SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

Problema su una funzione logaritmica parametrica con relativa disequazione

Pubblicato il 1 Gennaio 2016 da admin

Data la funzione:

$f(x)=a\cdot \log_{2} \left ( x+b \right )$

a) calcola a e b sapendo che il suo grafico passa per l’origine e interseca la retta di equazione y=4 nel punto di ascissa 3.

b) rappresenta il grafico di f(x) per i valori di a e b trovati

c) risolvi analiticamente e graficamente la disequazione:

$2\cdot \log _{2}\left ( x+1 \right )\geq 3-\log _{\frac{1}{2}}x$

Sviluppo.

a) Passando per l’origine deve essere soddisfatta la

(1) $a\cdot \log _{2}b=0$

e affermare che interseca una retta in un particolare punto significa che quel punto appartiene alla curva per cui deve valere anche questa relazione:

(2) $a\cdot \log _{2}\left ( 3+b \right )=4$

analizzando la (1)

$a\neq 0$

perché se così non fosse la funzione di partenza degenerebbe in un punto coincidente con l’origine.

Risolvo l’equazione:

$\log _{2}b=0$

che equivale a scrivere (partendo dalla definizione stessa di logaritmo)

$2^{0}=b$

che fornisce il valore

$b=1$ .

Sostituendo adesso il valore trovato nella (2) si deve risolvere l’equazione:

$a\cdot \log _{2}4=4$

$\log _{2}4=2$ .

$2a=4$ .

$a=2$ .

la funzione di partenza diventa:

$f(x)=2\cdot \log_{2} \left ( x+1 \right )$

b) Per rappresentare la funzione

$f(x)=2\cdot \log_{2} \left ( x+1 \right )$

posso non utilizzare le conoscenze della derivata per la sua rappresentazione partendo dal grafico della funzione

$f(x)=\log _{2}x$

che è:

” width=”1341″ height=”1034″ />

La moltiplicazione per 2 fa sì soltanto che sia un po’ più alta (si noti la linea rossa) e che tenda meno velocemente allo 0.

$f(x)=2\cdot \log _{2}x$

grafico logaritmo2

sommare 1 all’argomento della radice significa traslare all’indietro il grafico (linea blu identificata con la lettera h) con asintoto in x=-1

$f(x)=2\cdot \log_{2} \left ( x+1 \right )$

grafico logaritmo3

c) Risolvo adesso analiticamente la disequazione:

$2\cdot \log _{2}\left ( x+1 \right )\geq 3-\log _{\frac{1}{2}}x$ .

$\log _{\frac{1}{2}}x=\cfrac{\log _{2}x}{\log _{2}\frac{1}{2}}=\cfrac{\log _{2}x}{-1}=-\log _{2}x$

che diventa:

$2\cdot \log _{2}\left ( x+1 \right )\geq 3+\log _{2}x$ .

il dominio è dato dallo studio del sistema di disequazione fornito dagli argomenti dei due logaritmi ossia:

$\left\{ \begin{array}{c} x+1>0 \\ x>0 \end{array} \right.$

che mi dà come soluzione

$x>0$

torno alla disequazione che diventa:

$\log _{2}\left ( x+1 \right )^{2}\geq \log _{2}2^{3}+\log _{2}x$ .

$\log _{2}\left ( x+1 \right )^{2}\geq \log _{2}8x$

Avendo la stessa base ed essendo questa maggiore di 1 posso studiare la disequazione:

$x^{2}+2x+1-8x\geq 0$ .

$x^{2}-6x+1\geq 0$

Risolvo l’equazione associata:

$x_{1,2}=\cfrac{6\pm \sqrt{36-4}}{2}=\cfrac{6\pm \sqrt{32}}{2}=\cfrac{6\pm 4\sqrt{2}}{2}=3\pm 2\sqrt{2}$ .

per risolvere la disequazione di secondo grado uso il metodo della parabola ossia:

disequazione i punti d’intersezione con l’asse x sono le soluzioni precedentemente trovate.

I valori per cui la parabola è maggiore di zero sono i valori esterni ma ricordandomi anche il dominio che era:

$x>0$

la soluzione della disequazione diventa:

$0<x\leq 3-2\sqrt{2}$

$x\geq 3+\sqrt{2}$ .

