SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

Soluzione esercizi sulla circonferenza

Pubblicato il 9 Febbraio 2016 da admin

6.1.1. Data la seguente equazione $x^2+y^{2}-2x-2y-2=0$ posso identificare $a=-2$ , $b=-2$ e $c=-2$ .

$-\cfrac{a}{2}=-\cfrac{-2}{2}=1$

$-\cfrac{b}{2}=-\cfrac{-2}{2}=1$

quindi il centro ha equazione:

$C(1;1)$

$r=\sqrt{\left(-\cfrac{a}{2}\right )^{2}+\left(-\cfrac{b}{2}\right )^{2}-c}=\sqrt{1+1+2}=\sqrt{4}=2$

A questo punto per rappresentare la circonferenza sul piano cartesiano fisso prima il centro e poi posso usare il raggio.

Posso inoltre determinare le intersezioni con gli assi impostando i seguenti due sistemi:

Per le intersezioni con l’asse delle y

$\left\{\begin{matrix} x=0\\ x^2+y^{2}-2x-2y-2=0 \end{matrix}\right.$

Per le intersezioni con l’asse delle x

$\left\{\begin{matrix} y=0\\ x^2+y^{2}-2x-2y-2=0 \end{matrix}\right.$

il primo sistema comporta il risolvere l’equazione:

$y^{2}-2y-2=0$

(equazioni di secondo grado) le cui soluzioni sono:

$y_{1,2}=1\pm \sqrt{3}$

il secondo sistema comporta il risolvere l’equazione:

$x^{2}-2x-2=0$

le cui soluzioni sono:

$x_{1,2}=1\pm \sqrt{3}$

Il grafico risulta quindi:

circo

6.2.1. Dati $C\left ( 1;1 \right ); r=2$ trovare l’equazione della circonferenza.

Si parte questa volta da questa forma della circonferenza:

$\left( x-\alpha\right )^{2}+\left (y-\beta\right )^{2}=r^{2}$

in cui $\alpha$ e $\beta$ sono le coordinate del centro ed $r$ è il valore del raggio.

Sostituendo quindi i dati del problema si ha:

$\left( x-1 )^{2}+\left (y-1 )^{2}=2^{2}$

sviluppando i prodotti notevoli ho:

$x^{2}-2x+1+y^{2}-2y+1=4$

riordino l’equazione:

$x^{2}+y^{2}-2x-2y+2-4=0$

$x^{2}+y^{2}-2x-2y-2=0$

che è la richiesta del problema

7.3.

Dato il centro ed un punto $C\left ( -2;0 \right ); P\left ( 1;-1 \right )$ per determinare l’equazione della circonferenza calcolo la distanza tra il centro C ed il punto P che rappresenta il raggio.

$r=\sqrt{\left ( -2-1 \right )^2+\left ( 0+1 \right )^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$

Adesso utilizzo la formula dato il centro ed il raggio che applicata diventa:

$\left ( x+2 \right )^2+\left ( y-0 \right )^2=\left ( \sqrt{10} \right )^2$

sviluppo le parentesi:

$x^2+4x+4+y^2=10$

$x^2+y^2+4x-6=0$

8.1. Equazione della circonferenza di diametro A e B.

$A\left ( -2,0 \right );B\left ( 4,2 \right )$

il punto medio è il centro della circonferenza e quindi risulta:

$C_{x}=\cfrac{-2+4}{2}=1$

$C_{y}=\cfrac{0+2}{2}=1$

quindi il centro risulta:

$C\left ( 1,1 \right )$

Adesso calcolo la distanza tra A e B ed il risultato lo divido per 2 e trovo il raggio.

$r=\cfrac{\sqrt{\left ( 4+2 \right )^2+\left ( 2-0 \right )^2}}{2}=\cfrac{\sqrt{\left ( 6\right )^2+\left ( 2)^2}}{2}=\cfrac{\sqrt{36+4}}{2}=\cfrac{\sqrt{40}}{2}$

Adesso uso la formula che permette di ricavare l’equazione della circonferenza dato il centro ed il raggio.

$\left ( x-1 \right )^2+\left ( y-1 \right )^2=\left ( \cfrac{\sqrt{40}}{2} \right )^2$

sviluppo le parentesi ed ho:

$x^2-2x+1+y^2-2y+1=\cfrac{40}{4}$

ordino i termini e sommo quelli simili:

$x^2+y^2-2x-2y-8=0$

9.1. Dati i seguenti tre punti calcolare l’equazione della circonferenza.

$A\left ( -1,0 \right ); B\left ( 2,0 \right ); C\left ( 1,1 \right )$

Si deve partire dal fatto che per verificare che un punto appartenga ad una funzione deve valere l’identità ossia se sostituisco le coordinate di un punto nell’equazione generica della circonferenza $x^2+y^2+ax+by+c=0$ devo trovare un’identità.

Sostituisco le coordinate di A:

$(-1)^2+(0)^2+(-1)\cdot a+(0)\cdot b+c=0$

$1-a+c=0$

Sostituisco le coordinate di B:

$(2)^2+(0)^2+(2)\cdot a+(0)\cdot b+c=0$

$4+2a+c=0$

Sostituisco le coordinate di C:

$(1)^2+(1)^2+(1)\cdot a+(1)\cdot b+c=0$

$1+1+a+b+c=0$

$2+a+b+c=0$

Ho tre equazioni in tre incognite e devo saper risolvere un sistema a tre equazioni in tre incognite.

Se si dovesse avere difficoltà nel risolvere il sistema d’equazioni andare a rivedersi il post:

sistemi d’equazione metodo della sostituzione

$\left\{\begin{matrix} 1-a+c=0\\4+2a+c=0 \\ 2+a+b+c=0 \end{matrix}\right.$

utilizzo appunto il metodo della sostituzione andando a sostituire il valore di c nella seconda e nella terza equazione.

$\left\{\begin{matrix} c=a-1\\4+2a+a-1=0 \\ 2+a+b+a-1=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} c=a-1\\3a+3=0 \\ 2a+b+1=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} c=a-1\\a=-1 \\ -2+b+1=0 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} c=a-1\\a=-1 \\ b=1 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} c=-2\\a=-1 \\ b=1 \end{matrix}\right.$

Adesso sostituisco i valori trovati nell’equazione generica della circonferenza:

$x^2+y^2-x+y-2=0$

che è il risultato voluto.

