Esercizi sui sistemi d’equazione suddivisi per livello

Pubblicato il 8 Dicembre 2015 da admin
morski

Igor Morski

Quale metodo usare per risolvere i sistemi d’equazione nel minor tempo possibile e in maniera corretta?

  • se ho già la x o la y espressa in funzione dell’altra conviene usare il metodo della sostituzione
  • se ho nelle due equazioni la x o la y con segno opposto conviene usare il metodo dell’addizione.
  • se ho già espresso la x o la y in funzione dell’altra variabile conviene usare il metodo del confronto.
  • in tutti i casi il metodo di Cramer è il più meccanico e veloce ma bisogna impostarlo bene e non sbagliare il determinante della radice.

Qui inserisco una serie di esercizi e nelle soluzioni inserisco il metodo che io ritengo migliore ma non necessariamente quello che tutti possono ritenere migliore. Alla fine uno può trovarsi meglio aver usato un metodo invece che un altro.

Esercizi facili per prendere la mano (6)

6.1. \left\{\begin{matrix} x+y=7\\ x-y=3\end{matrix}\right.  \left [ \left ( 5,2 \right ) \right ]
6.2. \left\{\begin{matrix} x+y=5\\ -x=y-3\end{matrix}\right. \left [ impossibile \right ]
6.3. \left\{\begin{matrix} x=2y\\ 3x-4y=-2\end{matrix}\right.  \left [ \left ( -2,-1 \right ) \right ]
6.4. \left\{\begin{matrix} y=2\\ 2x-3y+4=0\end{matrix}\right.  \left [ \left ( 1,2 \right ) \right ]
6.5. \left\{\begin{matrix} x+2y=13\\ x-y=-2\end{matrix}\right. \left [ \left ( 3,5 \right ) \right ]
6.6. \left\{\begin{matrix} x=4-2y\\ x-4y=-5\end{matrix}\right. \left [ \left ( 1,\cfrac{3}{2} \right ) \right ]
6.7. \left\{\begin{matrix} x+y=4\\ 6x-2y=16\end{matrix}\right. \left [ \left (3,1 \right ) \right ]

Esercizi più complessi (7)

7.1. \left\{\begin{matrix} 3x+2y=-5\\ 2x+y=-3\end{matrix}\right.  \left [ \left ( -1,-1 \right ) \right ]
7.2. \left\{\begin{matrix} 3y-2x=-7\\ 3x-2y=8\end{matrix}\right. \left [ \left ( 2,-1 \right ) \right ]
7.3. \left\{\begin{matrix} 3y-2x=-7\\ 3x-2y=8\end{matrix}\right.   \left [ indeterminata \right ]
7.4. \left\{\begin{matrix} 3y=2x-4\\ \cfrac{2}{3}x-y=x-\cfrac{1}{3}\end{matrix}\right.   \left [ \left ( \cfrac{5}{3},-\cfrac{2}{9} \right ) \right ]
7.5. \left\{\begin{matrix} x+y=8\\ \cfrac{3}{4}x+y=6\end{matrix}\right. \left [ \left (8,0 \right ) \right ]
7.6. \left\{\begin{matrix} \cfrac{1}{2}x-y=x-\cfrac{4}{3}\\ \cfrac{3}{4}x+y=6\end{matrix}\right. \left [ \left (-2,-3 \right ) \right ]

Verso un buon livello (8)

 8.1. \left\{\begin{matrix} \cfrac{x+1}{3}=1-y\\ \cfrac{1}{4}x+2y=\cfrac{7}{4}\end{matrix}\right.  \left [ \left (-1,-1 \right ) \right ]

Verso il l’ottimo (9)

 9.1. \left\{\begin{matrix} \cfrac{x-1}{3}+\cfrac{y+2}{4}=\cfrac{5}{12}\\ 6x-6y=1\end{matrix}\right.  \left [ \left (\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{3} \right ) \right ]

L’ottimo (10)

 10.1. \left\{\begin{matrix} \cfrac{3(x-6)}{4}+\cfrac{4(y-7)}{5}=\cfrac{x+4}{10}-\cfrac{y-3}{4}\\ \cfrac{2x}{3}-\cfrac{y+1}{2}=\cfrac{3(x-1}{5}-\cfrac{5y+1}{12}\end{matrix}\right.  \left [ \left (6,7 \right ) \right ]
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INVALSI- ON LINE – Quiz sui grafici

Pubblicato il 26 Novembre 2015 da admin

thR119OVK7[WpProQuiz 2]

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INVALSI ON LINE – QUIZ sulla Retta

Pubblicato il 23 Novembre 2015 da admin

untitled

[WpProQuiz 1]

 

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Parabola “pura” con due intersezioni con gli assi

