SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

Esercizi sui massimi e minimi

Pubblicato il 6 Febbraio 2016 da admin

Jim Warren

Per determinare i massimi o i minimi di una funzione si deve:

come premessa sempre prima determinare il dominio della funzione perché potrebbe capitare di trovare un massimo o un minimo ed essere escluso perché all’esterno del dominio.

calcolare la derivata prima
porre a zero la derivata prima per trovare i punti stazionari.
studiare il segno della derivata prima
se la derivata prima è negativa la funzione è decrescente altrimenti crescente
determinati i punti di minimo o massimo si sostituiscono nella funzione di partenza e NON nella derivata prima (ovviamente perché se si facesse di troverebbe 0!) e si trova la relativa ordinata.

Esercizi per un livello base:

6.1. $y=x^3-3x^2+1$	$\left [ x_{M}=0;x_{m}=2 \right ]$
6.2. $y=\cfrac{x^4}{4}-\cfrac{2}{3}x^{3}$	$\left [ x_{m}=2 \right ]$
6.3. $y=x^{3}-2x^{2}+x-4$	$\left [ x_{m}=1; x_{M}=\cfrac{1}{3}\right ]$
6.4. $y=x^{4}+2x$	$\left [ x_{m}=-\cfrac{1}{\sqrt[3]{2}} \right ]$
6.5. $y=\cfrac{1}{5}x^{5}+\cfrac{1}{3}x^{3}$	nessun punto di max o min
6.6. $y=\cfrac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+3x-2$	$\left [ x_{M}=1;x_{m}=3 \right ]$
6.7. $y=6x^{5}-10x^{3}$	$\left [ x_{M}=-1;x_{m}=1 \right ]$
6.8. $y=\cfrac{x^{4}}{4}-2x^{3}+1$	$\left [ x_{m}=6 \right ]$
6.9. $y=x^{4}+\cfrac{4}{3}x^{3}-4x^{2}-1$	$\left [\left x_{m}=-2;x_{m}=1;x_{M}=0 \right ]$

Esercizi per un livello discreto

7.1. $y=\cfrac{x^3}{3}-x^{2}+x$	nessun punto di max o min
7.2. $y=\cfrac{x^{3}}{\left ( 1-x \right )^{2}}$	$\left [ x_{m}=3 \right ]$
7.3. $y=\cfrac{1}{x^{2}-4}$	$\left [ x_{M}=0 \right ]$
7.4. $y=\cfrac{x^2-x-1}{x^{2}-x+1}$	$\left [ x_{m}=\cfrac{1}{2} \right ]$
7.5. $y=\cfrac{1}{x^{2}+4}$	$\left ( x_{M}=0 \right )$
7.6. $y=\cfrac{2x^{2}}{x-1}$	$\left [ x_{M}=0;x_{m}=2 \right ]$
7.7. $y=\cfrac{1}{x^{2}-3x+2}$	$\left [ x_{M}=\cfrac{3}{2} \right ]$
7.8. $y=\cfrac{x^{2}-3x+1}{2x^{2}-3x+1}$	$\left [ x_{M}=0;x_{m}=\cfrac{2}{3} \right ]$
7.8. $y=\cfrac{-x^{2}+3x}{2x-8}$	$\left [ x_{m}=2;x_{M}=6 \right ]$
7.9. $y=\cfrac{x-3}{\left ( x-2 \right )^{3}}$	$\left [ x_{M}=\cfrac{7}{2} \right ]$
7.10. $y=\cfrac{x^{3}-3x^{2}+4}{x^{2}}$	$\left [ x_{m}=2 \right ]$

Per un livello buono

8.1. $y=x^{3}e^{x}$	$\left [ x_{m}=-3 \right ]$
8.2. $y=\ln x-x$	$\left [ x_{M}=1 \right ]$
8.3. $y=x\ln x$	$\left [ x_{m}=\cfrac{1}{e} \right ]$
8.4. $y=e^{x}-x$	$\left [ x_{m}=0 \right ]$
8.5. $y=\cfrac{x^{3}}{3}e^{-x}$	$\left [ x_{M}= 0\right ]$
8.6. $y=\cfrac{x^{2}-4}{4\left ( x^{2}-1 \right )}$	$\left [ x_{m}=0 \right ]$

