Proprietà dei logaritmi

Pubblicato il 12 Gennaio 2016 da admin
  1. kandinsky_black-violet\log_{a}a=1
  2. \log_{a}1=0
  3. \log_{a}b+\log _{a}c=\log _{a}(b\cdot c)
  4. \log_{a}b-\log _{a}c=\log _{a}\left ( \cfrac{b}{c} \right )
  5. b\log _{a}c=\log _{a}c^{b}
  6. \log _{a}b=\cfrac{\log _{c}b}{\log _{c}a}

Esempi sulle precedenti proprietà

  1. \log _{5}5=1
  2. \log _{5}1=0
  3. \log _{3}5+\log _{3}8=\log_{3}40
  4. \log _{3}10+\log _{3}2=\log_{3}5
  5. 4\log _{3}2=\log_{3}2^{4}=\log _{3}16
  6. \log _{5}3=\cfrac{\log _{10}3}{\log _{10}5}
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Esercizi sulla determinazione dei massimi e minimi

Pubblicato il 11 Gennaio 2016 da admin
  1. CRI_151474Determinare il massimo ed il minimo assoluti della funzione:

y=2x^{3}-15x^{2}+24x

nell’intervallo chiuso

\left [ 1;5 \right ]

soluzione

2. Determinare il massimo ed il minimo assoluti della funzione

f(x)=\cfrac{e^{-x}}{x}

nell’intervallo

\left [ -2;-\cfrac{1}{2} \right ]

soluzione

3. Determinare il massimo ed il minimo assoluti della funzione:

f(x)=x\cdot \ln x

nell’intervallo:

\left [ \cfrac{1}{e^{2}};e \right ]

soluzione

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INVALSI ON LINE – Quiz di logica e calcoli

Pubblicato il 3 Gennaio 2016 da admin

th9AD4KUZ9[WpProQuiz 5]

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Problema su una funzione logaritmica parametrica con relativa disequazione

Pubblicato il 1 Gennaio 2016 da admin

Data la funzione:

f(x)=a\cdot \log_{2} \left ( x+b \right )

 

a) calcola a e b sapendo che il suo grafico passa per l’origine e interseca la retta di equazione y=4 nel punto di ascissa 3.

b) rappresenta il grafico di f(x) per i valori di a e b trovati

c) risolvi analiticamente e graficamente la disequazione:

2\cdot \log _{2}\left ( x+1 \right )\geq 3-\log _{\frac{1}{2}}x

 

Sviluppo.

a) Passando per l’origine deve essere soddisfatta la

(1) a\cdot \log _{2}b=0

e affermare che interseca una retta in un particolare punto significa che quel punto appartiene  alla curva per cui deve valere anche questa relazione:

(2) a\cdot \log _{2}\left ( 3+b \right )=4

analizzando la (1)

a\neq 0

perché se così non fosse la funzione di partenza degenerebbe in un punto coincidente con l’origine.

Risolvo l’equazione:

\log _{2}b=0

che equivale a scrivere (partendo dalla definizione stessa di logaritmo)

2^{0}=b

che fornisce il valore

b=1.

Sostituendo adesso il valore trovato nella (2) si deve risolvere l’equazione:

a\cdot \log _{2}4=4

ma

\log _{2}4=2.

2a=4.

a=2.

la funzione di partenza diventa:

f(x)=2\cdot \log_{2} \left ( x+1 \right )

 

b) Per rappresentare la funzione

f(x)=2\cdot \log_{2} \left ( x+1 \right )

posso non utilizzare le conoscenze della derivata per la sua rappresentazione partendo dal grafico della funzione

f(x)=\log _{2}x

che è:

<img loading=” width=”1341″ height=”1034″ />

La moltiplicazione per 2 fa sì soltanto che sia un po’ più alta (si noti la linea rossa) e che tenda meno velocemente allo 0.

f(x)=2\cdot \log _{2}x

grafico logaritmo2

sommare 1 all’argomento della radice significa traslare all’indietro il grafico (linea blu identificata con la lettera h) con asintoto in x=-1

f(x)=2\cdot \log_{2} \left ( x+1 \right )

grafico logaritmo3

c) Risolvo adesso analiticamente la disequazione:

2\cdot \log _{2}\left ( x+1 \right )\geq 3-\log _{\frac{1}{2}}x.

\log _{\frac{1}{2}}x=\cfrac{\log _{2}x}{\log _{2}\frac{1}{2}}=\cfrac{\log _{2}x}{-1}=-\log _{2}x

che diventa:

2\cdot \log _{2}\left ( x+1 \right )\geq 3+\log _{2}x.

il dominio è dato dallo studio del sistema di disequazione fornito dagli argomenti dei due logaritmi ossia:

\left\{ \begin{array}{c} x+1>0 \\ x>0 \end{array} \right.

che mi dà come soluzione

x>0

torno alla disequazione che diventa:

\log _{2}\left ( x+1 \right )^{2}\geq \log _{2}2^{3}+\log _{2}x.

