SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

Thomas Barbey

Tutti questi problemi richiedono come conoscenza il concetto di probabilità come rapporto tra eventi favorevoli ed eventi probabili.

Per poterli risolvere bisogna prima sapere quanti sono gli eventi che si possono verificare, ad esempio il numero di palline all’interno di un cesto, il numero di studenti di una classe e poi contare quanti sono gli eventi che vogliamo sapere che possano accadere.

Ad esempio sapere qual è la probabilità che da un cesto di 100 palline possa estrarne 1 bianca sapendo che ve ne sono 40 di questo colore e le rimanenti di un altro, è un semplice rapporto ossia P(pallina bianca)=

Esercizi per un livello base (6)

6.1. Lanciando due monete qual è la probabilità di ottenere due teste?
6.2. Vinco 1€ se nel lancio di un dado esce un numero superiore a 4. Quale probabilità ho di vincere?
6.3.  Si lanciano due dadi. Trova la probabilità che escano due 3; che escano un 3 e un 4; che escano due numeri pari.
6.4. Un’urna contiene 100 palline numerate da 1 a 100. Calcola la probabilità che una pallina estratta rechi un numero pari; un numero divisibile per 5; un numero divisibile per 6.
6.5. Calcola qual è la probabilità di estrarre da un’urna contenente 5 palline bianche, 8 nere, 10 rosse, 12 verdi, una pallina bianca; una pallina nera; una pallina rossa; una pallina verde; una pallina o bianca o nera; una pallina o bianca o verde.
6.6. Calcola la probabilità che lanciando una moneta esca testa.
6.7. Calcola la probabilità che lanciando 1 dado esca il numero 1.
6.8. Calcola la probabilità che lanciando 1 dado esca un numero divisibile per 2.
6.9. Calcola la probabilità che lanciando 1 dado esca un numero multiplo di 3.

Esercizi più complessi (7):

Da un’urna contenente 9 palline nere e 7 bianche si estraggono successivamente 3 palline, rimettendo ogni volta nell’urna la pallina estratta. Qual è la probabilità ceh siano tutte e 3 nere? Che siano tutte e tre bianche? Che siano le prime 2 bianche e la terza nera? Che siano 2 bianche e 1 nera?
Si gettano in aria 2 monete. Qual è la probabilità che diano entrambe testa? Una sola testa? Almeno una testa?

[:it]

Joel Rea

L’ellisse è quel luogo dei punti del piano per cui è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

L’ellisse rappresenta ad esempio il percorso dei pianeti attorno al Sole, la forma stessa della Terra è ellittica, un uovo è ellittico, lo stesso cerchione di un pneumatico se non perfettamente rotondo viene rappresentato da un’ellisse.

Come nelle precedenti forme geometriche anche l’ellisse ha un’equazione che la rappresenta.

Se due fuochi dell’ellisse hanno coordinate:

allora

e l’ellisse ha questa rappresentazione grafica

Se invece i due fuochi delle ellisse hanno coordinate:

allora

e l’ellisse ha questa rappresentazione grafica:

ma la e la cosa rappresentano?

Danno la lunghezza dei semiassi dell’ellisse.

In pratica l’ellisse è racchiusa in un rettangolo i cui lati sono e .

Ossia si ha una figura del genere:

ma cosa differisce un’ellisse da una circonferenza?

Dall’eccentricità ossia di quanto essa è schiacciata rispetto o l’asse x o l’asse y.

in pratica l’eccentricità è un rapporto tra la coordinata dei fuochi e l’asse maggiore dell’ellisse.

Nel caso della circonferenza per cui ed, infatti, l’eccentricità è nulla.[:en]

Joel Rea

L’ellisse è quel luogo dei punti del piano per cui è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

L’ellisse rappresenta ad esempio il percorso dei pianeti attorno al Sole, la forma stessa della Terra è ellittica, un uovo è ellittico, lo stesso cerchione di un pneumatico se non perfettamente rotondo viene rappresentato da un’ellisse.

Come nelle precedenti forme geometriche anche l’ellisse ha un’equazione che la rappresenta.

Se due fuochi dell’ellisse hanno coordinate:

allora e l’ellisse ha questa rappresentazione grafica

Se invece i due fuochi delle ellisse hanno coordinate:

allora

e l’ellisse ha questa rappresentazione grafica:

ma la e la cosa rappresentano?

Danno la lunghezza dei semiassi dell’ellisse.