Per un livello quasi ottimo

9.1. $y=2x^{2}\ln x$	$\left [ x_{m}=\cfrac{1}{\sqrt{e}} \right ]$
9.2. $y=\sqrt[3]{x^{2}}-x$	$\left [ x_{m}=0-;x_{M}=\cfrac{8}{27} \right ]$
9.3. $y=\sqrt[3]{x^{5}-x^{2}}$	$\left [ x_{M}=0;x_{m}=\cfrac{2}{3} \right ]$
9.4. $y=\sqrt[3]{\left ( x-1 \right )^{2}}$	$\left [ x_{m}=1 \right ]$
9.5. $y=\sqrt[5]{x^{2}}$	$\left [ x_{m}=0 \right ]$
9.6. $y=\cfrac{3}{2}\sqrt[3]{\left ( 1-2x \right ^{2})}$	$\left [ x_{m}=\cfrac{1}{2} \right ]$

Per muoversi con sicurezza

10.1. $y=e^{\frac{2x^{2}}{x-1}}$	$\left [ x_{M=0};x_{m}=2 \right ]$
10.2. $1+\sqrt[3]{\left ( x+3 \right )^{2}}$	$\left [ x_{m}=-3 \right ]$
10.3. $y=2x\sqrt{x+1}$	$\left [ x_{M}=-1;x_{m}=-\cfrac{2}{3} \right ]$
10.4. $y=\ln \cfrac{x-1}{x+3}$	$\left [ x_{m}=-6;x_{M} =-4\right ]$

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Disequazioni lineari- Esercizi

Pubblicato il 5 Febbraio 2016 da admin

[:it]

Catrin-Welz-Stein

Per risolvere una disequazione si richiede soltanto di saper risolvere un’equazione di primo grado, valgono le stesse regole:

il coefficiente che moltiplica la x deve sempre essere positivo
per arrivare al punto precedente si può:
- moltiplicare a sinistra e a destra per la stessa quantità,
- sommare a sinistra e a destra per la stessa quantità
- dividere a sinistra e a destra per la stessa quantità

Ricordarsi che:

il segno “>” significa maggiore,

il segno “<” significa minore.

UNICO AVVERTIMENTO

Se si moltiplica a sinistra e a destra per un numero negativo si cambia il verso

Esercizi di base che riprendono le equazioni di primo grado:

Esercizi di tipo A

Ne sviluppo uno come esempio

$x-3>10$

$x>10+3$

$x>13$

Cosa significa il risultato?

Che tutti i numeri maggiori di 13 fanno sì che la disequazione $x-3>10$ sia effettivamente maggiore di zero.

A.1. $x+5>15$
A.2. $x+7<32$
A.3. $x+3>12$
A.4. $x+2<18$
A.5. $15+x>30$
A.6. $17+x<13$
A.7. $x-5>4$
A.8. $x-6<2$
A.9. $x-7>7$
A.10. $x-15<2$

Esercizi di base di tipo B

Ne sviluppo uno come esempio:

$3\cdot x>5$

divido entrambi i membri per il numero che moltiplica la $x$

$\cfrac{2\cdot x}{2}>\cfrac{3}{2}$

si semplifica il 2 del numeratore con il 2 del denominatore del membro a sinistra dell’uguale.

$\cfrac{\not 2\cdot x}{\not2}>\cfrac{3}{2}$

$x>\cfrac{3}{2}$

B.1. $2\cdot x>3$
B.2. $4 \cdot x<5$
B.3. $6 \cdot x>12$
B.4. $7\cdot x<14$
B.5. $10 \cdot x>20$
B.6. $30 \cdot x<15$
B.7. $8 \cdot x>4$
B.8. $9 \cdot x<18$
B.9. $3 \cdot x>6$
B.10. $14 \cdot x<28$

Esercizi di base di tipo C

Sviluppo un esempio:

$\cfrac{x}{6}>4$

moltiplico entrambi i membri per 6

$\cfrac{x\cdot 6}{6}>4\cdot 6$

quindi semplifico il 6 del numeratore con il 6 del denominatore del membro a sinistra dell’uguale.