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Esercizi sulla circonferenza

Pubblicato il 9 Febbraio 2016 da admin

thDZ4K6XIM Gli esercizi sulla circonferenza sono normalmente di questo tipo:

data l’equazione della circonferenza determinare il centro ed il raggio e farne la sua rappresentazione sul piano cartesiano con le relative intersezioni.
dato il centro ed un punto appartenente alla circonferenza, trovare l’equazione della circonferenza
dati tre punti appartenenti alla circonferenza trovare la relativa equazione
data una retta ed una circonferenza, stabilire la loro posizione reciproca
dato un punto trovare la retta passante per questo punto e tangente alla circonferenza

Esercizi elementari (6) di tipo 1: determinazione centro e raggio e relativo disegno

6.1.1. $x^2+y^{2}-2x-2y-2=0$	$\left [ C\left ( 1;1 \right ); r=2 \right ]$
6.1.2 $x^{2}+y^{2}-10x-10y+49=0$	$\left [ C(5;5);r=1 \right ]$
6.1.3. $x^2+y^2-4x+4y-1=0$	$\left [ C\left ( 2;-2 \right );r=3 \right ]$
6.1.4. $x^2+y^2=8$	$\left [ C\left( 0;0 \right );r=2\sqrt{2} \right ]$
6.1.5. $x^2+y^2=1$	$\left [ C\left \left (0;0 \right ) \right ;r=1\right ]$

Esercizi elementari (6) di tipo 2: determinazione dell’equazione della circonferenza dato il centro ed il raggio

6.2.1. $C\left ( 1;1 \right ); r=2$	$\left [ x^2+y^{2}-2x-2y-2=0\right ]$
6.2.2. $\left C(5;5);r=1$	$\left [ x^{2}+y^{2}-10x-10y+49=0 \right ]$

Esercizi per un livello discreto (7): determinazione centro e raggio e rappresentazione sul piano cartesiano

7.1. $2x^2+2y^2-4x-2y+1=0$	$\left [ C\left ( 1;\cfrac{1}{2} \right );r=\cfrac{\sqrt{3}}{2} \right ]$
7.2. $4x^2+4y^2-4x-8y-11=0$	$\left [ C\left ( \cfrac{1}{2};1 \right );r=2 \right ]$

Determinare l’equazione della circonferenza che ha centro in C e passa per P, e rappresentala graficamente.

Per sviluppare tali esercizi è necessario conoscere la distanza tra due punti

7.3. $C\left ( -2;0 \right );P(1;-1)$	$\left [x^2+y^2+4x-6=0 \right ]$
7.4. $C\left ( 0;-3 \right );P(1;-1)$	$\left [x^2+y^2+6y+4=0 \right ]$
7.5 $C\left ( -3;-3 \right );P(0;0)$	$\left [x^2+y^2+6x+6y=0 \right ]$
7.6. $C\left ( 3;-2 \right );P(0;-2)$	$\left [x^2+y^2-6x+4y+4=0 \right ]$
7.7. $C\left ( 2;5 \right );P(4;-1)$	$\left [x^2+y^2-4x-10y-11=0 \right ]$

Per essere in grado di sviluppare questi esercizi è necessario conoscere come calcolare il punto medio di un segmento.

Esercizi per un buon livello (8): scrivi l’equazione delle circonferenze di diametro AB e rappresentale sul piano

8.1. $A\left ( -2,0 \right );B\left ( 4,2 \right )$	$\left [ x^2+y^{2}-2x-2y-8=0 \right ]$
8.2. $A\left (0,4 \right );B\left ( 2,-2 \right )$	$\left [ x^2+y^{2}-2x-2y-8=0 \right ]$
8.3. $A\left ( -2,3 \right );B\left ( 2,5 \right )$	$\left [ x^2+y^{2}-8y+11=0 \right ]$
8.4. $A\left ( 1,-3 \right );B\left ( 4,-1 \right )$	$\left [ x^2+y^{2}-5x+4y+7=0 \right ]$
8.5. $A\left (2,-3 \right );B\left ( -6,5 \right )$	$\left [ x^2+y^{2}+4x-2y-27=0 \right ]$

Esercizi per un livello che dimostra una certa sicurezza nell’operare (9-10).

Quello che serve conoscere è la condizione di appartenenza di un punto ad una funzione e sape risolvere un sistema di tre equazioni in tre incognite.

Scrivi l’equazione della circonferenza passante per i punti A, B, C e rappresentala graficamente.

9.1. $A\left ( -1,0 \right ); B\left ( 2,0 \right ); C\left ( 1,1 \right )$	$\left [ x^2+y^2-x+y-2=0 \right ]$
9.2. $A\left ( -1,1 \right ); B\left ( 2,2 \right ); C\left ( 0,-2 \right )$	$\left [ x^2+y^2-2x-4=0 \right ]$
9.3. $A\left ( 0,0 \right ); B\left ( 3,0 \right ); C\left (2,-2 \right )$	$\left [ x^2+y^2-3x-3y=0 \right ]$
9.4. $A\left ( -1,2 \right ); B\left ( 1,0 \right ); C\left ( 2,2 \right )$	$\left [ x^2+y^2-x-3y=0 \right ]$
9.5. $A\left ( -1,0 \right ); B\left ( 3,0 \right ); C\left ( 0,1 \right )$	$\left [ x^2+y^2-2x+2y-3=0 \right ]$
9.6. $A\left ( -2,0 \right ); B\left ( 2,4 \right ); C\left ( 2,0 \right )$	$\left [ x^2+y^2-4y-4=0 \right ]$

Questi esercizi sono utili per verificare la capacità di saper risolvere un sistema d’equazione.

Per avere un’ottima manualità (10)

Determinare la posizione reciproca della retta e della circonferenza e determinare gli eventuali punti d’intersezione

10.1 $x^2+y^2-4x-2y=0$ e $x-4=0$	$\left [ secante:\left ( 4,0 \right ),(4,2) \right ]$
10.2. $x^2+y^2-8x+10y+25=0$ e $y+9=0$	$\left [ tangente;\left ( 4,-9 \right )\right ]$
10.3. $x^2+y^2+4x-2y=0$ e $x+3y+4=0$	$\left [ secante;\left ( -4,0 \right )\right;\left ( -1;-1 \right ) ]$
10.4. $x^2+y^2-6x-4y+4=0$ e $x-y-4=0$	$\left [ secante;\left ( 3,-1 \right )\right;\left (6;2 \right ) ]$
10.5. $x^2+y^2-50=0$ e $3x+4y+40=0$	$\left [ esterna \right ]$
10.6. $x^2+y^2-6x-16y+60=0$ e $3x-2y-6=0$	$\left [ tangente: \left ( 6,6 \right ) \right ]$

Problemi che mettono in evidenza le competenze:

C1. Scrivi l’equazione della circonferenza che ha centro in (-1;3) ed è tangente all’asse y.

$\left [ x^2+y^2+2x-6y+9=0 \right ]$

C2. Determina l’equazione della circonferenza ce ha centro nell’origine ed è tangente alla retta di equazione $x+2y-5=0$

$\left [ x^2+y^2=5 \right ]$

C3. Scrivi l’equazione della circonferenza avente il centro di ordinata uguale a 3 e passante per i punti A(8;9) e B(12;1).

$\left [ x^2+y^2-12x-6y+5=0 \right ]$

Alcuni esercizi risolti

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[:it]La circonferenza[:en]La circonferenza[:de]Der Umfang[:]

Pubblicato il 8 Febbraio 2016 da admin

[:it]

Jacek Yerka

La circonferenza è quel luogo del piano descritto da tutti quei punti equidistanti da un punto C chiamato centro.