Pubblicato il 23 Novembre 2015 da admin

Si studi la seguente parabola:

y=x^{2}-4

primo passo: intersezioni con gli assi:

pongo x=0

allora si ha:

y=-4

pongo y=0

devo risolvere l’equazione

x^{2}-4=0

per esercitarsi su questo tipo di equazioni si può andare al seguente link:

risoluzione equazioni di secondo grado pure

che ha come soluzioni:

x_{1,2}=\pm \sqrt{4}=\pm 2

secondo passo: analisi della concavità

A=1

essendo positiva la concavità è sempre verso l’alto

pura2

 

 

 

 

 

terzo passo: calcolo del vertice

A=1; B=0; C=-4

-\cfrac{B}{2\cdot A}=-\cfrac{0}{2\cdot 1}=0

-\cfrac{B^{2}-4\cdot A\cdot C}{4\cdot A}=-\frac{0^{2}-4\cdot 1\cdot (-4))}{4\cdot 1}=-\cfrac{16}{4}=-4

 

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Parabola “pura”

Pubblicato il 23 Novembre 2015 da admin

Le parabole pure sono del tipo:

y=x^{2}-4

 

y=x^{2}-16

 

y=x^{2}-0

 

che più velocemente viene scritta come

y=x^{2}

Studio adesso quest’ultima.

Passo1: intersezioni con gli assi:

x=0

allora

y=0

ancora, se metto y=0

la x è ancora 0.

Passo 2: analisi della concavità

A=1

ossia la concavità è verso l’alto

Passo 3: coordinate del vertice

-\cfrac{B}{2\cdot A}=-\cfrac{0}{2\cdot 1}=0

 

-\cfrac{B^{2}-4\cdot A\cdot C}{4\cdot A}=-\cfrac{0^{2}-4\cdot 1\cdot 0}{4\cdot 1}=0

quindi li grafico risulta

pura

 

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Rappresentazione parabola “spuria”

Pubblicato il 20 Novembre 2015 da admin

Per parabola spuria considero di questo tipo:

y=x^{2}-4x

1 passo: intersezioni con gli assi

pongo

x=0

ed ho:

y=0

pongo

y=0

 

x^{2}-4x=0

questa volta non serve usare la formula risolutiva per l’equazione di secondo grado ma è sufficiente raccogliere la x ossia:

x\left ( x-4 \right )=0

la prima parte conferma la soluzione già trovata precedentemente ossia

x=0

la seconda è la soluzione dell’equazione di primo grado:

\left ( x-4 \right )=0

ossia

x=4

passo2: analisi del coefficiente A per capire la concavità

A=1

per cui la concavità è verso l’alto.

Il grafico risulta quindi:

spuria

 

 

 

 

 

 

passo3: calcolo delle coordinate del vertice

A=1; B=-4; C=0

-\cfrac{B}{2\cdot A}=-\cfrac{-4}{2}=2

 

-\cfrac{B^{2}-4\cdot A\cdot C}{4\cdot A}=-\cfrac{(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 0}{4}=-4

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[:it]Esercizi sulla rappresentazione della parabola[:en]Esercizi sulla rappresentazione della parabola[:de]Übungen über die Darstellung der Parabel[:]

Pubblicato il 19 Novembre 2015 da admin

[:it]images9IDNS3IBRappresentare sul piano cartesiano la parabola di equazione

y=x^{2}-9x+20

1 punto: intersezioni con gli assi

calcolo dell’intersezione.

Pongo la x=0 ed ho

y=20.

Adesso pongo la y=0 e devo risolvere l’equazione di secondo grado:

1\cdot x^{2}-9\cdot x+20 =0

identifico la A, la B e la C ossia i tre coefficienti che mi permettono di risolvere l’equazione di secondo grado.

A= 1

B= -9

C=20

Li sostituisco nella:

x_{1,2}=\cfrac{-B\pm \sqrt{B^{2}-4\cdot A\cdot C}}{2\cdot A}

e viene:

x_{1,2}=\cfrac{9\pm \sqrt{9^{2}-4\cdot 1\cdot 20}}{2\cdot 1}=\cfrac{9\pm \sqrt{81-80}}{2}=\cfrac{9\pm 1}{2}

ho le seguenti intersezioni:

x_{1}=\cfrac{9+1}{2}=\cfrac{10}{2}=5

e

x_{2}=\cfrac{9-1}{2}=\cfrac{8}{2}=4

2 punto: analisi del segno di A

la A=1 quindi la parabola ha la concavità verso l’alto ossia è così fatta:

sadas

 

 

 

 

 

3 punto: coordinate del vertice

-\cfrac{B}{2A}=-\cfrac{-9}{2\cdot 1}=\cfrac{9}{2}

-\cfrac{B^{2}-4\cdot A\cdot C}{4\cdot A}=-\cfrac{(-9)^{2}-4\cdot 1\cdot 20}{4\cdot 1}= -\cfrac{81-80}{4}=-\cfrac{1}{4}

 [:en]images9IDNS3IBRappresentare sul piano cartesiano la parabola di equazione

y=x^{2}-9x+20

1 punto: intersezioni con gli assi

calcolo dell’intersezione.