Per risolverla graficamente studio le seguenti due funzioni:

$y=2\cdot \log _{2}\left ( x+1 \right )$

identificata con la linea rossa

e al funzione:

$y=3+\log_{2}x$

identificata con la linea blu. disequazione si nota infatti che la linea rossa è sopra a quella blu per i valori precedentemente trovati analiticamente.

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Disequazione logaritmica

Pubblicato il 12 Dicembre 2015 da admin

$log_{\frac{1}{a}}\left ( x-1 \right )-log_{a^{2}}\left (x-1 \right )>0$

Per risolverla devo avere la stessa base

Per fare questo utilizzo la seguente proprietà:

$log_{a}b=\cfrac{log_{c}b}{log_{c}a}$

ossia:

$log_{\frac{1}{a}}\left ( x-1 \right )=\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{log_{10}\left ( \cfrac{1}{a} \right )}=\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{log_{10}\left ( a^{-1} \right )}=\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{-log_{10}\left ( a \right )}=-\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{log_{10}\left ( a \right )}$

$log_{a^{2}}\left (x-1 \right )=\cfrac{log_{10(x-1)}}{log_{10}a^{2}}=\cfrac{log_{10(x-1)}}{2log_{10}a}$

e inserendoli in quella di partenza ho:

$-\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{log_{10}\left ( a \right )}-\cfrac{log_{10(x-1)}}{2log_{10}a}>0$

e quindi facendo il m.c.m. la disequazione i di partenza diventa:

$\cfrac{-2log_{10}(x-1)-log_{10}(x-1)}{2log_{10}a}>0$

la disequazione di partenza è diventata:

$\cfrac{-3log_{10}(x-1)}{2log_{10}a}>0$

Lo studio del dominio parte dall’argomento del logaritmo posto al numeratore:

$x-1>0$

ossia

$x>1$

il dominio diventa:

$D:\left \{ \forall x\epsilon \in {R}\mid x>1 \right \}$

Adesso studio il segno del numeratore e del denominatore.

Il denominatore:

$2log_{10}a$ >0

E’ positivo per

$a>1$

Mentre è negativo per

$0<a<1$

Il numeratore:

$-3log_{10}(x-1)>0$

il -3 viene rappresentato con una linea tratteggiata.

$0=log_{10}1$ e quindi diventa

$log_{10}(x-1)>log_{10}1$

Concentrandosi solo sugli argomenti devo risolvere la seguente semplice disequazione:

$x-1>1$

quindi

$x>2$

Ho la seguente rappresentazione grafica:

Immagine

Adesso unisco il denominatore, che mi fornisce la dipendenza della disequazione dal parametro, ed il segno del numeratore.

Per

$a>1$ il denominatore è positivo per cui ho il seguente schema:

Immagine

e quindi la prima soluzione è:

Per $a>1$

$1<x<2$

Per $0<a<1$ il denominatore è negativo ed ho il seguente schema:

Immagine

ed ho la seconda soluzione:

Per $0<a<1$

$x>2$

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INVALSI ON LINE – Quiz sulle potenze

Pubblicato il 12 Dicembre 2015 da admin

[:it]

Per affrontare con sicurezza questa parte dell’INVALSI è necessario avere queste competenze:

raccoglimento tra potenze. Ad esempio:

$5^{3}+5^{2}=5^{2}\left ( \cfrac{5^{3}}{5^{2}}+\cfrac{5^{2}}{5^{2}} \right )$

$5^{3}+5^{2}=5^{2}\left ( 5+1 \right )=5^{2}\cdot 6$

proprietà tra potenze.

Ad esempio:

$\left (2^{3} \right )^{4}=2^{12}$

aver capito bene il significato della numerazione a base 10.

Ad esempio

$345=3\cdot 10^{2}+4\cdot 10^{1}+5\cdot 10^{0}$
[WpProQuiz 4][:en]
[WpProQuiz 4][:de]
[WpProQuiz 4][:]

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Esercizi sui sistemi d’equazione suddivisi per livello

Pubblicato il 8 Dicembre 2015 da admin

Igor Morski

Quale metodo usare per risolvere i sistemi d’equazione nel minor tempo possibile e in maniera corretta?

se ho già la x o la y espressa in funzione dell’altra conviene usare il metodo della sostituzione
se ho nelle due equazioni la x o la y con segno opposto conviene usare il metodo dell’addizione.
se ho già espresso la x o la y in funzione dell’altra variabile conviene usare il metodo del confronto.
in tutti i casi il metodo di Cramer è il più meccanico e veloce ma bisogna impostarlo bene e non sbagliare il determinante della radice.