\log _{2}\left ( x+1 \right )^{2}\geq \log _{2}8x

Avendo la stessa base ed essendo questa maggiore di 1 posso studiare la disequazione:

x^{2}+2x+1-8x\geq 0.

x^{2}-6x+1\geq 0

Risolvo l’equazione associata:

x_{1,2}=\cfrac{6\pm \sqrt{36-4}}{2}=\cfrac{6\pm \sqrt{32}}{2}=\cfrac{6\pm 4\sqrt{2}}{2}=3\pm 2\sqrt{2}.

per risolvere la disequazione di secondo grado uso il metodo della parabola ossia:

disequazionei punti d’intersezione con l’asse x sono le soluzioni precedentemente trovate.

I valori per cui la parabola è maggiore di zero sono i valori esterni ma ricordandomi anche il dominio che era:

x>0

la soluzione della disequazione diventa:

0<x\leq 3-2\sqrt{2}

e

x\geq 3+\sqrt{2}.

Per risolverla graficamente studio le seguenti due funzioni:

y=2\cdot \log _{2}\left ( x+1 \right )

identificata con la linea rossa

e al funzione:

y=3+\log_{2}x

identificata con la linea blu.disequazionesi nota infatti che la linea rossa è sopra a quella blu per i valori precedentemente trovati analiticamente.

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Disequazione logaritmica

Pubblicato il 12 Dicembre 2015 da admin

log_{\frac{1}{a}}\left ( x-1 \right )-log_{a^{2}}\left (x-1 \right )>0

Per risolverla devo avere la stessa base

Per fare questo utilizzo la seguente proprietà:

log_{a}b=\cfrac{log_{c}b}{log_{c}a}

ossia:

log_{\frac{1}{a}}\left ( x-1 \right )=\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{log_{10}\left ( \cfrac{1}{a} \right )}=\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{log_{10}\left ( a^{-1} \right )}=\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{-log_{10}\left ( a \right )}=-\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{log_{10}\left ( a \right )}

e

log_{a^{2}}\left (x-1 \right )=\cfrac{log_{10(x-1)}}{log_{10}a^{2}}=\cfrac{log_{10(x-1)}}{2log_{10}a}

e inserendoli in quella di partenza ho:

-\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{log_{10}\left ( a \right )}-\cfrac{log_{10(x-1)}}{2log_{10}a}>0

e quindi facendo il m.c.m. la disequazione i di partenza diventa:

\cfrac{-2log_{10}(x-1)-log_{10}(x-1)}{2log_{10}a}>0

la disequazione di partenza è diventata:

\cfrac{-3log_{10}(x-1)}{2log_{10}a}>0

Lo studio del dominio parte dall’argomento del logaritmo posto al numeratore:

x-1>0

ossia

x>1

il dominio diventa:

D:\left \{ \forall x\epsilon \in {R}\mid x>1 \right \}

 

Adesso studio il segno del numeratore e del denominatore.

Il denominatore:

2log_{10}a>0

E’ positivo per

a>1

Mentre è negativo per

0<a<1

Il numeratore:

-3log_{10}(x-1)>0

il -3 viene rappresentato con una linea tratteggiata.

0=log_{10}1 e quindi diventa

log_{10}(x-1)>log_{10}1

Concentrandosi solo sugli argomenti devo risolvere la seguente semplice disequazione:

x-1>1

quindi

x>2

Ho la seguente rappresentazione grafica:

Immagine

Adesso unisco il denominatore, che mi fornisce la dipendenza della disequazione dal parametro, ed il segno del numeratore.

Per

a>1 il denominatore è positivo per cui ho il seguente schema:

Immagine

e quindi la prima soluzione è:

Per a>1

1<x<2

Per 0<a<1 il denominatore è negativo ed ho il seguente schema:

Immagine

ed ho la seconda soluzione:

Per 0<a<1

x>2

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INVALSI ON LINE – Quiz sulle potenze

Pubblicato il 12 Dicembre 2015 da admin

[:it]th2PHEJ9TC

Per affrontare con sicurezza questa parte dell’INVALSI è necessario avere queste competenze:

  • raccoglimento tra potenze. Ad esempio:

5^{3}+5^{2}=5^{2}\left ( \cfrac{5^{3}}{5^{2}}+\cfrac{5^{2}}{5^{2}} \right )

5^{3}+5^{2}=5^{2}\left ( 5+1 \right )=5^{2}\cdot 6

  • proprietà tra potenze.

Ad esempio:

\left (2^{3} \right )^{4}=2^{12}

  • aver capito bene il significato della numerazione a base 10.

Ad esempio

345=3\cdot 10^{2}+4\cdot 10^{1}+5\cdot 10^{0}
[WpProQuiz 4][:en]th2PHEJ9TC
[WpProQuiz 4][:de]th2PHEJ9TC
[WpProQuiz 4][:]

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Esercizi sui sistemi d’equazione suddivisi per livello

Pubblicato il 8 Dicembre 2015 da admin
morski

Igor Morski

Quale metodo usare per risolvere i sistemi d’equazione nel minor tempo possibile e in maniera corretta?

