}{2} \right )^{2} \left [ \cfrac{3}{10} \right ]
8.4. \left ( \cfrac{5}{12}+\cfrac{5}{6} \right ):x=\left ( \cfrac{5}{6}+\cfrac{5}{3} \right ):\left ( 1+\cfrac{2}{3} \right ) \left [ \cfrac{5}{6} \right ]

Esercizi per verificare la massima sicurezza [9][10]

9.1. \left ( \cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3} \right )^{2}:\left ( 1-\cfrac{1}{3} \right )^{3}=x:\left ( 0,\overline 2 \right )^{2} \left [ \left ( \cfrac{1}{6} \right )^{3} \right ]
9.2. x:\left [ \left ( \cfrac{3}{4}+\cfrac{5}{2} \right )^{2}:\left ( \cfrac{13}{4} \right )^{2} \right ]=\left [ \left ( 2\cdot \cfrac{3}{10} \right )^{2}:\left ( \cfrac{9}{4}-\cfrac{9}{5} \right )^{2} \right ]:x \left [ \cfrac{4}{3} \right ]

 [:]

Pubblicato in Senza categoria | 3 commenti

[:it]Test su word avanzato[:]

Pubblicato il 8 Gennaio 2017 da admin

[:it]

Jack Vettriano

[WpProQuiz 39][:]

Pubblicato in Senza categoria | Lascia un commento

[:it]Esercizio sulla stampa unione[:]

Pubblicato il 6 Gennaio 2017 da admin

[:it]

Jack Vettriano

Sviluppare l’esercizio utilizzando i due file allegati prima con word e poi con il wrire di libre office.

L’esercizio consiste nel collegare l’elenco dei nomi presente nel fil excel con il documento word allegato.

Lettera-StampaUnione

Allievi-StampaUnione

 [:]

Pubblicato in Senza categoria | Lascia un commento

[:it]SQL: esercizio 3 sull’UPDATE[:]

Pubblicato il 6 Gennaio 2017 da admin

[:it]

Jack Vettriano

Creare:

  • tabella anagrafica
  • tabella dei capoluoghi di provincia italiani
  • tabella delle regioni italiane

La tabella Anagrafica avrà le seguenti colonne:

idAnagrafica

cognome

via

idCitta

 

La tabella città conterrà semplicemente due colonne

idcitta

nomecitta

idregione

La tabella delle regioni avrà solo due colonne:

idregione

nome regione

Popolare la tabella città con i seguenti dati:

Agrigento, Alessandria, Ancona, Aosta, Arezzo, Ascoli Piceno, Asti, Avellino, Bari, Barletta-Andria-Trani, Belluno, Benevento, Bergamo, Biella, Bologna, Bolzano, Brescia, Brindisi, Cagliari, Caltanissetta, Campobasso, Carbonia-Iglesias, Caserta, Catania, Catanzaro, Chieti, Como, Cosenza, Cremona, Crotone, Enna, Fermo, Ferrara, Firenze, Foggia, Forl’-Cesena, Frosinone, Genova, Gorizia, Grosseto, Imperia, Isernia, La Spezia, L’Aquila, Latina, Lecce, Lecco, Livorno, Lodi, Lucca, Macerata, Mantova, Massa-Carrara, Matera, Messina, Milano, Modena, Monza e della Brianza, Napoli, Novara, Nuoro, Olbia-Tempio, Oristano, Padova, Palermo, Parma, Pavia, Perugia, Pesaro e Urbino, Pescara, Piacenza, Pisa, Pistoia, Pordenone, Potenza, Prato, Ragusa, Ravenna, Reggio Calabria, Reggio Emilia, Rieti, Rimini, Roma, Rovigo, Salerno, Medio Campidano, Sassari, Savona, Siena, Siracusa, Sondrio, Taranto, Teramo, Terni, Torino, Ogliastra, Trapani, Trento, Treviso, Trieste, Udine, Varese, Venezia, Verbano-Cusio-Ossola, Vercelli, Verona, Vibo Valentia, Vicenza, Viterbo.

  • Popolare la tabella regioni con le regioni italiane associandole la corretta provincia:
  • Abruzzo, Basilicata, Calabria, Campania, Emilia Romagna, Friuli Venezia Giulia, Lazio, Liguria, Lombardia, Marche, Molise, Piemonte, Puglia, Sardegna, Sicilia, Toscana, Trentino Alto Adige, Umbria, Valle d’Aosta, Veneto.

Inserire i seguenti abitanti della città di Alessandria

Rossi Adriano Piazza Della Liberta’ 2,

Rossi Edda Via Genova 175

Bianchi Via delle Palme 4

Gialli Via Subito 6

Rosa Via della Pelle 9

 

Inserire i seguenti nomi della città di Bolano

Casadei Piazza Vittoria

Manzo Piazza Vittoria

Verdi Piazza Vittoria

Mastini Piazza Vittoria

Italia Piazza Vittoria

Eseguire adesso le seguenti query:

  1. estrarre tutti i nomi della città
  2. estrarre tutti gli abitanti con la relativa città
  3. fornire l’elenco delle regioni italiani con le relative provincie
  4. estrarre solo le provincie del Veneto
  5. estrarre solo le provincie delle regioni del centro Italia
  6. estrarre solo le provincie delle regioni del nord Italia
  7. estrarre solo le provincie del sud Italia
  8. fornire il numero di abitanti della città di Alessandria
  9. fornire il numero di abitanti della città di Bolzano
  10. Modificare con il comando update Piazza Vittoria in Piazza della Pace per gli abitanti della città di Bolzano.

[:]

Pubblicato in Senza categoria | Lascia un commento

[:it]Verifica sulle disequazioni di primo grado[:]

Pubblicato il 5 Gennaio 2017 da admin

[:it]

Paul David Bond

[WpProQuiz 38]

[:]

Pubblicato in Senza categoria | Lascia un commento