$\cfrac{x\cdot \not 6}{\not 6}>4\cdot 6$

il risultato è

$x>24$

C.1. $\cfrac{x}{3}>4$
C.2. $\cfrac{x}{7}<12$
C.3. $\cfrac{x}{2}>8$
C.4. $\cfrac{x}{5}<10$
C.5. $\cfrac{x}{6}>2$
C.6. $\cfrac{x}{4}<9$
C.7. $\cfrac{x}{8}>1$
C.8. $\cfrac{x}{10}<20$
C.9. $\cfrac{x}{12}>2$
C.10. $\cfrac{x}{9}<-2$

Esercizi base di tipo D: cambio del verso della disequazione

Ne sviluppo uno come esempio

$-x-3>10$

$-x>10+3$

$-x>13$

siccome non ha significato indicare come soluzione -x moltiplico a sinistra e a destra per -1 ma DEVO CAMBIARE IL VERSO DELLA DISEQUAZIONE

$-1\cdot \left ( -x \right )<-1\cdot \left (13 \right )$

$x<-13$

D.1. $-x+5>15$
D.2. $-x+7<32$
D.3. $-x+3>12$
D.4. $-x+2<18$
D.5. $15-x>30$
D.6. $17-x<13$
D.7. $-x-5>4$
D.8. $-x-6<2$
D.9. $-x-7>7$
D.10. $-x-15<2$

Livello sufficiente [6].

6.1. $4x+7<2x-9$	$[x<-8]$
6.2. $8-5x>2x-20$	$[x<4]$
6.3. $6(x+2)+3\leq 18$	$\left [ x\leq \cfrac{1}{2} \right ]$
6.4. $4\left ( 3x-1 \right )-4\left ( 1+x \right )>6\left ( x+2 \right )-15$	$\left [ x> \cfrac{5}{2} \right ]$
6.5. $x-3\left ( x+2 \right )\leq 10+4\left ( 1-2x \right )$	$\left [ x\leq \cfrac{10}{3} \right ]$
6.6. $5x+9\left ( 2-x \right )>3\left ( x+1 \right )-4\left ( 2+x \right )-3x$	Ogni valore di x
6.7. $8-2\left ( 3-4x\right )-\left (6x-10\right )\leq 6\left ( 4x+3\right )+8x$	$\left [ x\geq -\cfrac{1}{5} \right ]$
6.8. $4(2x-7)-3x+8\left ( 3-x \right )>9x-4\left ( 3x-1 \right )+20$	nessun valore di x
6.9 $3x-8>0$	$\left [ x>\cfrac{8}{3} \right ]$
6.10. $5x-2<8x+3$	$\left [ x>-\cfrac{5}{3} \right ]$
6.11. $1-3x<2x-6$	$\left [ x>\cfrac{7}{5} \right ]$
6.12. $5x-2>2x+4$	$\left [ x>2\right ]$
6.13. $3x+3>9x-3$	$\left [ x<1 \right ]$
6.14. $18x+9>9x+11$	$\left [ x>\cfrac{2}{9} \right ]$
6.15. $16x+10<17x+6$	$\left [ x>4 \right ]$
6.16. $2x-5<3+2x$	sempre vera
6.17. $7a+1<7a$	nessun valore di a
6.18. $2(9x+5)>3(3x+4)$	$\left [ x>\cfrac{2}{9} \right ]$
6.19. $12(x+1)<17(x-1)+25$	$\left [ x>\cfrac{4}{5} \right ]$
6.20. $6x-(4-x)<8x+(1-2x)$	$\left [ x<5 \right ]$
6.21. $6(x+1) \geq 3(1+2x)$	ogni valore di x
6.22. $6x-12+3(x+2)+2(x+3)<11$	nessun valore di x
6.23. $10(x+1)+2(x+1)<11x+12$	$\left [ x<0 \right ]$

Livello discreto: richiede manualità con le frazioni e lo sviluppo delle parentesi [7]

7.1. $2x-\cfrac{1}{2}>5x-1$	$\left [x<\cfrac{1}{6}\right ]$
7.2. $\cfrac{x-1}{2}-1> -x$	$\left [ x>1 \right ]$
7.3. $3x+\cfrac{3}{2}-x>\cfrac{x+1}{2}$	$\left [ x>-\cfrac{2}{3} \right ]$
7.4. $x+\cfrac{1-x}{3}>2x-1$	$\left [ x<1 \right ]$
7.5. $\cfrac{1}{2}x-2\leq 3x-1$	$x\geq -\cfrac{2}{5}$
7.6. $2x+3>\cfrac{4x-1}{2}$	$\left [ \forall x\in \mathbb{R} \right ]$
7.7. $\cfrac{1}{5}\left ( x-2 \right )-\left [ 1+2x-\left ( x+\cfrac{1}{2} \right ) \right ]\leq 1$	$\left [ x\geq -\cfrac{19}{8} \right ]$
7.8. $3x-1>\cfrac{9x+8}{3}$	nessuna soluzione
7.9. $\cfrac{2x+1}{3}-\cfrac{x-1}{2}<0$	$\left [ x<-5 \right ]$