Si forniscono normalmente queste due equazioni che sono equivalenti ma applicabili in ambiti diversi a seconda dei dati che si forniscono o di cosa si deve trovare.

Prima forma

$x^{2}+y^{2}+a\cdot x+b\cdot y+c=0$

in questo caso le coordinate del centro in funzione di a e b sono:

$C\left ( -\cfrac{a}{2};-\cfrac{b}{2} \right )$

ed il raggio è:

$r=\sqrt{\left(-\cfrac{a}{2}\right )^{2}+\left(-\cfrac{b}{2}\right )^{2}-c}$

Seconda forma

$\left( x-\alpha\right )^{2}+\left (y-\beta\right )^{2}=r^{2}$

le cui coordinate del centro sono:

$C\left (\alpha ;\beta\right )$

ed il raggio è appunto

$r$

[:en]

Jacek Yerka

La circonferenza è quel luogo del piano descritto da tutti quei punti equidistanti da un punto C chiamato centro.

Si forniscono normalmente queste due equazioni che sono equivalenti ma applicabili in ambiti diversi a seconda dei dati che si forniscono o di cosa si deve trovare.

Prima forma

$x^{2}+y^{2}+a\cdot x+b\cdot y+c=0$

in questo caso le coordinate del centro in funzione di a e b sono:

$C\left ( -\cfrac{a}{2};-\cfrac{b}{2} \right )$

ed il raggio è:

$r=\sqrt{\left(-\cfrac{a}{2}\right )^{2}+\left(-\cfrac{b}{2}\right )^{2}-c}$

Seconda forma

$\left( x-\alpha\right )^{2}+\left (y-\beta\right )^{2}=r^{2}$

le cui coordinate del centro sono:

$C\left (\alpha ;\beta\right )$

ed il raggio è appunto

$r$

[:de]

Jacek Jerka

Der Umfang ist der Ort der Ebene, der von all diesen Punkten von einem Punkt gleich weit entfernt ist und C genannt wird.

In der Regel werden diese beiden Gleichungen geliefert, die gleichwertig sind, aber in verschiedenen Bereichen in Abhängigkeit der angegebenen Daten anwendbar sind oder von dem, was gesucht wird, abhängig sind.

Erste Form

$x^{2}+y^{2}+a\cdot x+b\cdot y+c=0$

In diesem Fall sind die Koordinaten der Mitte in Funktion von a und b folgende :

$C\left ( -\cfrac{a}{2};-\cfrac{b}{2} \right )$

und der Radius ist :

$r=\sqrt{\left(-\cfrac{a}{2}\right )^{2}+\left(-\cfrac{b}{2}\right )^{2}-c}$

Zweite Form

$\left( x-\alpha\right )^{2}+\left (y-\beta\right )^{2}=r^{2}$

Die Koordinaten der Mitte sind:

$C\left (\alpha ;\beta\right )$

und der Radius ist demzufolge

$r$ [:]

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Le disequazioni di secondo grado

Pubblicato il 8 Febbraio 2016 da admin

7a57b6bc00f7bac49f5beffef3b37465 Le disequazioni di secondo grado possono essere risolte o applicando la scomposizione del polinomio di secondo grado o attraverso il metodo grafico o della parabola.

Scomposizione del polinomio di secondo grado

un polinomio di secondo grado può sempre essere scritto come:

$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$

dove

$x_{1},x_{2}$

sono le soluzioni dell’equazione

$ax^{2}+bx+c=0$

quindi si studia il grafico per determinare il segno finale della disequazione:

$ax^{2}+bx+c\geq 0$

o della disequazione:

$ax^{2}+bx+c\leq 0$

Unica avvertenza studiare SEMPRE

$\left ( x-x_{1} \right )\geq 0$

$\left ( x-x_{2} \right )\geq 0$

ed il segno di a

Con questi esempi spero di chiarire la cosa:

Es1.

$x^{2}-5x+6>0$

risolvo l’equazione:

$x^{2}-5x+6=0$

essa ha soluzione:

$x_{1}=2,x_{2}=3$

e la

a=1

Studio il segno di

$(x-2)>0\Rightarrow x>2$

$(x-3)>0\Rightarrow x>3$

Rappresento graficamente la soluzione evidenziando che essendo un prodotto verifico dove il prodotto fornisce il segno positivo.

disequazione Si noti che la a=1 e quindi la si rappresenta con una linea continua.

La soluzione è

$x<2;x>3$

Es2.

$x^{2}-5x+6<0$

risolvo l’equazione:

$x^{2}-5x+6=0$

essa ha soluzione:

$x_{1}=2,x_{2}=3$

e la

a=1

Studio il segno di

$(x-2)>0\Rightarrow x>2$

$(x-3)>0\Rightarrow x>3$

Si NOTA che si studia comunque il segno maggiore di zero!

Rappresento graficamente la soluzione evidenziando che essendo un prodotto verifico dove il prodotto fornisce il segno Negativo questa volta

disequazione

La soluzione, questa volta è:

$2<x<3$

Es3.

$-x^{2}+5x-6>0$

risolvo l’equazione:

$-x^{2}+5x-6=0$

essa ha soluzione:

$x_{1}=2,x_{2}=3$

e la

a=-1

Studio il segno di

$(x-2)>0\Rightarrow x>2$

$(x-3)>0\Rightarrow x>3$

Rappresento graficamente la soluzione evidenziando che essendo un prodotto verifico dove il prodotto fornisce il segno positivo

Si noti che questa volta la a=-1 ossia viene rappresentata con una linea tratteggiata.

disequazione devo studiare dove si ha il segno positivo ed è tra 2 e 3.

$2<x<3$

Metodo grafico

Il metodo grafico è molto semplice, è sufficiente conoscere la rappresentazione di una parabola e le sue intersezioni con l’asse delle x che sono le soluzioni della relativa equazione di secondo grado.

Es1.

$x^{2}-5x+6>0$

risolvo l’equazione:

$x^{2}-5x+6=0$

essa ha soluzione:

$x_{1}=2,x_{2}=3$

e la

a=1

la rappresentazione sul piano cartesiano è:

parabola

Si noti subito che la parabola è sopra l’asse delle x per quei valori per cui:

$x<2;x>3$ .

Es2.

Nel secondo esempio si deve studiare:

$x^{2}-5x+6<0$

Il procedimento è uguale all’esempio precedente ed il grafico pure:

parabola ma questa volta si vuole saper dov’è minore di zero:

$2<x<3$ .

Es3.

$-x^{2}+5x-6>0$

in questo caso le soluzioni sono sempre le stesse ma il grafico è:

parabola2 e dov’è maggiore di zero?

$2<x<3$

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Soluzioni sulle disequazioni

Pubblicato il 8 Febbraio 2016 da admin

6.1.

surrealismo-rostros-con-frutas-oleos $4x+7<2x-9$

Raccolgo le x a sinistra del verso della disequazione e i numeri a destra.