Qui inserisco una serie di esercizi e nelle soluzioni inserisco il metodo che io ritengo migliore ma non necessariamente quello che tutti possono ritenere migliore. Alla fine uno può trovarsi meglio aver usato un metodo invece che un altro.

Esercizi facili per prendere la mano (6)

6.1. $\left\{\begin{matrix} x+y=7\\ x-y=3\end{matrix}\right.$	$\left [ \left ( 5,2 \right ) \right ]$
6.2. $\left\{\begin{matrix} x+y=5\\ -x=y-3\end{matrix}\right.$	$\left [ impossibile \right ]$
6.3. $\left\{\begin{matrix} x=2y\\ 3x-4y=-2\end{matrix}\right.$	$\left [ \left ( -2,-1 \right ) \right ]$
6.4. $\left\{\begin{matrix} y=2\\ 2x-3y+4=0\end{matrix}\right.$	$\left [ \left ( 1,2 \right ) \right ]$
6.5. $\left\{\begin{matrix} x+2y=13\\ x-y=-2\end{matrix}\right.$	$\left [ \left ( 3,5 \right ) \right ]$
6.6. $\left\{\begin{matrix} x=4-2y\\ x-4y=-5\end{matrix}\right.$	$\left [ \left ( 1,\cfrac{3}{2} \right ) \right ]$
6.7. $\left\{\begin{matrix} x+y=4\\ 6x-2y=16\end{matrix}\right.$	$\left [ \left (3,1 \right ) \right ]$

Esercizi più complessi (7)

7.1. $\left\{\begin{matrix} 3x+2y=-5\\ 2x+y=-3\end{matrix}\right.$	$\left [ \left ( -1,-1 \right ) \right ]$
7.2. $\left\{\begin{matrix} 3y-2x=-7\\ 3x-2y=8\end{matrix}\right.$	$\left [ \left ( 2,-1 \right ) \right ]$
7.3. $\left\{\begin{matrix} 3y-2x=-7\\ 3x-2y=8\end{matrix}\right.$	$\left [ indeterminata \right ]$
7.4. $\left\{\begin{matrix} 3y=2x-4\\ \cfrac{2}{3}x-y=x-\cfrac{1}{3}\end{matrix}\right.$	$\left [ \left ( \cfrac{5}{3},-\cfrac{2}{9} \right ) \right ]$
7.5. $\left\{\begin{matrix} x+y=8\\ \cfrac{3}{4}x+y=6\end{matrix}\right.$	$\left [ \left (8,0 \right ) \right ]$
7.6. $\left\{\begin{matrix} \cfrac{1}{2}x-y=x-\cfrac{4}{3}\\ \cfrac{3}{4}x+y=6\end{matrix}\right.$	$\left [ \left (-2,-3 \right ) \right ]$

Verso un buon livello (8)

8.1. $\left\{\begin{matrix} \cfrac{x+1}{3}=1-y\\ \cfrac{1}{4}x+2y=\cfrac{7}{4}\end{matrix}\right.$

$\left [ \left (-1,-1 \right ) \right ]$

Verso il l’ottimo (9)

9.1. $\left\{\begin{matrix} \cfrac{x-1}{3}+\cfrac{y+2}{4}=\cfrac{5}{12}\\ 6x-6y=1\end{matrix}\right.$

$\left [ \left (\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{3} \right ) \right ]$

L’ottimo (10)

10.1. $\left\{\begin{matrix} \cfrac{3(x-6)}{4}+\cfrac{4(y-7)}{5}=\cfrac{x+4}{10}-\cfrac{y-3}{4}\\ \cfrac{2x}{3}-\cfrac{y+1}{2}=\cfrac{3(x-1}{5}-\cfrac{5y+1}{12}\end{matrix}\right.$

$\left [ \left (6,7 \right ) \right ]$

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INVALSI- ON LINE – Quiz sui grafici

Pubblicato il 26 Novembre 2015 da admin

thR119OVK7 [WpProQuiz 2]

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INVALSI ON LINE – QUIZ sulla Retta

Pubblicato il 23 Novembre 2015 da admin

[WpProQuiz 1]