Verso un livello buono e con una certa sicurezza [8]

8.1. $\left ( x-1 \right )^{2}+9x\left ( x-1 \right )>x^{2}-4x+4-\left ( 1+3x \right )\left ( 1-3x \right )$	$\left [ x<-\cfrac{2}{7} \right ]$
8.2. $\cfrac{\left ( x-1 \right )^{2}}{2}-\left ( \cfrac{x+1}{2} \right )^{2}-1<\cfrac{x^{2}-1}{4}$	$\left [ x>-\frac{1}{3} \right ]$
8.3. $9x+20\geq 2\left [ \cfrac{29}{4}-6\left ( x-1 \right )+9x-\cfrac{9}{4} \right ]$	$\left [ x\geq \cfrac{2}{3} \right ]$
8.4. $\cfrac{\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )}{2}-\cfrac{2x-3}{4}>\cfrac{\left ( 2x+1 \right )\left ( x-3 \right )}{4}$	$\left [ x>-\cfrac{4}{3} \right ]$

Per un livello ottimo [9]

9.1. $\cfrac{x}{\sqrt{2}}+\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-2}>x-\cfrac{1}{2-\sqrt{2}}$	$\left [ x<-\left ( \sqrt{2}+1 \right ) \right ]$
9.2. $\cfrac{\left ( x+\sqrt{2} \right )\left ( \sqrt{2}-x \right )}{4}+\cfrac{x}{3}>\cfrac{2\left ( x+1 \right )-3\left ( 1-2x \right )}{6}-\cfrac{1}{4}x^2$	$\left [ x<\cfrac{2}{3} \right ]$

soluzioni[:en]

Catrin-Welz-Stein

Per risolvere una disequazione si richiede soltanto di saper risolvere un’equazione di primo grado, valgono le stesse regole:

il coefficiente che moltiplica la x deve sempre essere positivo
per arrivare al punto precedente si può:
- moltiplicare a sinistra e a destra per la stessa quantità,
- sommare a sinistra e a destra per la stessa quantità
- dividere a sinistra e a destra per la stessa quantità

UNICO AVVERTIMENTO

Se si moltiplica a sinistra e a destra per un numero negativo si cambia il verso

Livello sufficiente: richiedono di ricordarsi le regole per la soluzione delle equazioni di primo grado.

6.1. $4x+7<2x-9$	$[x<-8]$
6.2. $8-5x>2x-20$	$[x<4]$
6.3. $6(x+2)+3\leq 18$	$\left [ x\leq \cfrac{1}{2} \right ]$
6.4. $4\left ( 3x-1 \right )-4\left ( 1+x \right )>6\left ( x+2 \right )-15$	$\left [ x> \cfrac{5}{2} \right ]$
6.5. $x-3\left ( x+2 \right )\leq 10+4\left ( 1-2x \right )$	$\left [ x\leq \cfrac{10}{3} \right ]$
6.6. $5x+9\left ( 2-x \right )>3\left ( x+1 \right )-4\left ( 2+x \right )-3x$	Ogni valore di x
6.7. $8-2\left ( 3-4x\right )-\left (6x-10\right )\leq 6\left ( 4x+3\right )+8x$	$\left [ x\geq -\cfrac{1}{5} \right ]$
6.8. $4(2x-7)-3x+8\left ( 3-x \right )>9x-4\left ( 3x-1 \right )+20$	nessun valore di x
6.9 $3x-8>0$	$\left [ x>\cfrac{8}{3} \right ]$
6.10. $5x-2<8x+3$	$\left [ x>-\cfrac{5}{3} \right ]$
6.11. $1-3x<2x-6$	$\left [ x>\cfrac{7}{5} \right ]$
6.12. $5x-2>2x+4$	$\left [ x>2\right ]$
6.13. $3x+3>9x-3$	$\left [ x<1 \right ]$
6.14. $18x+9>9x+11$	$\left [ x>\cfrac{2}{9} \right ]$
6.15. $16x+10<17x+6$	$\left [ x>4 \right ]$
6.16. $2x-5<3+2x$	sempre vera
6.17. $7a+1<7a$	nessun valore di a
6.18. $2(9x+5)>3(3x+4)$	$\left [ x>\cfrac{2}{9} \right ]$
6.19. $12(x+1)<17(x-1)+25$	$\left [ x>\cfrac{4}{5} \right ]$
6.20. $6x-(4-x)<8x+(1-2x)$	$\left [ x<5 \right ]$
6.21. $6(x+1) \geq 3(1+2x)$	ogni valore di x
6.22. $6x-12+3(x+2)+2(x+3)<11$	nessun valore di x
6.23. $10(x+1)+2(x+1)<11x+12$	$\left [ x<0 \right ]$