Per fare questo sommo a sinistra e destra

-7
-2x

$-2x-7+4x+7<2x-9-2x-7$ .

$-2x-\not{7}+4x+\not{7}<\not{2x}-9-\not{2x}-7$ .

$-2x+4x<-9-7$ .

$2x<-16$

Vale sempre il fatto che il numero che moltiplica la x debba essere l’1 per cui divido a destra e a sinistra per 2

$\cfrac{1}{2}\cdot 2x<-16\cdot \cfrac{1}{2}$

la soluzione è:

$x<-8$

Bisogna sempre fare la rappresentazione grafica della soluzione:

disequazione 6.2.

$8-5x>2x-20$ .

$-5x-2x>-20-8$ .

$-7x>-28$ .

Siccome il coefficiente della x è negativo cambio di segno moltiplicando per -1 a sinistra e a destra e cambio il verso della disequazione.

$7x<28$ .

$\cfrac{1}{7}\cdot 7x<28\cdot \cfrac{1}{7}$ .

$x<4$

disequazione

7.1.

Primo metodo

$2x-\cfrac{1}{2}>5x-1$

in questo semplice caso si potrebbe direttamente raggruppare le x a sinistra del verso e i numeri a destra:

$2x-5x> \cfrac{1}{2}-1$

$-3x> -\cfrac{1}{2}$

cambio il verso della disequazione:

$3x< \cfrac{1}{2}$

quindi divido a sinistra e a destra per 3 ed ho:

$\cfrac{1}{3}\cdot 3x< \cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{1}{3}$

$\cfrac{1}{\not{3}}\cdot \not{3}x< \cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{1}{3}$

$x< \cfrac{1}{6}$

Secondo metodo

$2x-\cfrac{1}{2}>5x-1$

Faccio il minimo comune multiplo a sinistra e a destra:

$\cfrac{4x-1}{2}>\cfrac{10x-2}{2}$

moltiplico per 2 a sinistra e a destra:

$2\cdot \cfrac{4x-1}{2}>\cfrac{10x-2}{2}\cdot 2$

$\not{2}\cdot \cfrac{4x-1}{\not{2}}>\cfrac{10x-2}{\not{2}}\cdot \not{2}$

$4x-10x>-2+1$

$-6x>-1$

moltiplico per -1 a sinistra e a destra cambiando il verso della disequazione

$6x<1$

$\cfrac{1}{6}\cdot 6x<1\cdot \cfrac{1}{6}$

$\cfrac{1}{\not{6}}\cdot \not{6}x<1\cdot \cfrac{1}{6}$

e quindi

$x< \cfrac{1}{6}$

Graficamente è:

Immagine 7.2.

$\cfrac{x-1}{2}-1>-x$

minimo comune multiplo

$\cfrac{x-1-2}{2}>-\cfrac{2x}{2}$

$x-1-2>-2x$

$2x+x>1+2$

$3x>3$

$\cfrac{1}{3}\cdot 3x>3\cdot \cfrac{1}{3}$

$\cfrac{1}{\not{3}}\cdot \not{3}x>\not{3}\cdot \cfrac{1}{\not{3}}$

la soluzione è:

$x>1$

Graficamente

Immagine2 8.1.

$\left ( x-1 \right )^{2}+9x\left ( x-1 \right )>x^{2}-4x+4-\left ( 1+3x \right )\left ( 1-3x \right )$

Per essere in grado di affrontare agevolmente questa è necessario ricordarsi bene i prodotti notevoli.

La prima parentesi è il quadrato della differenza di un binomio, mentre l’ultima parentesi e la differenza del quadrato di un binomio.

$x^2-2x+1+9x^2-9x>x^2-4x+4-\left ( 1-9x^2 \right )$

Si noti come l’ultima parentesi l’ho tenuta in quanto vi è il simbolo – che modifica il segno di tutti i monomi presenti all’interno della parentesi.

$x^2-2x+1+9x^2-9x>x^2-4x+4-1+9x^2$

$\not{x^2}-2x+1+\not{9x^2}-9x>\not{x^2}-4x+4-1+\not{9x^2}$

$-2x+1-9x>-4x+4-1$

$-2x-9x+4x>+4-1-1$

$-7x>2$

$7x<-2$

$\cfrac{1}{7}\cdot 7x<-2\cdot \cfrac{1}{7}$

$\cfrac{1}{\not{7}}\cdot \not{7}x<-2\cdot \cfrac{1}{7}$

e la soluzione diventa:

$x<-\cfrac{2}{7}$

Graficamente si ha:

Immagine3

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Esercizi sui massimi e minimi

Pubblicato il 6 Febbraio 2016 da admin

Jim Warren

Per determinare i massimi o i minimi di una funzione si deve:

come premessa sempre prima determinare il dominio della funzione perché potrebbe capitare di trovare un massimo o un minimo ed essere escluso perché all’esterno del dominio.

calcolare la derivata prima
porre a zero la derivata prima per trovare i punti stazionari.
studiare il segno della derivata prima
se la derivata prima è negativa la funzione è decrescente altrimenti crescente
determinati i punti di minimo o massimo si sostituiscono nella funzione di partenza e NON nella derivata prima (ovviamente perché se si facesse di troverebbe 0!) e si trova la relativa ordinata.

Esercizi per un livello base:

6.1. $y=x^3-3x^2+1$	$\left [ x_{M}=0;x_{m}=2 \right ]$
6.2. $y=\cfrac{x^4}{4}-\cfrac{2}{3}x^{3}$	$\left [ x_{m}=2 \right ]$
6.3. $y=x^{3}-2x^{2}+x-4$	$\left [ x_{m}=1; x_{M}=\cfrac{1}{3}\right ]$
6.4. $y=x^{4}+2x$	$\left [ x_{m}=-\cfrac{1}{\sqrt[3]{2}} \right ]$
6.5. $y=\cfrac{1}{5}x^{5}+\cfrac{1}{3}x^{3}$	nessun punto di max o min
6.6. $y=\cfrac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+3x-2$	$\left [ x_{M}=1;x_{m}=3 \right ]$
6.7. $y=6x^{5}-10x^{3}$	$\left [ x_{M}=-1;x_{m}=1 \right ]$
6.8. $y=\cfrac{x^{4}}{4}-2x^{3}+1$	$\left [ x_{m}=6 \right ]$
6.9. $y=x^{4}+\cfrac{4}{3}x^{3}-4x^{2}-1$	$\left [\left x_{m}=-2;x_{m}=1;x_{M}=0 \right ]$