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Parabola “pura” con due intersezioni con gli assi

Pubblicato il 23 Novembre 2015 da admin

Si studi la seguente parabola:

$y=x^{2}-4$

primo passo: intersezioni con gli assi:

pongo x=0

allora si ha:

y=-4

pongo y=0

devo risolvere l’equazione

$x^{2}-4=0$

per esercitarsi su questo tipo di equazioni si può andare al seguente link:

risoluzione equazioni di secondo grado pure

che ha come soluzioni:

$x_{1,2}=\pm \sqrt{4}=\pm 2$

secondo passo: analisi della concavità

A=1

essendo positiva la concavità è sempre verso l’alto

terzo passo: calcolo del vertice

A=1; B=0; C=-4

$-\cfrac{B}{2\cdot A}=-\cfrac{0}{2\cdot 1}=0$

$-\cfrac{B^{2}-4\cdot A\cdot C}{4\cdot A}=-\frac{0^{2}-4\cdot 1\cdot (-4))}{4\cdot 1}=-\cfrac{16}{4}=-4$

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Parabola “pura”

Pubblicato il 23 Novembre 2015 da admin

Le parabole pure sono del tipo:

$y=x^{2}-4$

$y=x^{2}-16$

$y=x^{2}-0$

che più velocemente viene scritta come

$y=x^{2}$

Studio adesso quest’ultima.

Passo1: intersezioni con gli assi:

x=0

allora

y=0

ancora, se metto y=0

la x è ancora 0.

Passo 2: analisi della concavità

A=1

ossia la concavità è verso l’alto

Passo 3: coordinate del vertice

$-\cfrac{B}{2\cdot A}=-\cfrac{0}{2\cdot 1}=0$

$-\cfrac{B^{2}-4\cdot A\cdot C}{4\cdot A}=-\cfrac{0^{2}-4\cdot 1\cdot 0}{4\cdot 1}=0$

quindi li grafico risulta

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Rappresentazione parabola “spuria”

Pubblicato il 20 Novembre 2015 da admin

Per parabola spuria considero di questo tipo:

$y=x^{2}-4x$

1 passo: intersezioni con gli assi

pongo

$x=0$

ed ho:

$y=0$

pongo

$y=0$

$x^{2}-4x=0$

questa volta non serve usare la formula risolutiva per l’equazione di secondo grado ma è sufficiente raccogliere la x ossia:

$x\left ( x-4 \right )=0$

la prima parte conferma la soluzione già trovata precedentemente ossia

x=0

la seconda è la soluzione dell’equazione di primo grado:

$\left ( x-4 \right )=0$

ossia

$x=4$

passo2: analisi del coefficiente A per capire la concavità

A=1

per cui la concavità è verso l’alto.

Il grafico risulta quindi:

passo3: calcolo delle coordinate del vertice

A=1; B=-4; C=0

$-\cfrac{B}{2\cdot A}=-\cfrac{-4}{2}=2$

$-\cfrac{B^{2}-4\cdot A\cdot C}{4\cdot A}=-\cfrac{(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 0}{4}=-4$

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[:it]Esercizi sulla rappresentazione della parabola[:en]Esercizi sulla rappresentazione della parabola[:de]Übungen über die Darstellung der Parabel[:]

Pubblicato il 19 Novembre 2015 da admin

[:it]Rappresentare sul piano cartesiano la parabola di equazione

$y=x^{2}-9x+20$

1 punto: intersezioni con gli assi

calcolo dell’intersezione.

Pongo la x=0 ed ho

y=20.

Adesso pongo la y=0 e devo risolvere l’equazione di secondo grado:

$1\cdot x^{2}-9\cdot x+20 =0$

identifico la A, la B e la C ossia i tre coefficienti che mi permettono di risolvere l’equazione di secondo grado.