Livello discreto: richiede manualità con le frazioni e lo sviluppo delle parentesi

7.1. $2x-\cfrac{1}{2}>5x-1$	$\left [x<\cfrac{1}{6}\right ]$
7.2. $\cfrac{x-1}{2}-1> -x$	$\left [ x>1 \right ]$
7.3. $3x+\cfrac{3}{2}-x>\cfrac{x+1}{2}$	$\left [ x>-\cfrac{2}{3} \right ]$
7.4. $x+\cfrac{1-x}{3}>2x-1$	$\left [ x<1 \right ]$
7.5. $\cfrac{1}{2}x-2\leq 3x-1$	$x\geq -\cfrac{2}{5}$
7.6. $2x+3>\cfrac{4x-1}{2}$	$\left [ \forall x\in \mathbb{R} \right ]$
7.7. $\cfrac{1}{5}\left ( x-2 \right )-\left [ 1+2x-\left ( x+\cfrac{1}{2} \right ) \right ]\leq 1$	$\left [ x\geq -\cfrac{19}{8} \right ]$
7.8. $3x-1>\cfrac{9x+8}{3}$	nessuna soluzione
7.9. $\cfrac{2x+1}{3}-\cfrac{x-1}{2}<0$	$\left [ x<-5 \right ]$

Verso un livello buono e con una certa sicurezza

8.1. $\left ( x-1 \right )^{2}+9x\left ( x-1 \right )>x^{2}-4x+4-\left ( 1+3x \right )\left ( 1-3x \right )$	$\left [ x<-\cfrac{2}{7} \right ]$
8.2. $\cfrac{\left ( x-1 \right )^{2}}{2}-\left ( \cfrac{x+1}{2} \right )^{2}-1<\cfrac{x^{2}-1}{4}$	$\left [ x>-\frac{1}{3} \right ]$
8.3. $9x+20\geq 2\left [ \cfrac{29}{4}-6\left ( x-1 \right )+9x-\cfrac{9}{4} \right ]$	$\left [ x\geq \cfrac{2}{3} \right ]$
8.4. $\cfrac{\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )}{2}-\cfrac{2x-3}{4}>\cfrac{\left ( 2x+1 \right )\left ( x-3 \right )}{4}$	$\left [ x>-\cfrac{4}{3} \right ]$

Per un livello ottimo

9.1. $\cfrac{x}{\sqrt{2}}+\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-2}>x-\cfrac{1}{2-\sqrt{2}}$	$\left [ x<-\left ( \sqrt{2}+1 \right ) \right ]$
9.2. $\cfrac{\left ( x+\sqrt{2} \right )\left ( \sqrt{2}-x \right )}{4}+\cfrac{x}{3}>\cfrac{2\left ( x+1 \right )-3\left ( 1-2x \right )}{6}-\cfrac{1}{4}x^2$	$\left [ x<\cfrac{2}{3} \right ]$

soluzioni[:de]

Catrin-Welz-Stein

Per risolvere una disequazione si richiede soltanto di saper risolvere un’equazione di primo grado, valgono le stesse regole:

il coefficiente che moltiplica la x deve sempre essere positivo
per arrivare al punto precedente si può:
- moltiplicare a sinistra e a destra per la stessa quantità,
- sommare a sinistra e a destra per la stessa quantità
- dividere a sinistra e a destra per la stessa quantità

UNICO AVVERTIMENTO

Se si moltiplica a sinistra e a destra per un numero negativo si cambia il verso

Livello sufficiente: richiedono di ricordarsi le regole per la soluzione delle equazioni di primo grado.

