SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

Questo problema è stato tratto da La settimana Enigmistica del 24 dicembre 2015 quesito 7063 e dato alla verifica sui sistemi d’equazione alle classi di seconda superiore il 13 gennaio 2016.

“Biagio, Fulvio e Giacomo sono tre studenti universitari di matematica. Per raggranellare qualche soldo, nel mese di dicembre, si sono ritrovati a lavorare in un grande magazzino, nel reparto degli addobbi natalizi. Forti della loro padronanza dei numeri, a volte si divertivano a mettere qualcuno in difficoltà. Così, a un signore troppo pignolo,

• Biagio ha risposto: “Si, 7 palline e 5 stelle costano come 6 angioletti”
• Fulvio ha rincarato: “Oppure, se vuole, 4 palline più 9 angioletti hanno lo stesso prezzo di 5 stelle”.
• Giacomo interviene: “E 6 angioletti e 3 stelle valgono come 4 palline

Ma quando il cliente, frastornato, è giunto alla cassa, si è scoperto che uno di loro aveva mentito mentre gli altri due avevano dato informazioni corrette.

Chi ha dato informazioni errate?

Soluzione:

Si imposta un sistema di equazione con

p palline

a angioletti

s stelle

Adesso li ordino ed ho:

Suppongo che le prime due ossia Biagio e Fulvio abbiano detto la verità e le sommo:

che risolta dà:

che è impossibile in quanto le palline non possono dare un costo negativo.

Per cui o Biagio o Fulvio ha detto il falso!

Adesso sommo Fulvio e Giacomo

ossia

che è possibile.

Per cui chi dice il falso è Biagio.

Sergey Tyukanov

[WpProQuiz 8]

[WpProQuiz 6]

Esempi sulle precedenti proprietà

1. Determinare il massimo ed il minimo assoluti della funzione:

nell’intervallo chiuso

soluzione

2. Determinare il massimo ed il minimo assoluti della funzione

nell’intervallo

soluzione

3. Determinare il massimo ed il minimo assoluti della funzione:

nell’intervallo:

soluzione

[WpProQuiz 5]

Data la funzione:

a) calcola a e b sapendo che il suo grafico passa per l’origine e interseca la retta di equazione y=4 nel punto di ascissa 3.

b) rappresenta il grafico di f(x) per i valori di a e b trovati

c) risolvi analiticamente e graficamente la disequazione:

Sviluppo.

a) Passando per l’origine deve essere soddisfatta la

(1)

e affermare che interseca una retta in un particolare punto significa che quel punto appartiene  alla curva per cui deve valere anche questa relazione:

(2)

analizzando la (1)

perché se così non fosse la funzione di partenza degenerebbe in un punto coincidente con l’origine.

Risolvo l’equazione:

che equivale a scrivere (partendo dalla definizione stessa di logaritmo)

che fornisce il valore

.

Sostituendo adesso il valore trovato nella (2) si deve risolvere l’equazione:

ma

.

.

.

la funzione di partenza diventa:

b) Per rappresentare la funzione

posso non utilizzare le conoscenze della derivata per la sua rappresentazione partendo dal grafico della funzione

che è:

” width=”1341″ height=”1034″ />

La moltiplicazione per 2 fa sì soltanto che sia un po’ più alta (si noti la linea rossa) e che tenda meno velocemente allo 0.

sommare 1 all’argomento della radice significa traslare all’indietro il grafico (linea blu identificata con la lettera h) con asintoto in x=-1

c) Risolvo adesso analiticamente la disequazione:

.

che diventa:

.

il dominio è dato dallo studio del sistema di disequazione fornito dagli argomenti dei due logaritmi ossia:

che mi dà come soluzione

torno alla disequazione che diventa:

.

Avendo la stessa base ed essendo questa maggiore di 1 posso studiare la disequazione:

.

Risolvo l’equazione associata:

.

per risolvere la disequazione di secondo grado uso il metodo della parabola ossia:

i punti d’intersezione con l’asse x sono le soluzioni precedentemente trovate.

I valori per cui la parabola è maggiore di zero sono i valori esterni ma ricordandomi anche il dominio che era:

la soluzione della disequazione diventa:

e

.

Per risolverla graficamente studio le seguenti due funzioni:

identificata con la linea rossa

e al funzione:

identificata con la linea blu.si nota infatti che la linea rossa è sopra a quella blu per i valori precedentemente trovati analiticamente.

Per risolverla devo avere la stessa base

Per fare questo utilizzo la seguente proprietà:

ossia:

e

e inserendoli in quella di partenza ho:

e quindi facendo il m.c.m. la disequazione i di partenza diventa:

la disequazione di partenza è diventata:

Lo studio del dominio parte dall’argomento del logaritmo posto al numeratore:

ossia

il dominio diventa:

Adesso studio il segno del numeratore e del denominatore.

Il denominatore:

>0

E’ positivo per

Mentre è negativo per

Il numeratore:

il -3 viene rappresentato con una linea tratteggiata.

e quindi diventa

Concentrandosi solo sugli argomenti devo risolvere la seguente semplice disequazione:

quindi

Ho la seguente rappresentazione grafica:

Adesso unisco il denominatore, che mi fornisce la dipendenza della disequazione dal parametro, ed il segno del numeratore.

Per

il denominatore è positivo per cui ho il seguente schema:

e quindi la prima soluzione è:

Per

Per il denominatore è negativo ed ho il seguente schema:

ed ho la seconda soluzione:

Per