A= 1

B= -9

C=20

Li sostituisco nella:

$x_{1,2}=\cfrac{-B\pm \sqrt{B^{2}-4\cdot A\cdot C}}{2\cdot A}$

e viene:

$x_{1,2}=\cfrac{9\pm \sqrt{9^{2}-4\cdot 1\cdot 20}}{2\cdot 1}=\cfrac{9\pm \sqrt{81-80}}{2}=\cfrac{9\pm 1}{2}$

ho le seguenti intersezioni:

$x_{1}=\cfrac{9+1}{2}=\cfrac{10}{2}=5$

$x_{2}=\cfrac{9-1}{2}=\cfrac{8}{2}=4$

2 punto: analisi del segno di A

la A=1 quindi la parabola ha la concavità verso l’alto ossia è così fatta:

3 punto: coordinate del vertice

$-\cfrac{B}{2A}=-\cfrac{-9}{2\cdot 1}=\cfrac{9}{2}$

$-\cfrac{B^{2}-4\cdot A\cdot C}{4\cdot A}=-\cfrac{(-9)^{2}-4\cdot 1\cdot 20}{4\cdot 1}= -\cfrac{81-80}{4}=-\cfrac{1}{4}$

[:en]Rappresentare sul piano cartesiano la parabola di equazione

$y=x^{2}-9x+20$

1 punto: intersezioni con gli assi

calcolo dell’intersezione.

Pongo la x=0 ed ho

y=20.

Adesso pongo la y=0 e devo risolvere l’equazione di secondo grado:

$1\cdot x^{2}-9\cdot x+20 =0$

identifico la A, la B e la C ossia i tre coefficienti che mi permettono di risolvere l’equazione di secondo grado.

A= 1

B= -9

C=20

Li sostituisco nella:

$x_{1,2}=\cfrac{-B\pm \sqrt{B^{2}-4\cdot A\cdot C}}{2\cdot A}$

e viene:

$x_{1,2}=\cfrac{9\pm \sqrt{9^{2}-4\cdot 1\cdot 20}}{2\cdot 1}=\cfrac{9\pm \sqrt{81-80}}{2}=\cfrac{9\pm 1}{2}$

ho le seguenti intersezioni:

$x_{1}=\cfrac{9+1}{2}=\cfrac{10}{2}=5$

$x_{2}=\cfrac{9-1}{2}=\cfrac{8}{2}=4$

2 punto: analisi del segno di A

la A=1 quindi la parabola ha la concavità verso l’alto ossia è così fatta:

3 punto: coordinate del vertice

$-\cfrac{B}{2A}=-\cfrac{-9}{2\cdot 1}=\cfrac{9}{2}$

$-\cfrac{B^{2}-4\cdot A\cdot C}{4\cdot A}=-\cfrac{(-9)^{2}-4\cdot 1\cdot 20}{4\cdot 1}= -\cfrac{81-80}{4}=-\cfrac{1}{4}$

(versione tedesca)[:de]

Jim Warren

Stelle diejenige Parabel auf dem Koordinatensystem dar:

$y=x^{2}-9x+20$

Punkt 1: Interasektion der Axen

Rechnung der Intersektionen

Stelle x=0 und man erhält

y=20.

Jetzt stelle ich y=0 und muss die Gleichung des zweiten Grades lösen

$1\cdot x^{2}-9\cdot x+20 =0$

Ich identifiziere A,B und C als drei Koefitienten, die mir die Möglichkeit geben die Gleichung des zweiten Grades zu lösen.

A= 1

B= -9

C=20

Ích ersetze sie:

$x_{1,2}=\cfrac{-B\pm \sqrt{B^{2}-4\cdot A\cdot C}}{2\cdot A}$

und man hat:

$x_{1,2}=\cfrac{9\pm \sqrt{9^{2}-4\cdot 1\cdot 20}}{2\cdot 1}=\cfrac{9\pm \sqrt{81-80}}{2}=\cfrac{9\pm 1}{2}$

man hat die folgenden Intersektionen:

$x_{1}=\cfrac{9+1}{2}=\cfrac{10}{2}=5$

und

$x_{2}=\cfrac{9-1}{2}=\cfrac{8}{2}=4$

Punkt 2: Analyse des Zeichens A

Das A=1, also die Parabel hat Höhlung von unten nach oben; und wird so dargestellt:

Punkt 3: Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel:

$-\cfrac{B}{2A}=-\cfrac{-9}{2\cdot 1}=\cfrac{9}{2}$

$-\cfrac{B^{2}-4\cdot A\cdot C}{4\cdot A}=-\cfrac{(-9)^{2}-4\cdot 1\cdot 20}{4\cdot 1}= -\cfrac{81-80}{4}=-\cfrac{1}{4}$ [:]

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Problema su una funzione logaritmica parametrica con relativa disequazione

Disequazione logaritmica

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Parabola “pura” con due intersezioni con gli assi

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