6.1. $4x+7<2x-9$	$[x<-8]$
6.2. $8-5x>2x-20$	$[x<4]$
6.3. $6(x+2)+3\leq 18$	$\left [ x\leq \cfrac{1}{2} \right ]$
6.4. $4\left ( 3x-1 \right )-4\left ( 1+x \right )>6\left ( x+2 \right )-15$	$\left [ x> \cfrac{5}{2} \right ]$
6.5. $x-3\left ( x+2 \right )\leq 10+4\left ( 1-2x \right )$	$\left [ x\leq \cfrac{10}{3} \right ]$
6.6. $5x+9\left ( 2-x \right )>3\left ( x+1 \right )-4\left ( 2+x \right )-3x$	Ogni valore di x
6.7. $8-2\left ( 3-4x\right )-\left (6x-10\right )\leq 6\left ( 4x+3\right )+8x$	$\left [ x\geq -\cfrac{1}{5} \right ]$
6.8. $4(2x-7)-3x+8\left ( 3-x \right )>9x-4\left ( 3x-1 \right )+20$	nessun valore di x
6.9 $3x-8>0$	$\left [ x>\cfrac{8}{3} \right ]$
6.10. $5x-2<8x+3$	$\left [ x>-\cfrac{5}{3} \right ]$
6.11. $1-3x<2x-6$	$\left [ x>\cfrac{7}{5} \right ]$
6.12. $5x-2>2x+4$	$\left [ x>2\right ]$
6.13. $3x+3>9x-3$	$\left [ x<1 \right ]$
6.14. $18x+9>9x+11$	$\left [ x>\cfrac{2}{9} \right ]$
6.15. $16x+10<17x+6$	$\left [ x>4 \right ]$
6.16. $2x-5<3+2x$	sempre vera
6.17. $7a+1<7a$	nessun valore di a
6.18. $2(9x+5)>3(3x+4)$	$\left [ x>\cfrac{2}{9} \right ]$
6.19. $12(x+1)<17(x-1)+25$	$\left [ x>\cfrac{4}{5} \right ]$
6.20. $6x-(4-x)<8x+(1-2x)$	$\left [ x<5 \right ]$
6.21. $6(x+1) \geq 3(1+2x)$	ogni valore di x
6.22. $6x-12+3(x+2)+2(x+3)<11$	nessun valore di x
6.23. $10(x+1)+2(x+1)<11x+12$	$\left [ x<0 \right ]$

Livello discreto: richiede manualità con le frazioni e lo sviluppo delle parentesi

7.1. $2x-\cfrac{1}{2}>5x-1$	$\left [x<\cfrac{1}{6}\right ]$
7.2. $\cfrac{x-1}{2}-1> -x$	$\left [ x>1 \right ]$
7.3. $3x+\cfrac{3}{2}-x>\cfrac{x+1}{2}$	$\left [ x>-\cfrac{2}{3} \right ]$
7.4. $x+\cfrac{1-x}{3}>2x-1$	$\left [ x<1 \right ]$
7.5. $\cfrac{1}{2}x-2\leq 3x-1$	$x\geq -\cfrac{2}{5}$
7.6. $2x+3>\cfrac{4x-1}{2}$	$\left [ \forall x\in \mathbb{R} \right ]$
7.7. $\cfrac{1}{5}\left ( x-2 \right )-\left [ 1+2x-\left ( x+\cfrac{1}{2} \right ) \right ]\leq 1$	$\left [ x\geq -\cfrac{19}{8} \right ]$
7.8. $3x-1>\cfrac{9x+8}{3}$	nessuna soluzione
7.9. $\cfrac{2x+1}{3}-\cfrac{x-1}{2}<0$	$\left [ x<-5 \right ]$