Esercizi per un livello discreto

7.1. $y=\cfrac{x^3}{3}-x^{2}+x$	nessun punto di max o min
7.2. $y=\cfrac{x^{3}}{\left ( 1-x \right )^{2}}$	$\left [ x_{m}=3 \right ]$
7.3. $y=\cfrac{1}{x^{2}-4}$	$\left [ x_{M}=0 \right ]$
7.4. $y=\cfrac{x^2-x-1}{x^{2}-x+1}$	$\left [ x_{m}=\cfrac{1}{2} \right ]$
7.5. $y=\cfrac{1}{x^{2}+4}$	$\left ( x_{M}=0 \right )$
7.6. $y=\cfrac{2x^{2}}{x-1}$	$\left [ x_{M}=0;x_{m}=2 \right ]$
7.7. $y=\cfrac{1}{x^{2}-3x+2}$	$\left [ x_{M}=\cfrac{3}{2} \right ]$
7.8. $y=\cfrac{x^{2}-3x+1}{2x^{2}-3x+1}$	$\left [ x_{M}=0;x_{m}=\cfrac{2}{3} \right ]$
7.8. $y=\cfrac{-x^{2}+3x}{2x-8}$	$\left [ x_{m}=2;x_{M}=6 \right ]$
7.9. $y=\cfrac{x-3}{\left ( x-2 \right )^{3}}$	$\left [ x_{M}=\cfrac{7}{2} \right ]$
7.10. $y=\cfrac{x^{3}-3x^{2}+4}{x^{2}}$	$\left [ x_{m}=2 \right ]$

Per un livello buono

8.1. $y=x^{3}e^{x}$	$\left [ x_{m}=-3 \right ]$
8.2. $y=\ln x-x$	$\left [ x_{M}=1 \right ]$
8.3. $y=x\ln x$	$\left [ x_{m}=\cfrac{1}{e} \right ]$
8.4. $y=e^{x}-x$	$\left [ x_{m}=0 \right ]$
8.5. $y=\cfrac{x^{3}}{3}e^{-x}$	$\left [ x_{M}= 0\right ]$
8.6. $y=\cfrac{x^{2}-4}{4\left ( x^{2}-1 \right )}$	$\left [ x_{m}=0 \right ]$

Per un livello quasi ottimo

9.1. $y=2x^{2}\ln x$	$\left [ x_{m}=\cfrac{1}{\sqrt{e}} \right ]$
9.2. $y=\sqrt[3]{x^{2}}-x$	$\left [ x_{m}=0-;x_{M}=\cfrac{8}{27} \right ]$
9.3. $y=\sqrt[3]{x^{5}-x^{2}}$	$\left [ x_{M}=0;x_{m}=\cfrac{2}{3} \right ]$
9.4. $y=\sqrt[3]{\left ( x-1 \right )^{2}}$	$\left [ x_{m}=1 \right ]$
9.5. $y=\sqrt[5]{x^{2}}$	$\left [ x_{m}=0 \right ]$
9.6. $y=\cfrac{3}{2}\sqrt[3]{\left ( 1-2x \right ^{2})}$	$\left [ x_{m}=\cfrac{1}{2} \right ]$

Per muoversi con sicurezza

10.1. $y=e^{\frac{2x^{2}}{x-1}}$	$\left [ x_{M=0};x_{m}=2 \right ]$
10.2. $1+\sqrt[3]{\left ( x+3 \right )^{2}}$	$\left [ x_{m}=-3 \right ]$
10.3. $y=2x\sqrt{x+1}$	$\left [ x_{M}=-1;x_{m}=-\cfrac{2}{3} \right ]$
10.4. $y=\ln \cfrac{x-1}{x+3}$	$\left [ x_{m}=-6;x_{M} =-4\right ]$

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Disequazioni lineari- Esercizi

Pubblicato il 5 Febbraio 2016 da admin

[:it]

Catrin-Welz-Stein

Per risolvere una disequazione si richiede soltanto di saper risolvere un’equazione di primo grado, valgono le stesse regole:

il coefficiente che moltiplica la x deve sempre essere positivo
per arrivare al punto precedente si può:
- moltiplicare a sinistra e a destra per la stessa quantità,
- sommare a sinistra e a destra per la stessa quantità
- dividere a sinistra e a destra per la stessa quantità

Ricordarsi che:

il segno “>” significa maggiore,

il segno “<” significa minore.

UNICO AVVERTIMENTO

Se si moltiplica a sinistra e a destra per un numero negativo si cambia il verso

Esercizi di base che riprendono le equazioni di primo grado:

Esercizi di tipo A

Ne sviluppo uno come esempio

$x-3>10$

$x>10+3$

$x>13$

Cosa significa il risultato?

Che tutti i numeri maggiori di 13 fanno sì che la disequazione $x-3>10$ sia effettivamente maggiore di zero.

A.1. $x+5>15$
A.2. $x+7<32$
A.3. $x+3>12$
A.4. $x+2<18$
A.5. $15+x>30$
A.6. $17+x<13$
A.7. $x-5>4$
A.8. $x-6<2$
A.9. $x-7>7$
A.10. $x-15<2$

Esercizi di base di tipo B

Ne sviluppo uno come esempio:

$3\cdot x>5$

divido entrambi i membri per il numero che moltiplica la $x$

$\cfrac{2\cdot x}{2}>\cfrac{3}{2}$

si semplifica il 2 del numeratore con il 2 del denominatore del membro a sinistra dell’uguale.

$\cfrac{\not 2\cdot x}{\not2}>\cfrac{3}{2}$

$x>\cfrac{3}{2}$

B.1. $2\cdot x>3$
B.2. $4 \cdot x<5$
B.3. $6 \cdot x>12$
B.4. $7\cdot x<14$
B.5. $10 \cdot x>20$
B.6. $30 \cdot x<15$
B.7. $8 \cdot x>4$
B.8. $9 \cdot x<18$
B.9. $3 \cdot x>6$
B.10. $14 \cdot x<28$

Esercizi di base di tipo C

Sviluppo un esempio:

$\cfrac{x}{6}>4$

moltiplico entrambi i membri per 6

$\cfrac{x\cdot 6}{6}>4\cdot 6$

quindi semplifico il 6 del numeratore con il 6 del denominatore del membro a sinistra dell’uguale.

$\cfrac{x\cdot \not 6}{\not 6}>4\cdot 6$

il risultato è

$x>24$

C.1. $\cfrac{x}{3}>4$
C.2. $\cfrac{x}{7}<12$
C.3. $\cfrac{x}{2}>8$
C.4. $\cfrac{x}{5}<10$
C.5. $\cfrac{x}{6}>2$
C.6. $\cfrac{x}{4}<9$
C.7. $\cfrac{x}{8}>1$
C.8. $\cfrac{x}{10}<20$
C.9. $\cfrac{x}{12}>2$
C.10. $\cfrac{x}{9}<-2$

Esercizi base di tipo D: cambio del verso della disequazione

Ne sviluppo uno come esempio

$-x-3>10$

$-x>10+3$

$-x>13$

siccome non ha significato indicare come soluzione -x moltiplico a sinistra e a destra per -1 ma DEVO CAMBIARE IL VERSO DELLA DISEQUAZIONE

$-1\cdot \left ( -x \right )<-1\cdot \left (13 \right )$

$x<-13$

D.1. $-x+5>15$
D.2. $-x+7<32$
D.3. $-x+3>12$
D.4. $-x+2<18$
D.5. $15-x>30$
D.6. $17-x<13$
D.7. $-x-5>4$
D.8. $-x-6<2$
D.9. $-x-7>7$
D.10. $-x-15<2$

Livello sufficiente [6].

