[:it]Esercizi somma di frazioni [:]

[:it]

Franco Lastraioli

Franco Lastraioli

Per eseguire la somma tra frazioni si può usare il metodo “moltiplicazione denominatori e successiva riduzione della frazione” o il metodo del m.c.m. dei denominatori.

Ridurre sempre il risultato ai minimi termini

Per un livello di base [6]

6.1. \cfrac{7}{8}+\cfrac{3}{2} \left [ \cfrac{19}{8} \right ]
6.2. \cfrac{15}{2}+\cfrac{3}{4} \left [ \cfrac{33}{4} \right ]
6.3. \cfrac{9}{4}+\cfrac{3}{5} \left [ \cfrac{57}{20} \right ]
6.4. \cfrac{3}{2}+\cfrac{1}{2}
6.5. 1+\cfrac{1}{2}
6.6. 7+\cfrac{3}{4}
6.7. 9+ \cfrac{2}{3}
6.8. \cfrac{3}{5}+\cfrac{2}{7}
6.9. \cfrac{4}{6}+\cfrac{1}{2} 
6.10. \cfrac{5}{3}+\cfrac{7}{2}
6.11. \cfrac{7}{8}+\cfrac{14}{7}
6.12.  \cfrac{8}{7}+\cfrac{7}{14}
6.13. \cfrac{3}{7}+\cfrac{10}{9}
6.14. \cfrac{9}{10}+\cfrac{3}{7}
6.15. \cfrac{3}{7}+\cfrac{9}{10}

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[:it]Esercizi sulla semplificazione e confronto tra frazioni[:]

[:it]Esercizi per un livello sufficiente [6]:

Adam Martinakis

Adam Martinakis

Semplifica le seguenti frazioni, ricordarsi che per effettuare la semplificazione è necessario scomporre il numeratore ed il denominatore per i sui numeri primi.

A questo punto i può semplificare nei minimi termini

6.1. \cfrac{4}{6} 6.2. \cfrac{6}{15}
6.3. \cfrac{6}{27} 6.4. \cfrac{7}{27}
6.5. \cfrac{8}{18} 6.6. \cfrac{8}{23}
6.7. \cfrac{1}{5} 6.8. \cfrac{10}{17}

[:]

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[:it]Frazioni: quoziente[:]

[:it] 

Adam Martinakis

Adam Martinakis

Il quoziente o divisione tra due frazioni avviene invertendo il numeratore con il denominatore della frazione divisore.

 

\cfrac{a}{b}:\cfrac{c}{d}=\cfrac{a}{b}\cdot \cfrac{d}{c}

ad esempio:

\cfrac{4}{5}:\cfrac{3}{10}=\cfrac{4}{5}\cdot \cfrac{10}{3}=\cfrac{4}{5}\cdot \cfrac{5 \cdot 2}{3}=\cfrac{4}{\not 5}\cdot \cfrac{\not 5 \cdot 2}{3}=\cfrac{4 \cdot 2}{3}=\cfrac{8}{3}[:]

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[:it]Frazioni: prodotto[:]

[:it]

Adam Martinakis

Adam Martinakis

Il prodotto tra frazioni si esegue moltiplicando i numeratori o i denominatori sempre che sia i denominatori che i numeratoti delle due frazioni siano ridotti ai minimi termini.

\cfrac{a}{b}\cdot \cfrac{c}{d}=\cfrac{a\cdot c}{b\cdot d}

Ad esempio:

\cfrac{3}{5}\cdot \cfrac{2}{7}=\cfrac{3 \cdot 2}{5\cdot 7}=\cfrac{6}{35}

\cfrac{4}{9}\cdot \cfrac{13}{15}=\cfrac{4 \cdot 13}{9\cdot 15}=\cfrac{52}{135}

ecco l’esempio che mette in evidenza  come conviene fare prima la riduzione o la semplificazione e poi eseguire la moltiplicazione.