Verso un livello buono e con una certa sicurezza

8.1. $\left ( x-1 \right )^{2}+9x\left ( x-1 \right )>x^{2}-4x+4-\left ( 1+3x \right )\left ( 1-3x \right )$	$\left [ x<-\cfrac{2}{7} \right ]$
8.2. $\cfrac{\left ( x-1 \right )^{2}}{2}-\left ( \cfrac{x+1}{2} \right )^{2}-1<\cfrac{x^{2}-1}{4}$	$\left [ x>-\frac{1}{3} \right ]$
8.3. $9x+20\geq 2\left [ \cfrac{29}{4}-6\left ( x-1 \right )+9x-\cfrac{9}{4} \right ]$	$\left [ x\geq \cfrac{2}{3} \right ]$
8.4. $\cfrac{\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )}{2}-\cfrac{2x-3}{4}>\cfrac{\left ( 2x+1 \right )\left ( x-3 \right )}{4}$	$\left [ x>-\cfrac{4}{3} \right ]$

Per un livello ottimo

9.1. $\cfrac{x}{\sqrt{2}}+\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-2}>x-\cfrac{1}{2-\sqrt{2}}$	$\left [ x<-\left ( \sqrt{2}+1 \right ) \right ]$
9.2. $\cfrac{\left ( x+\sqrt{2} \right )\left ( \sqrt{2}-x \right )}{4}+\cfrac{x}{3}>\cfrac{2\left ( x+1 \right )-3\left ( 1-2x \right )}{6}-\cfrac{1}{4}x^2$	$\left [ x<\cfrac{2}{3} \right ]$

soluzioni[:]

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Il paradosso di Zenone: introduzione alle successioni ed alle serie

Pubblicato il 4 Febbraio 2016 da admin

Jacek Yerka

Un paradosso è una frase o un pensiero logico che sembra in contraddizione con il pensiero comune.

Il paradosso più conosciuto è quello di Zenone (filosofo greco del V secolo a.C.)

Eccolo:

Se Achille (detto “pie’ veloce”) venisse sfidato da una tartaruga nella corsa e concedesse alla tartaruga un piede di vantaggio, egli non riuscirebbe mai a raggiungerla, dato che Achille dovrebbe prima raggiungere la posizione occupata precedentemente dalla tartaruga che, nel frattempo, sarà avanzata raggiungendo una nuova posizione che la farà essere ancora in vantaggio; quando poi Achille raggiungerà quella posizione nuovamente la tartaruga sarà avanzata precedendolo ancora. Questo stesso discorso si può ripetere per tutte le posizioni successivamente occupate dalla tartaruga e così la distanza tra Achille e la lenta tartaruga pur riducendosi verso l’infinitamente piccolo non arriverà mai ad essere pari a zero.

Per meglio capire il paradosso si osservi la seguente figura:

Ossia si consideri che:

Achille vada ad una velocità doppia di quella della tartaruga
la tartaruga parta con mezzo metro di vantaggio rispetto Achille.
che si cerchi di capire se entrambi raggiungono il metro da percorrere.

Si può dimostrare che Zenone sbagliava in due maniere:

attraverso le nozioni fisica ed in particolare utilizzando la descrizione del moto rettilineo uniforme
attraverso la convergenza della serie numerica.

Dimostrazione mediante la convergenza della serie numerica.

la tartaruga andando ad una velocità che è metà di quella di Achille percorre sempre metà spazio rispetto a quella che percorre Achille.

Achille all’inizio percorre:

$\cfrac{1}{2}$

la tartaruga intanto, nello stesso tempo, si è spostata percorrendo:

$\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}=\cfrac{3}{4}$

Achille arriva al punto della tartaruga precedente mentre la tartaruga ha percorso

$\cfrac{3}{4}+\cfrac{1}{8}=\cfrac{7}{8}$

questo perché la tartaruga percorre sempre la metà del percorso fatto da Achille.

Si ha quindi la seguente tabella che schematizza la strada di Achille e quella della tartaruga:

Achille	Tartaruga
Tempo 0 0	$\cfrac{1}{2}$
Tempo 1 $\cfrac{1}{2}$	$\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}=\cfrac{3}{4}$
Tempo 2 $\cfrac{3}{4}$	$\cfrac{3}{4}+\cfrac{1}{8}=\cfrac{7}{8}$

Quindi per Achille si ha la seguente serie numerica:

$0+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{8}+...+\cfrac{1}{2^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty }\cfrac{1}{2^{n}}$

che si può dimostrare che tende ad 1!

analogamente la formula precedente descrive la strada percorsa dalla tartaruga che anch’essa converge ad 1.

Quindi l’errore di Zenone è quello di non considerare che la somma infinita di cifre più piccole di 1 converge ad 1! E quindi Achille raggiunge la tartaruga.