6.1. $4x+7<2x-9$	$[x<-8]$
6.2. $8-5x>2x-20$	$[x<4]$
6.3. $6(x+2)+3\leq 18$	$\left [ x\leq \cfrac{1}{2} \right ]$
6.4. $4\left ( 3x-1 \right )-4\left ( 1+x \right )>6\left ( x+2 \right )-15$	$\left [ x> \cfrac{5}{2} \right ]$
6.5. $x-3\left ( x+2 \right )\leq 10+4\left ( 1-2x \right )$	$\left [ x\leq \cfrac{10}{3} \right ]$
6.6. $5x+9\left ( 2-x \right )>3\left ( x+1 \right )-4\left ( 2+x \right )-3x$	Ogni valore di x
6.7. $8-2\left ( 3-4x\right )-\left (6x-10\right )\leq 6\left ( 4x+3\right )+8x$	$\left [ x\geq -\cfrac{1}{5} \right ]$
6.8. $4(2x-7)-3x+8\left ( 3-x \right )>9x-4\left ( 3x-1 \right )+20$	nessun valore di x
6.9 $3x-8>0$	$\left [ x>\cfrac{8}{3} \right ]$
6.10. $5x-2<8x+3$	$\left [ x>-\cfrac{5}{3} \right ]$
6.11. $1-3x<2x-6$	$\left [ x>\cfrac{7}{5} \right ]$
6.12. $5x-2>2x+4$	$\left [ x>2\right ]$
6.13. $3x+3>9x-3$	$\left [ x<1 \right ]$
6.14. $18x+9>9x+11$	$\left [ x>\cfrac{2}{9} \right ]$
6.15. $16x+10<17x+6$	$\left [ x>4 \right ]$
6.16. $2x-5<3+2x$	sempre vera
6.17. $7a+1<7a$	nessun valore di a
6.18. $2(9x+5)>3(3x+4)$	$\left [ x>\cfrac{2}{9} \right ]$
6.19. $12(x+1)<17(x-1)+25$	$\left [ x>\cfrac{4}{5} \right ]$
6.20. $6x-(4-x)<8x+(1-2x)$	$\left [ x<5 \right ]$
6.21. $6(x+1) \geq 3(1+2x)$	ogni valore di x
6.22. $6x-12+3(x+2)+2(x+3)<11$	nessun valore di x
6.23. $10(x+1)+2(x+1)<11x+12$	$\left [ x<0 \right ]$

Livello discreto: richiede manualità con le frazioni e lo sviluppo delle parentesi [7]

7.1. $2x-\cfrac{1}{2}>5x-1$	$\left [x<\cfrac{1}{6}\right ]$
7.2. $\cfrac{x-1}{2}-1> -x$	$\left [ x>1 \right ]$
7.3. $3x+\cfrac{3}{2}-x>\cfrac{x+1}{2}$	$\left [ x>-\cfrac{2}{3} \right ]$
7.4. $x+\cfrac{1-x}{3}>2x-1$	$\left [ x<1 \right ]$
7.5. $\cfrac{1}{2}x-2\leq 3x-1$	$x\geq -\cfrac{2}{5}$
7.6. $2x+3>\cfrac{4x-1}{2}$	$\left [ \forall x\in \mathbb{R} \right ]$
7.7. $\cfrac{1}{5}\left ( x-2 \right )-\left [ 1+2x-\left ( x+\cfrac{1}{2} \right ) \right ]\leq 1$	$\left [ x\geq -\cfrac{19}{8} \right ]$
7.8. $3x-1>\cfrac{9x+8}{3}$	nessuna soluzione
7.9. $\cfrac{2x+1}{3}-\cfrac{x-1}{2}<0$	$\left [ x<-5 \right ]$

Verso un livello buono e con una certa sicurezza [8]

8.1. $\left ( x-1 \right )^{2}+9x\left ( x-1 \right )>x^{2}-4x+4-\left ( 1+3x \right )\left ( 1-3x \right )$	$\left [ x<-\cfrac{2}{7} \right ]$
8.2. $\cfrac{\left ( x-1 \right )^{2}}{2}-\left ( \cfrac{x+1}{2} \right )^{2}-1<\cfrac{x^{2}-1}{4}$	$\left [ x>-\frac{1}{3} \right ]$
8.3. $9x+20\geq 2\left [ \cfrac{29}{4}-6\left ( x-1 \right )+9x-\cfrac{9}{4} \right ]$	$\left [ x\geq \cfrac{2}{3} \right ]$
8.4. $\cfrac{\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )}{2}-\cfrac{2x-3}{4}>\cfrac{\left ( 2x+1 \right )\left ( x-3 \right )}{4}$	$\left [ x>-\cfrac{4}{3} \right ]$

Per un livello ottimo [9]

9.1. $\cfrac{x}{\sqrt{2}}+\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-2}>x-\cfrac{1}{2-\sqrt{2}}$	$\left [ x<-\left ( \sqrt{2}+1 \right ) \right ]$
9.2. $\cfrac{\left ( x+\sqrt{2} \right )\left ( \sqrt{2}-x \right )}{4}+\cfrac{x}{3}>\cfrac{2\left ( x+1 \right )-3\left ( 1-2x \right )}{6}-\cfrac{1}{4}x^2$	$\left [ x<\cfrac{2}{3} \right ]$

soluzioni[:en]

Catrin-Welz-Stein

Per risolvere una disequazione si richiede soltanto di saper risolvere un’equazione di primo grado, valgono le stesse regole:

il coefficiente che moltiplica la x deve sempre essere positivo
per arrivare al punto precedente si può:
- moltiplicare a sinistra e a destra per la stessa quantità,
- sommare a sinistra e a destra per la stessa quantità
- dividere a sinistra e a destra per la stessa quantità

UNICO AVVERTIMENTO

Se si moltiplica a sinistra e a destra per un numero negativo si cambia il verso

Livello sufficiente: richiedono di ricordarsi le regole per la soluzione delle equazioni di primo grado.