\cfrac{4}{5}\cdot \cfrac{25}{8}=\cfrac{4}{5} \cdot \cfrac{5 \cdot 5}{4 \cdot 2}=\cfrac{\not 4}{\not 5} \cdot \cfrac{\not 5 \cdot 5}{\not 4 \cdot 2}=\cfrac{1}{1}\cdot \cfrac{5}{2}=\cfrac{5}{2}

Si noti come la semplificazione avviene in modo “incrociato”.

Quindi bisogna cercare di scomporre i singoli numeri presenti al numeratore o al denominatore e poi osservare come cifre uguali poste al numeratore ed al denominatore si possono semplificare!

 

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[:it]Frazioni: somma[:]

[:it]

Ricardo Fernandez Ortega

Ricardo Fernandez Ortega

Somma di due frazioni con lo stesso denominatore:

\cfrac{a}{m}+\cfrac{b}{m}=\cfrac{a+b}{m}

ad esempio:

\cfrac{5}{7}+\cfrac{4}{7}=\cfrac{5+4}{7}=\cfrac{9}{7}

ossia è sufficiente sommare i numeratori.

Differenza di due frazioni con lo stesso denominatore:

\cfrac{a}{m}-\cfrac{b}{m}=\cfrac{a-b}{m}

ad esempio:

\cfrac{5}{7}-\cfrac{4}{7}=\cfrac{5-4}{7}=\cfrac{1}{7}

ossia è sufficiente sottrarre i numeratori.

Somma di due frazioni DIVERSO denominatore:

\cfrac{a}{D}+\cfrac{b}{E}=\cfrac{a\cdot E+b\cdot D}{D\cdot E}

ad esempio:

\cfrac{2}{5}+\cfrac{3}{4}=\cfrac{2\cdot 4+3\cdot 5}{5\cdot 4}=\cfrac{8+15}{20}=\cfrac{23}{20}

Differenza di due frazioni DIVERSO denominatore:

\cfrac{a}{D}-\cfrac{b}{E}=\cfrac{a\cdot E-b\cdot D}{D\cdot E}

ad esempio:

\cfrac{7}{5}-\cfrac{3}{4}=\cfrac{7\cdot 4-3\cdot 5}{5\cdot 4}=\cfrac{28-15}{20}=\cfrac{13}{20}

NOTARE CHE CON QUESTO METODO, SE POSSIBILE, SI DOVRA’ RIDURRE LA FRAZIONE AI MINIMI TERMINI  ossia semplificare il numeratore ed il denominatore.

Per evitare la riduzione successiva si può:

  • tracciare una lunga linea di frazione
  • determinare il m.c.m. tra i denominatori e scrivere il risultato al denominatore della frazione risultante:
  • dividere il m.c.m. con il primo denominatore e moltiplicare il risultato con il primo numeratore, scrivere il risultato.
  • dividere il m.c.m. con il secondo denominatore e moltiplicare il risultato con il secondo numeratore, scrivere il risultato.
  • sommare /sottrarre i numeratori così ottenuti.

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[:it]Frazioni: proprietà invariantiva–>semplificazione, confronto[:]

[:it]

4

George Grie

La proprietà invariantiva delle frazioni è alla base di una delle più potenti proprietà per poterle manipolare, facendone la somma, la moltiplicazione, la semplificazione: in partica manipolare le frazioni in maniera esattamente uguale a dei numeri interi.

PROPRIETA’ INVARIANTIVA

Moltiplicando il numeratore ed il denominatore per uno stesso numero si ha una frazione equivalente.

Dividendo il numeratore ed il denominatore per uno stesso numero si ha una frazione equivalente.

Due frazioni si dicono equivalenti quando rappresentano lo stesso valore ad esempio \cfrac{3}{2}=1,5 è uguale a \cfrac{9}{6}=1,5 .

La conseguenza fondamentale di tale proprietà è la semplificazione di una frazione:

\cfrac{10}{18}=\cfrac{10:2}{18:2}=\cfrac{5}{9}

oppure il confronto tra frazioni:

devo capire quale tra le seguenti due frazioni è la più grande.

