SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

Jacek Yerka

Un paradosso è una frase o un pensiero logico che sembra in contraddizione con il pensiero comune.

Il paradosso più conosciuto è quello di Zenone (filosofo greco del V secolo a.C.)

Eccolo:

Se Achille (detto “pie’ veloce”) venisse sfidato da una tartaruga nella corsa e concedesse alla tartaruga un piede di vantaggio, egli non riuscirebbe mai a raggiungerla, dato che Achille dovrebbe prima raggiungere la posizione occupata precedentemente dalla tartaruga che, nel frattempo, sarà avanzata raggiungendo una nuova posizione che la farà essere ancora in vantaggio; quando poi Achille raggiungerà quella posizione nuovamente la tartaruga sarà avanzata precedendolo ancora. Questo stesso discorso si può ripetere per tutte le posizioni successivamente occupate dalla tartaruga e così la distanza tra Achille e la lenta tartaruga pur riducendosi verso l’infinitamente piccolo non arriverà mai ad essere pari a zero.

Per meglio capire il paradosso si osservi la seguente figura:

Ossia si consideri che:

• Achille vada ad una velocità doppia di quella della tartaruga
• la tartaruga parta con mezzo metro di vantaggio rispetto Achille.
• che si cerchi di capire se entrambi raggiungono il metro da percorrere.

Si può dimostrare che Zenone sbagliava in due maniere:

• attraverso le nozioni fisica ed in particolare utilizzando la descrizione del moto rettilineo uniforme
• attraverso la convergenza della serie numerica.

Dimostrazione mediante la convergenza della serie numerica.

• la tartaruga andando ad una velocità che è metà di quella di Achille percorre sempre metà spazio rispetto a quella che percorre Achille.

Achille all’inizio percorre:

la tartaruga intanto, nello stesso tempo, si è spostata percorrendo:

Achille arriva al punto della tartaruga precedente mentre la tartaruga ha percorso

questo perché la tartaruga percorre sempre la metà del percorso fatto da Achille.

Si ha quindi la seguente tabella che schematizza la strada di Achille e quella della tartaruga:

Achille	Tartaruga
Tempo 0                                 0
Tempo 1
Tempo 2

Quindi per Achille si ha la seguente serie numerica:

che si può dimostrare che tende ad 1!

analogamente la formula precedente descrive la strada percorsa dalla tartaruga che anch’essa converge ad 1.

Quindi l’errore di Zenone è quello di non considerare che la somma infinita di cifre più piccole di 1 converge ad 1! E quindi Achille raggiunge la tartaruga.

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Jacek Yerka

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Giuseppe Muscio

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La definizione formale di dominio di una funzione è:

insieme dei valori possibili che la variabile indipendente x può assumere, in modo che la funzione sia definita in tali valori.

In molti anni che insegno ho adottato questa definizione:

insieme dei valori di x per i quali posso DISEGNARE la funzione.

Questa definizione, indubbiamente molto spartana, mi ha consentito di poter far capire perché dal dominio devono essere esclusi quei punti in cui la funzione presenta un asintoto.

Infatti se si pensa, l’infinito non si può disegnare e quando una funzione tende all’infinito per un particolare punto, non può essere disegnata per cui tale punto deve essere  escluso dal dominio stesso!

Ecco i domini delle funzioni più comuni:

Funzione polinomiale

La retta è una funzione polinomiale y=3x+5 il cui grafico è:

si nota dal grafico che il disegno esiste per ogni valore di x e si scrive:

La parabola è una funzione polinomiale:

il cui grafico è:

ed il dominio è:

Generalizzando

tutte le funzioni del tipo:

hanno dominio:

Funzione frazionaria

Ecco il grafico di una funzione frazionaria:si noti subito che nell’intorno del numero 3 la funzione si avvicina sempre più al 3 (asintoto verticale) senza mai toccarlo.

La funzione frazionaria ha al numeratore un polinomio ed al denominatore un altro polinomio.

Il grafico precedente ha equazione:

e per determinare il dominio devo escludere i valori che annullano il denominatore ossia risolvere questa diseguaglianza:

ossia

il dominio diventa:

generalizzando:

Si devono trovare i valori che annullano il denominatore.

Se

i valori che annullano il denominatore sono:

il dominio diventa quindi:

Funzione irrazionale

Ecco la rappresentazione sul piano cartesiano di una funzione irrazionale:

essa ha come equazione:

per studiare il dominio bisogna porre l’argomento della radice quadrata sempre strettamente maggiore di zero.

Ossia

Il dominio diventa:

generalizzando; data la funzione:

con n pari, bisogna studiare il segno dell’argomento ossia porre:

il dominio diventa quindi:

Funzione esponenziale

Ecco la rappresentazione grafica di una funzione esponenziale:

la cui equazione è:

il cui dominio coincide con le funzioni polinomiali ossia:

generalizzando:

con

A(x) una funzione polinomiale

Si ha quindi sempre come dominio:

Funzione logaritmica

Ecco il grafico:

che ha equazione:

e per determinare il suo dominio devo prendere l’argomento e porlo maggiore di 0:

Quindi il dominio si scrive:

generalizzando:

bisogna porre sempre l’argomento maggiore di zero (non anche uguale a zero perché in 0 il logaritmo ha un asintoto verticale).

Combinazione delle funzioni precedenti

Per studiare il dominio dato dalla combinazione di una delle precedenti funzioni bisogna impostare un sistema di disequazioni o diseguaglianze e come soluzione si ha quell’insieme di valori che vanno bene a tutti.