6.1. $4x+7<2x-9$	$[x<-8]$
6.2. $8-5x>2x-20$	$[x<4]$
6.3. $6(x+2)+3\leq 18$	$\left [ x\leq \cfrac{1}{2} \right ]$
6.4. $4\left ( 3x-1 \right )-4\left ( 1+x \right )>6\left ( x+2 \right )-15$	$\left [ x> \cfrac{5}{2} \right ]$
6.5. $x-3\left ( x+2 \right )\leq 10+4\left ( 1-2x \right )$	$\left [ x\leq \cfrac{10}{3} \right ]$
6.6. $5x+9\left ( 2-x \right )>3\left ( x+1 \right )-4\left ( 2+x \right )-3x$	Ogni valore di x
6.7. $8-2\left ( 3-4x\right )-\left (6x-10\right )\leq 6\left ( 4x+3\right )+8x$	$\left [ x\geq -\cfrac{1}{5} \right ]$
6.8. $4(2x-7)-3x+8\left ( 3-x \right )>9x-4\left ( 3x-1 \right )+20$	nessun valore di x
6.9 $3x-8>0$	$\left [ x>\cfrac{8}{3} \right ]$
6.10. $5x-2<8x+3$	$\left [ x>-\cfrac{5}{3} \right ]$
6.11. $1-3x<2x-6$	$\left [ x>\cfrac{7}{5} \right ]$
6.12. $5x-2>2x+4$	$\left [ x>2\right ]$
6.13. $3x+3>9x-3$	$\left [ x<1 \right ]$
6.14. $18x+9>9x+11$	$\left [ x>\cfrac{2}{9} \right ]$
6.15. $16x+10<17x+6$	$\left [ x>4 \right ]$
6.16. $2x-5<3+2x$	sempre vera
6.17. $7a+1<7a$	nessun valore di a
6.18. $2(9x+5)>3(3x+4)$	$\left [ x>\cfrac{2}{9} \right ]$
6.19. $12(x+1)<17(x-1)+25$	$\left [ x>\cfrac{4}{5} \right ]$
6.20. $6x-(4-x)<8x+(1-2x)$	$\left [ x<5 \right ]$
6.21. $6(x+1) \geq 3(1+2x)$	ogni valore di x
6.22. $6x-12+3(x+2)+2(x+3)<11$	nessun valore di x
6.23. $10(x+1)+2(x+1)<11x+12$	$\left [ x<0 \right ]$

Livello discreto: richiede manualità con le frazioni e lo sviluppo delle parentesi

7.1. $2x-\cfrac{1}{2}>5x-1$	$\left [x<\cfrac{1}{6}\right ]$
7.2. $\cfrac{x-1}{2}-1> -x$	$\left [ x>1 \right ]$
7.3. $3x+\cfrac{3}{2}-x>\cfrac{x+1}{2}$	$\left [ x>-\cfrac{2}{3} \right ]$
7.4. $x+\cfrac{1-x}{3}>2x-1$	$\left [ x<1 \right ]$
7.5. $\cfrac{1}{2}x-2\leq 3x-1$	$x\geq -\cfrac{2}{5}$
7.6. $2x+3>\cfrac{4x-1}{2}$	$\left [ \forall x\in \mathbb{R} \right ]$
7.7. $\cfrac{1}{5}\left ( x-2 \right )-\left [ 1+2x-\left ( x+\cfrac{1}{2} \right ) \right ]\leq 1$	$\left [ x\geq -\cfrac{19}{8} \right ]$
7.8. $3x-1>\cfrac{9x+8}{3}$	nessuna soluzione
7.9. $\cfrac{2x+1}{3}-\cfrac{x-1}{2}<0$	$\left [ x<-5 \right ]$

Verso un livello buono e con una certa sicurezza

8.1. $\left ( x-1 \right )^{2}+9x\left ( x-1 \right )>x^{2}-4x+4-\left ( 1+3x \right )\left ( 1-3x \right )$	$\left [ x<-\cfrac{2}{7} \right ]$
8.2. $\cfrac{\left ( x-1 \right )^{2}}{2}-\left ( \cfrac{x+1}{2} \right )^{2}-1<\cfrac{x^{2}-1}{4}$	$\left [ x>-\frac{1}{3} \right ]$
8.3. $9x+20\geq 2\left [ \cfrac{29}{4}-6\left ( x-1 \right )+9x-\cfrac{9}{4} \right ]$	$\left [ x\geq \cfrac{2}{3} \right ]$
8.4. $\cfrac{\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )}{2}-\cfrac{2x-3}{4}>\cfrac{\left ( 2x+1 \right )\left ( x-3 \right )}{4}$	$\left [ x>-\cfrac{4}{3} \right ]$

Per un livello ottimo

9.1. $\cfrac{x}{\sqrt{2}}+\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-2}>x-\cfrac{1}{2-\sqrt{2}}$	$\left [ x<-\left ( \sqrt{2}+1 \right ) \right ]$
9.2. $\cfrac{\left ( x+\sqrt{2} \right )\left ( \sqrt{2}-x \right )}{4}+\cfrac{x}{3}>\cfrac{2\left ( x+1 \right )-3\left ( 1-2x \right )}{6}-\cfrac{1}{4}x^2$	$\left [ x<\cfrac{2}{3} \right ]$

soluzioni[:de]

Catrin-Welz-Stein

Per risolvere una disequazione si richiede soltanto di saper risolvere un’equazione di primo grado, valgono le stesse regole:

il coefficiente che moltiplica la x deve sempre essere positivo
per arrivare al punto precedente si può:
- moltiplicare a sinistra e a destra per la stessa quantità,
- sommare a sinistra e a destra per la stessa quantità
- dividere a sinistra e a destra per la stessa quantità

UNICO AVVERTIMENTO

Se si moltiplica a sinistra e a destra per un numero negativo si cambia il verso

Livello sufficiente: richiedono di ricordarsi le regole per la soluzione delle equazioni di primo grado.

6.1. $4x+7<2x-9$	$[x<-8]$
6.2. $8-5x>2x-20$	$[x<4]$
6.3. $6(x+2)+3\leq 18$	$\left [ x\leq \cfrac{1}{2} \right ]$
6.4. $4\left ( 3x-1 \right )-4\left ( 1+x \right )>6\left ( x+2 \right )-15$	$\left [ x> \cfrac{5}{2} \right ]$
6.5. $x-3\left ( x+2 \right )\leq 10+4\left ( 1-2x \right )$	$\left [ x\leq \cfrac{10}{3} \right ]$
6.6. $5x+9\left ( 2-x \right )>3\left ( x+1 \right )-4\left ( 2+x \right )-3x$	Ogni valore di x
6.7. $8-2\left ( 3-4x\right )-\left (6x-10\right )\leq 6\left ( 4x+3\right )+8x$	$\left [ x\geq -\cfrac{1}{5} \right ]$
6.8. $4(2x-7)-3x+8\left ( 3-x \right )>9x-4\left ( 3x-1 \right )+20$	nessun valore di x
6.9 $3x-8>0$	$\left [ x>\cfrac{8}{3} \right ]$
6.10. $5x-2<8x+3$	$\left [ x>-\cfrac{5}{3} \right ]$
6.11. $1-3x<2x-6$	$\left [ x>\cfrac{7}{5} \right ]$
6.12. $5x-2>2x+4$	$\left [ x>2\right ]$
6.13. $3x+3>9x-3$	$\left [ x<1 \right ]$
6.14. $18x+9>9x+11$	$\left [ x>\cfrac{2}{9} \right ]$
6.15. $16x+10<17x+6$	$\left [ x>4 \right ]$
6.16. $2x-5<3+2x$	sempre vera
6.17. $7a+1<7a$	nessun valore di a
6.18. $2(9x+5)>3(3x+4)$	$\left [ x>\cfrac{2}{9} \right ]$
6.19. $12(x+1)<17(x-1)+25$	$\left [ x>\cfrac{4}{5} \right ]$
6.20. $6x-(4-x)<8x+(1-2x)$	$\left [ x<5 \right ]$
6.21. $6(x+1) \geq 3(1+2x)$	ogni valore di x
6.22. $6x-12+3(x+2)+2(x+3)<11$	nessun valore di x
6.23. $10(x+1)+2(x+1)<11x+12$	$\left [ x<0 \right ]$