In pratica l’ellisse è racchiusa in un rettangolo i cui lati sono e .

Ossia si ha una figura del genere:

ma cosa differisce un’ellisse da una circonferenza?

Dall’eccentricità ossi di quanto essa è schiacciata rispetto o l’asse x o l’asse y.

in pratica l’eccentricità è un rapporto tra la coordinata dei fuochi e l’asse maggiore dell’ellisse.

Nel caso della circonferenza per cui ed, infatti, l’eccentricità è nulla.[:de] 

Die Ellipse

Eine Ellipse kann definiert werden als die Menge aller Punkte  der Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten  und  gleich einer gegebenen Konstante ist. Die Punkte  und  heißen Brennpunkte.

Die Ellipse repräsentiert zum Beispiel den Kurs von den Planeten um die Sonne, die gleiche Form von der Erde ist elliptisch, ein Ei ist elliptisch, Felgen von einem Reifen, wenn es nicht genau rund ist spricht man von einer Ellipse.

Wie auch die vorhergehenden geometrischen Formen wird die Ellipse durch eine Gleichung dargestellt.

Wenn zwei Brennpunkte der Ellipse Koordinaten haben,

hat die Ellipse diese grafische Darstellung

Wenn die Brennpunkte hingegen folgende Koordinaten haben,

hat die Ellipse diese grafische Darstellung

aber was stellen a und  b dar?

Sie geben die Länge der Halbachsen der Ellipse an.

In der Praxis ist die Ellipse in einem Rechteck enthalten, dessen Seiten 2a und 2b sind.

Oder wir haben eine Form dieser Art:

Aber was unterscheidet eine Ellipse von einem Umfang?

Entweder die Exzentrizität oder wieviel die Ellipse hinsichtlich der Achse x oder y zerquetscht ist.

Die Exzentrizität ist also eine Beziehung zwischen der Koordinate der Brennpunkte und der größten Achse der Ellipse.

Wenn der Umfang a=b bzw. C=0, ist die Exzentrizität null.

 [:]

[:it]

Rafal Olbinski

• Il proprietario di una ditta afferma :”Lo stipendio mensile nella nostra ditta è di 2700€”
• il sindacato dei lavoratori dice :”Lo stipendio medio è di 1700€”
• L’agente delle tasse dice che: “Lo stipendio medio è stati di 2200€”

I dati sono ottenuti dalla seguente tabella:

La media aritmetica è di 2.700€

la mediana è di 2.200€

la moda è di 1.700€

Chi dei tre ha ragione?[:en]

Rafel Olbinski

• Il proprietario di una ditta afferma :”Lo stipendio mensile nella nostra ditta è di 2700€”
• il sindacato dei lavoratori dice :”Lo stipendio medio è di 1700€”
• L’agente delle tasse dice che: “Lo stipendio medio è stati di 2200€”

I dati sono ottenuti dalla seguente tabella:

La media aritmetica è di 2.700€

la mediana è di 2.200€

la moda è di 1.700€

Chi dei tre ha ragione?[:de]

Rafel Olbinski

• Il proprietario di una ditta afferma :”Lo stipendio mensile nella nostra ditta è di 2700€”
• il sindacato dei lavoratori dice :”Lo stipendio medio è di 1700€”
• L’agente delle tasse dice che: “Lo stipendio medio è stati di 2200€”

I dati sono ottenuti dalla seguente tabella:

La media aritmetica è di 2.700€

la mediana è di 2.200€

la moda è di 1.700€

Chi dei tre ha ragione?[:]

[:it]

Rafal Olbinski

La mediana (Me) è quel dato che divide l’insieme dei dati in due parti uguali.

L’idea che è alla base della mediana è quella di cercare un numero che sia più grande di un 50% delle osservazioni e più piccolo del restante 50%.

Spero con un esempio di chiarire il concetto:

Dati i seguenti valori:

71, 81, 90, 92, 94, 96, 97

Per trovare la mediana devo contare i valori che sono 7:

Il valore che sta esattamente nel mezzo è il 92 infatti esso ha alla sua sinistra 3 valori ed alla sua destra altri 3.

Quindi si deve pensare più che al valore di per sé alla sua posizione.

Per determinare quale valore prendere si prende quel valore che si trova alla posizione:

con n il numero dei valori.

Relazione che vale se il numero di valori è dispari

nel caso dell’esempio il calcolo precedente risulta:

ossia devo prendere il valore che si trova alla posizione 4 che è appunto il 92.