\cfrac{4}{5} e \cfrac{7}{6}

  • calcolare il m.c.m. tra i denominatori –> m.c.m.{5,6}=30
  • Divido il m.c.m. appena trovato per il primo denominatore 30:5=6
  • Moltiplico il numeratore ed il denominatore della prima frazione per 6 ossia:

\cfrac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6}=\cfrac{24}{30}

  • Divido il m.c.m. appena trovato per il secondo denominatore 30:6=5
  • Moltiplico il numeratore ed il denominatore della seconda frazione per 5 ossia:

\cfrac{7 \cdot 5}{6 \cdot 5}=\cfrac{35}{30}

Adesso le due frazioni iniziali sono diventate:

\cfrac{4}{5}=\cfrac{24}{30} e \cfrac{7}{6}=\cfrac{35}{30}

e confrontando solo il numeratore osservo che:

24<35 per cui si può dire che:

\cfrac{4}{5}<\cfrac{7}{6}.

E’ più facile farlo che descriverlo![:]

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[:it]Esercizi sulle frazioni: definizioni[:]

[:it]

Ricardo Fernandez Ortega

Ricardo Fernandez Ortega

Catalogare le seguenti frazioni ossia dire se sono:

  • proprie
  • improprie
  • apparenti

Riporto lo schema per semplicità:

Condizione Definizione Esempio
a <b PROPRIA \cfrac{2}{3}
a>b ed a non multiplo di b IMPROPRIA \cfrac{4}{3}
a>b a multiplo di b APPARENTE \cfrac{8}{2}
se b=1 non si scrive il denominatore \cfrac{7}{1} 7

Esercizi:

B.1. \cfrac{1}{2} B.11. \cfrac{9}{3}
B.2. \cfrac{1}{4} B.12. \cfrac{4}{9}
B.3. \cfrac{3}{5} B.13. \cfrac{10}{6}
B.4. \cfrac{7}{10} B.14. \cfrac{7}{13}
B.5. \cfrac{7}{14} B.15. \cfrac{9}{4}
B.6. \cfrac{6}{2} B.16. \cfrac{20}{10}
B.7. \cfrac{8}{4} B.17. \cfrac{4}{4}
B.8. \cfrac{18}{9} B.18. \cfrac{5}{1}
B.9. \cfrac{5}{2} B.19. \cfrac{4}{156}
B.10. \cfrac{10}{3} B.20. \cfrac{156}{4}

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[:it]Frazioni[:]

[:it]

jorge-ignacio-nazabal-cowan-08

Jorge Ignacio Nazabal

Le frazioni rappresentano delle divisioni: esse sono graficamente rappresentate dalla linea orizzontale che separa i due numeri.

Il numero che “sta sopra” si chiama numeratore

Il numero che “sta sotto” si chiama denominatore

DEFINIZIONE

Si chiama frazione un simbolo \cfrac{a}{b} costituito da una coppia ordinata di numeri naturali a e b, con b\neq 0.

Il simbolo \cfrac{a}{b} si legge “a fratto b”, oppure “a biesimi” o anche “a su b”.

Ad esempio \cfrac{2}{3} si legge “2 fratto 3”, oppure “2 terzi” oppure “2 su tre”.

  • il numero a si chiama numeratore e può anche essere zero;
  • il numero b si chiama denominatore e deve sempre essere diverso da zero;
  • a può essere minore o maggiore di b.
Condizione Definizione Esempio
a <b PROPRIA \cfrac{2}{3}
a>b ed a non multiplo di b IMPROPRIA \cfrac{5}{4}
a>b a multiplo di b APPARENTE \cfrac{8}{2}
se b=1 non si scrive il denominatore \cfrac{7}{1} 7

 

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[:it]Esercizi su m.c.m. minimo comune multiplo[:]

[:it]

Vladimir Kush

Vladimir Kush

Il minimo comune multiplo è quello più usato per consentire la somma e la differenza tra le frazioni. Attenzione NON nella moltiplicazione e divisione tra frazioni.

Per calcolarlo si scompongono i numeri e si prendono i numeri primi comuni e non comuni una volta sola con l’esponente più grande oppure si prende il numero più grande e si verifichi che esso contenga un numero di volte intero gli altri numeri. Se ciò non avviene si comincia a moltiplicarlo per 2 o per tre o tante volte finché esso non diventi un perfetto multiplo degli altri.