Pongo la x=0 ed ho

y=20.

Adesso pongo la y=0 e devo risolvere l’equazione di secondo grado:

1\cdot x^{2}-9\cdot x+20 =0

identifico la A, la B e la C ossia i tre coefficienti che mi permettono di risolvere l’equazione di secondo grado.

A= 1

B= -9

C=20

Li sostituisco nella:

x_{1,2}=\cfrac{-B\pm \sqrt{B^{2}-4\cdot A\cdot C}}{2\cdot A}

e viene:

x_{1,2}=\cfrac{9\pm \sqrt{9^{2}-4\cdot 1\cdot 20}}{2\cdot 1}=\cfrac{9\pm \sqrt{81-80}}{2}=\cfrac{9\pm 1}{2}

ho le seguenti intersezioni:

x_{1}=\cfrac{9+1}{2}=\cfrac{10}{2}=5

e

x_{2}=\cfrac{9-1}{2}=\cfrac{8}{2}=4

2 punto: analisi del segno di A

la A=1 quindi la parabola ha la concavità verso l’alto ossia è così fatta:

sadas

 

 

 

 

 

3 punto: coordinate del vertice

-\cfrac{B}{2A}=-\cfrac{-9}{2\cdot 1}=\cfrac{9}{2}

-\cfrac{B^{2}-4\cdot A\cdot C}{4\cdot A}=-\cfrac{(-9)^{2}-4\cdot 1\cdot 20}{4\cdot 1}= -\cfrac{81-80}{4}=-\cfrac{1}{4}

(versione tedesca)[:de]

thYYH0K4C9

Jim Warren

Stelle diejenige Parabel auf dem Koordinatensystem dar:

y=x^{2}-9x+20

Punkt 1: Interasektion der Axen

Rechnung der Intersektionen

Stelle x=0 und man erhält

y=20.

Jetzt stelle ich y=0 und muss die Gleichung des zweiten Grades lösen

1\cdot x^{2}-9\cdot x+20 =0

Ich identifiziere A,B und C als drei Koefitienten, die mir die Möglichkeit geben die Gleichung des zweiten Grades zu lösen.

A= 1

B= -9

C=20

Ích ersetze sie:

x_{1,2}=\cfrac{-B\pm \sqrt{B^{2}-4\cdot A\cdot C}}{2\cdot A}

und man hat:

x_{1,2}=\cfrac{9\pm \sqrt{9^{2}-4\cdot 1\cdot 20}}{2\cdot 1}=\cfrac{9\pm \sqrt{81-80}}{2}=\cfrac{9\pm 1}{2}

man hat die folgenden Intersektionen:

x_{1}=\cfrac{9+1}{2}=\cfrac{10}{2}=5

und

x_{2}=\cfrac{9-1}{2}=\cfrac{8}{2}=4

Punkt 2: Analyse des Zeichens A

Das A=1, also die Parabel hat Höhlung von unten nach oben; und wird so dargestellt:

sadas

Punkt 3: Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel:

-\cfrac{B}{2A}=-\cfrac{-9}{2\cdot 1}=\cfrac{9}{2}

-\cfrac{B^{2}-4\cdot A\cdot C}{4\cdot A}=-\cfrac{(-9)^{2}-4\cdot 1\cdot 20}{4\cdot 1}= -\cfrac{81-80}{4}=-\cfrac{1}{4}[:]

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I tre passi per rappresentare una parabola

Pubblicato il 19 Novembre 2015 da admin

imagesIFY91FGLI passi per rappresentare un parabola sul piano cartesiano sono

  • intersezioni: con l’asse delle x (ponendo a zero la y); con l’asse delle y (ponendo a zero la x)
  • valutare il segno del coefficiente che moltiplica la x alla seconda
  • Calcolare il vertice della parabola che ha coordinate:

V \left ( -\cfrac{B}{2\cdot A}; -\cfrac{B^{2}-4\cdot A\cdot C}{4\cdot A} \right)

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INVALSI – Raccolta dei problemi solo sul piano cartesiano/retta/applicazioni

Pubblicato il 19 Novembre 2015 da admin

untitledTale raccolta nasce per creare un modulo di approfondimento per affrontare quella pletora di argomenti sul piano cartesiano e retta.

piano_cartesiano_INVALSI

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INVALSI secondaria secondo grado a/s 2012/2013

Pubblicato il 12 Novembre 2015 da admin

invalsi_matematica_2012-2013_secondarisa_seconda

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