Livello discreto: richiede manualità con le frazioni e lo sviluppo delle parentesi

7.1. $2x-\cfrac{1}{2}>5x-1$	$\left [x<\cfrac{1}{6}\right ]$
7.2. $\cfrac{x-1}{2}-1> -x$	$\left [ x>1 \right ]$
7.3. $3x+\cfrac{3}{2}-x>\cfrac{x+1}{2}$	$\left [ x>-\cfrac{2}{3} \right ]$
7.4. $x+\cfrac{1-x}{3}>2x-1$	$\left [ x<1 \right ]$
7.5. $\cfrac{1}{2}x-2\leq 3x-1$	$x\geq -\cfrac{2}{5}$
7.6. $2x+3>\cfrac{4x-1}{2}$	$\left [ \forall x\in \mathbb{R} \right ]$
7.7. $\cfrac{1}{5}\left ( x-2 \right )-\left [ 1+2x-\left ( x+\cfrac{1}{2} \right ) \right ]\leq 1$	$\left [ x\geq -\cfrac{19}{8} \right ]$
7.8. $3x-1>\cfrac{9x+8}{3}$	nessuna soluzione
7.9. $\cfrac{2x+1}{3}-\cfrac{x-1}{2}<0$	$\left [ x<-5 \right ]$

Verso un livello buono e con una certa sicurezza

8.1. $\left ( x-1 \right )^{2}+9x\left ( x-1 \right )>x^{2}-4x+4-\left ( 1+3x \right )\left ( 1-3x \right )$	$\left [ x<-\cfrac{2}{7} \right ]$
8.2. $\cfrac{\left ( x-1 \right )^{2}}{2}-\left ( \cfrac{x+1}{2} \right )^{2}-1<\cfrac{x^{2}-1}{4}$	$\left [ x>-\frac{1}{3} \right ]$
8.3. $9x+20\geq 2\left [ \cfrac{29}{4}-6\left ( x-1 \right )+9x-\cfrac{9}{4} \right ]$	$\left [ x\geq \cfrac{2}{3} \right ]$
8.4. $\cfrac{\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )}{2}-\cfrac{2x-3}{4}>\cfrac{\left ( 2x+1 \right )\left ( x-3 \right )}{4}$	$\left [ x>-\cfrac{4}{3} \right ]$

Per un livello ottimo

9.1. $\cfrac{x}{\sqrt{2}}+\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-2}>x-\cfrac{1}{2-\sqrt{2}}$	$\left [ x<-\left ( \sqrt{2}+1 \right ) \right ]$
9.2. $\cfrac{\left ( x+\sqrt{2} \right )\left ( \sqrt{2}-x \right )}{4}+\cfrac{x}{3}>\cfrac{2\left ( x+1 \right )-3\left ( 1-2x \right )}{6}-\cfrac{1}{4}x^2$	$\left [ x<\cfrac{2}{3} \right ]$

soluzioni[:]

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Il paradosso di Zenone: introduzione alle successioni ed alle serie

Pubblicato il 4 Febbraio 2016 da admin

Jacek Yerka

Un paradosso è una frase o un pensiero logico che sembra in contraddizione con il pensiero comune.

Il paradosso più conosciuto è quello di Zenone (filosofo greco del V secolo a.C.)

Eccolo:

Se Achille (detto “pie’ veloce”) venisse sfidato da una tartaruga nella corsa e concedesse alla tartaruga un piede di vantaggio, egli non riuscirebbe mai a raggiungerla, dato che Achille dovrebbe prima raggiungere la posizione occupata precedentemente dalla tartaruga che, nel frattempo, sarà avanzata raggiungendo una nuova posizione che la farà essere ancora in vantaggio; quando poi Achille raggiungerà quella posizione nuovamente la tartaruga sarà avanzata precedendolo ancora. Questo stesso discorso si può ripetere per tutte le posizioni successivamente occupate dalla tartaruga e così la distanza tra Achille e la lenta tartaruga pur riducendosi verso l’infinitamente piccolo non arriverà mai ad essere pari a zero.

Per meglio capire il paradosso si osservi la seguente figura:

Ossia si consideri che:

Achille vada ad una velocità doppia di quella della tartaruga
la tartaruga parta con mezzo metro di vantaggio rispetto Achille.
che si cerchi di capire se entrambi raggiungono il metro da percorrere.

Si può dimostrare che Zenone sbagliava in due maniere:

attraverso le nozioni fisica ed in particolare utilizzando la descrizione del moto rettilineo uniforme
attraverso la convergenza della serie numerica.

Dimostrazione mediante la convergenza della serie numerica.

la tartaruga andando ad una velocità che è metà di quella di Achille percorre sempre metà spazio rispetto a quella che percorre Achille.

Achille all’inizio percorre:

$\cfrac{1}{2}$

la tartaruga intanto, nello stesso tempo, si è spostata percorrendo:

$\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}=\cfrac{3}{4}$

Achille arriva al punto della tartaruga precedente mentre la tartaruga ha percorso

$\cfrac{3}{4}+\cfrac{1}{8}=\cfrac{7}{8}$

questo perché la tartaruga percorre sempre la metà del percorso fatto da Achille.

Si ha quindi la seguente tabella che schematizza la strada di Achille e quella della tartaruga:

Achille	Tartaruga
Tempo 0 0	$\cfrac{1}{2}$
Tempo 1 $\cfrac{1}{2}$	$\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}=\cfrac{3}{4}$
Tempo 2 $\cfrac{3}{4}$	$\cfrac{3}{4}+\cfrac{1}{8}=\cfrac{7}{8}$

Quindi per Achille si ha la seguente serie numerica:

$0+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{8}+...+\cfrac{1}{2^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty }\cfrac{1}{2^{n}}$

che si può dimostrare che tende ad 1!

analogamente la formula precedente descrive la strada percorsa dalla tartaruga che anch’essa converge ad 1.

Quindi l’errore di Zenone è quello di non considerare che la somma infinita di cifre più piccole di 1 converge ad 1! E quindi Achille raggiunge la tartaruga.

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TEST INGRESSO prima superiore geometria

Pubblicato il 30 Gennaio 2016 da admin

th1WKOENRL [WpProQuiz 16]

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TEST INGRESSO prima superiore matematica

Pubblicato il 29 Gennaio 2016 da admin

thWJUVUS6E [WpProQuiz 10]

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