Esercizi per un livello sufficiente:

6.1. tra 8 e 10 [40]
6.2. tra 5 e 16  [80]
6.3. tra 45 e 30 [90]
6.4. tra 32 e 24 [96]
6.5. tra 12 e 15 [60]
6.6. tra 10 e 18 [90]
6.7. tra 48 e 32 [96]
6.8. tra 16 e 18 [135]
6.9. tra 20 e 12  [60]
6.10. tra 14 e 22  [154]
6.11. tra 24 e 36  [72]
6.12. tra 25 e 30  [150]

Per un livello discreto [7]

7.1. tra 33 e 22 [66]
7.2. tra 15 e 18 [90]
7.3. tra 10 e 15 [30]

Per un buon livello [8]

8.1. tra 63 e 84 [252]
8.2. tra 36 e 48 [144]
8.3. tra 15 e 25 [75]

Verso l’eccellenza [10]

9.1.  12 – 24 – 36
9.2. 12 – 15 – 60
9.3. 15 – 30 – 45
9.4. 16 – 32 – 40
9.5. 350 – 550 – 770
9.6. 315 – 216 – 504
9.7. 360 – 450 – 720
9.8. 270 -405 -540

Alcuni problemi con il minimo comune multiplo

10.1.  Un rappresentante di videogame visita tre negozi diversi rispettivamente ogni tre mesi, ogni 2 mesi, e ogni 5 mesi. Se oggi ha visitato contemporaneamente i tre negizi, dopo quanti mesi li visiterò ancora contemporaneamente? [30 mesi]
10.2. Tre operai lavorano nello stesso reaparto di un’industria. I turni di tre operai durano rispettivamente 18, 12 e 30 giorni. Se iniziano il turno assieme, fra quanti giorni i tre operai si incontreranno nuovamente nello stesso turno di lavoro? [180 giorni]
10.3. La mamma di Paolo annaffia i gerani del suo terrazzo ogni 3 giorni e quelli del giardino ogni 5 giorni. Se li ha annaffiati il martedì, dopo qunti giorni li annaffierà nuovamente tutti? In che giorno della settimana? [15 giorni, il mercoledì]

[:]

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[:it]Esercizi sul M.C.D.[:]

[:it]

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Siobhan Pearson

Il Massimo Comune Divisore è il massimo numero che divide gli altri.

Ad esempio un amico vuole andare al cinema, mangiare la pizza e andare a fare un giro in centro,  un altro vuole andare al cinema e mangiare la pizza; il massimo comune divisore è andare al cinema e mangiare la pizza. Potrebbe essere anche solo andare al cinema ma non è il massimo comune divisore.

 

Esercizi per un livello sufficiente [6]

Calcolare il M.C.D. delle seguenti coppie di numeri.

6.1. 4, 6
6.2. 16, 24
6.3. 15, 30
6.4. 24, 36
6.5. 45, 54
6.6. 40, 32
6.7. 45, 15
6.8. 63, 36
6.9. 42, 49
6.10. 60, 84
6.11. 48, 36
6.12. 48, 18

Esercizi per un livello discreto [7]

7.1. 75, 60 [15]
7.2. 90, 120 [30]
7.3. 110, 88 [22]
7.4. 144, 180 [36]
7.5. 225, 210 [15]

Esercizi per un buon livello [8]

8.1. 280, 168  [56]
8.2. 104, 156  [52]
8.3. 204, 510 [102]
8.4. 276, 207 [69]
8.5. 450, 540  [90]

Esercizi per un livello ottimale [9/10]

9.1. 60, 108, 120 [12]
9.2. 112, 80, 192 [16]
9.3. 360, 432, 264 [24]

Problemi con il massico comune divisore:

10.1. Ho comperato tre rotoli di nastro colorato lunghi rispettivamente 36 m, 42 m e 48 m. Li devo dividere in parti uguali le più lunghe possibili. Quanto misurano i tagli effettuati? Quanti tagli per ogni colore riesco ad ottenere? [6 m, rispettivamente 6, 7, 8 tagli]

[:]

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