Inserisco questa tabella per chiarire maggiormente il concetto:

Nel caso in cui invece il numero di valori è pari quale valore prendere?

Si prendono i due valori che stanno nella posizione e e si fa la loro media.

Un esempio spero che chiarisca il concetto.

Dati i valori

n=4 che è pari per cui ho:

che corrisponde al valore 10.

che corrisponde al valore 12.

Adesso trovo la media tra questi due valori che è:

La moda è il valore che si presenta con maggiore frequenza.

Ad esempio dati i seguenti valori:

5,6,7,7,8.

La moda risulta 7 in quanto è il valore che si presenta con maggior frequenza.[:en]

Rafel Olbinski

La mediana (Me) è quel dato che divide l’insieme dei dati in due parti uguali.

L’idea che è alla base della mediana è quella di cercare un numero che sia più grande di un 50% delle osservazioni e più piccolo del restante 50%.

Spero con un esempio di chiarire il concetto:

Dati i seguenti valori:

71, 81, 90, 92, 94, 96, 97

Per trovare la mediana devo contare i valori che sono 7:

Il valore che sta esattamente nel mezzo è il 92 infatti esso ha alla sua sinistra 3 valori ed alla sua destra altri 3.

Quindi si deve pensare più che al valore di per sé alla sua posizione.

Per determinare quale valore prendere si prende quel valore che si trova alla posizione:

con n il numero dei valori.

Relazione che vale se il numero di valori è dispari

nel caso dell’esempio il calcolo precedente risulta:

ossia devo prendere il calore che si trova alla posizione 4 che è appunto il 92.

Inserisco questa tabella per chiarire maggiormente il concetto:

Nel caso in cui invece il numero di valori è pari quale valore prendere?

Si prendono i due valori che stanno nella posizione e e si fa la loro media.

Un esempio spero che chiarisca il concetto.

Dati i valori

n=4 che è pari per cui ho:

che corrisponde al valore 10.

che corrisponde al valore 12.

Adesso trovo la media tra questi due valori che è:

La moda è il valore che si presenta con maggiore frequenza.

Ad esempio dati i seguenti valori:

5,6,7,7,8.

La moda risulta 7 in quanto è il valore che si presenta con maggior frequenza.[:de]

Rafel Olbinski

La mediana (Me) è quel dato che divide l’insieme dei dati in due parti uguali.

L’idea che è alla base della mediana è quella di cercare un numero che sia più grande di un 50% delle osservazioni e più piccolo del restante 50%.

Spero con un esempio di chiarire il concetto:

Dati i seguenti valori:

71, 81, 90, 92, 94, 96, 97

Per trovare la mediana devo contare i valori che sono 7:

Il valore che sta esattamente nel mezzo è il 92 infatti esso ha alla sua sinistra 3 valori ed alla sua destra altri 3.

Quindi si deve pensare più che al valore di per sé alla sua posizione.

Per determinare quale valore prendere si prende quel valore che si trova alla posizione:

con n il numero dei valori.

Relazione che vale se il numero di valori è dispari

nel caso dell’esempio il calcolo precedente risulta:

ossia devo prendere il calore che si trova alla posizione 4 che è appunto il 92.

Inserisco questa tabella per chiarire maggiormente il concetto:

Nel caso in cui invece il numero di valori è pari quale valore prendere?

Si prendono i due valori che stanno nella posizione e e si fa la loro media.

Un esempio spero che chiarisca il concetto.

Dati i valori

n=4 che è pari per cui ho:

che corrisponde al valore 10.

che corrisponde al valore 12.

Adesso trovo la media tra questi due valori che è:

La moda è il valore che si presenta con maggiore frequenza.

Ad esempio dati i seguenti valori:

5,6,7,7,8.

La moda risulta 7 in quanto è il valore che si presenta con maggior frequenza.[:]

[:it]

Rafal Olbinski

Razionalizzare significa quindi togliere la radice dal denominatore trovando chiaramente una frazione equivalente.

Tale operazione viene usata molto spesso nel trovare la soluzione delle equazioni di secondi grado e nello studio di funzioni polinomiali o nelle funzioni trigonometriche.

La parte più importante dei radicali è proprio la razionalizzazione che poi è una diretta conseguenza delle proprietà delle potenze.

Inserisco adesso degli esercizi suddivisi per livello.

Per un livello sufficiente (6):

6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
6.11.
6.12.

[:en]

Rafel Olbinski

Razionalizzare significa quindi togliere la radice dal denominatore trovando chiaramente una frazione equivalente.

Tale operazione viene usata molto spesso nel trovare la soluzione delle equazioni di secondi grado e nello studio di funzioni polinomiali o nelle funzioni trigonometriche.

La parte più importante dei radicali è proprio la razionalizzazione che poi è una diretta conseguenza delle proprietà delle potenze.

Inserisco adesso degli esercizi suddivisi per livello.

Per un livello sufficiente (6):

6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
6.11.
6.12.

[:de]

Rafel Olbinski

Razionalizzare significa quindi togliere la radice dal denominatore trovando chiaramente una frazione equivalente.

Tale operazione viene usata molto spesso nel trovare la soluzione delle equazioni di secondi grado e nello studio di funzioni polinomiali o nelle funzioni trigonometriche.

La parte più importante dei radicali è proprio la razionalizzazione che poi è una diretta conseguenza delle proprietà delle potenze.

Inserisco adesso degli esercizi suddivisi per livello.

Per un livello sufficiente (6):

6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
6.11.
6.12.

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Jim Warren

Razionalizzare significa trasformare una frazione in un’altra, ad essa equivalente, senza radicali o al numeratore o al denominatore.

Comunemente si parla di razionalizzazione quando non vi è un radicale al denominatore.

Questa trasformazione si effettua moltiplicando opportunamente sia il numeratore sia il denominatore della frazione per un fattore, diverso da zero, con un’opportuna radice.

Eccone un esempio:

non si vuole avere al denominatore.

Per ottenere il risultato si moltiplica al numeratore ed al denominatore

e si ottiene:

e conseguentemente sapendo che:

quella di partenza diventa:

[:it]

Jim Warren

Se un numero o una lettera moltiplica una radice e si vuole raggruppare tutto il segno della radice si deve tener conto della seguente relazione:

Utilizzando la relazione precedente sviluppare adesso i seguenti esercizi suddivisi per livello.

Teoria

Per un livello sufficiente (6):

6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.

Per un livello discreto (7):

7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.

Per un buon livello (8):

8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
8.8.

Per un livello quasi ottimo (9)

[:en]

Jim Warren

Se un numero o una lettera moltiplica una radice e si vuole raggruppare tutto il segno della radice si deve tener conto della seguente relazione:

Utilizzando la relazione precedente sviluppare adesso i seguenti esercizi suddivisi per livello

Per un livello sufficiente (6):

6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.

Per un livello discreto (7):

7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.

Per un buon livello (8):

8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
8.8.

Per un livello quasi ottimo (9)

[:de]

Jim Warren

Se un numero o una lettera moltiplica una radice e si vuole raggruppare tutto il segno della radice si deve tener conto della seguente relazione:

Utilizzando la relazione precedente sviluppare adesso i seguenti esercizi suddivisi per livello

Per un livello sufficiente (6):

6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.

Per un livello discreto (7):

7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.

Per un buon livello (8):

8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
8.8.

Per un livello quasi ottimo (9)

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Vladimir Kush

Per sviluppare questi esercizi ricordo questi tre teoremi:

2.

3.

Esercizi per un livello sufficiente (6):

6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
6.11.
6.12.
6.12.
6.13.

Esercizi per un livello discreto (7):

7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.

Esercizi per un buon livello

8.1.
8.2.
8.3.

Esercizi per un livello quasi ottimo (9)

9.1.
9.2.

Per un livello ottimo (10)

10.1.
10.2.

Jim Warren

La media aritmetica è quel valore che un evento avrebbe se non esistesse la variabilità.

Nel caso dei voti a scuola, se si prendesse sempre 6 la media sarebbe 6 ma essendoci la variabilità ossia anche altri voti non è detto che la media alla fine risulti 6.

Dal punto di vista aritmetico si calcola la media nella seguente maniera:

dove sono  gli eventi e è il numero di eventi.

Riprendendo l’esempio dei voti a scuola.

Alla fine di un anno scolastico si hanno i seguenti voti:

6,7,8.

La media risulta:

Nel caso in cui avessi i seguenti voti:

si prendono quattro 6, tre 7, cinque 8, e devo calcolare la media.

Si usa la media ponderata o pesata che tiene conto del numero di volte in cui è capitato l’evento.