  • se ho già la x o la y espressa in funzione dell’altra conviene usare il metodo della sostituzione
  • se ho nelle due equazioni la x o la y con segno opposto conviene usare il metodo dell’addizione.
  • se ho già espresso la x o la y in funzione dell’altra variabile conviene usare il metodo del confronto.
  • in tutti i casi il metodo di Cramer è il più meccanico e veloce ma bisogna impostarlo bene e non sbagliare il determinante della radice.

Qui inserisco una serie di esercizi e nelle soluzioni inserisco il metodo che io ritengo migliore ma non necessariamente quello che tutti possono ritenere migliore. Alla fine uno può trovarsi meglio aver usato un metodo invece che un altro.

Esercizi facili per prendere la mano (6)

6.1. \left\{\begin{matrix} x+y=7\\ x-y=3\end{matrix}\right.  \left [ \left ( 5,2 \right ) \right ]
6.2. \left\{\begin{matrix} x+y=5\\ -x=y-3\end{matrix}\right. \left [ impossibile \right ]
6.3. \left\{\begin{matrix} x=2y\\ 3x-4y=-2\end{matrix}\right.  \left [ \left ( -2,-1 \right ) \right ]
6.4. \left\{\begin{matrix} y=2\\ 2x-3y+4=0\end{matrix}\right.  \left [ \left ( 1,2 \right ) \right ]
6.5. \left\{\begin{matrix} x+2y=13\\ x-y=-2\end{matrix}\right. \left [ \left ( 3,5 \right ) \right ]
6.6. \left\{\begin{matrix} x=4-2y\\ x-4y=-5\end{matrix}\right. \left [ \left ( 1,\cfrac{3}{2} \right ) \right ]
6.7. \left\{\begin{matrix} x+y=4\\ 6x-2y=16\end{matrix}\right. \left [ \left (3,1 \right ) \right ]

Esercizi più complessi (7)

7.1. \left\{\begin{matrix} 3x+2y=-5\\ 2x+y=-3\end{matrix}\right.  \left [ \left ( -1,-1 \right ) \right ]
7.2. \left\{\begin{matrix} 3y-2x=-7\\ 3x-2y=8\end{matrix}\right. \left [ \left ( 2,-1 \right ) \right ]
7.3. \left\{\begin{matrix} 3y-2x=-7\\ 3x-2y=8\end{matrix}\right.   \left [ indeterminata \right ]
7.4. \left\{\begin{matrix} 3y=2x-4\\ \cfrac{2}{3}x-y=x-\cfrac{1}{3}\end{matrix}\right.   \left [ \left ( \cfrac{5}{3},-\cfrac{2}{9} \right ) \right ]
7.5. \left\{\begin{matrix} x+y=8\\ \cfrac{3}{4}x+y=6\end{matrix}\right. \left [ \left (8,0 \right ) \right ]
7.6. \left\{\begin{matrix} \cfrac{1}{2}x-y=x-\cfrac{4}{3}\\ \cfrac{3}{4}x+y=6\end{matrix}\right. \left [ \left (-2,-3 \right ) \right ]

Verso un buon livello (8)

 8.1. \left\{\begin{matrix} \cfrac{x+1}{3}=1-y\\ \cfrac{1}{4}x+2y=\cfrac{7}{4}\end{matrix}\right.  \left [ \left (-1,-1 \right ) \right ]

Verso il l’ottimo (9)

 9.1. \left\{\begin{matrix} \cfrac{x-1}{3}+\cfrac{y+2}{4}=\cfrac{5}{12}\\ 6x-6y=1\end{matrix}\right.  \left [ \left (\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{3} \right ) \right ]

L’ottimo (10)

 10.1. \left\{\begin{matrix} \cfrac{3(x-6)}{4}+\cfrac{4(y-7)}{5}=\cfrac{x+4}{10}-\cfrac{y-3}{4}\\ \cfrac{2x}{3}-\cfrac{y+1}{2}=\cfrac{3(x-1}{5}-\cfrac{5y+1}{12}\end{matrix}\right.  \left [ \left (6,7 \right ) \right ]
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INVALSI- ON LINE – Quiz sui grafici

Pubblicato il 26 Novembre 2015 da admin

thR119OVK7[WpProQuiz 2]

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INVALSI ON LINE – QUIZ sulla Retta

Pubblicato il 23 Novembre 2015 da admin

untitled

[WpProQuiz 1]

 

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Parabola “pura” con due intersezioni con gli assi

Pubblicato il 23 Novembre 2015 da admin

Si studi la seguente parabola:

y=x^{2}-4

primo passo: intersezioni con gli assi:

pongo x=0

allora si ha:

y=-4

pongo y=0

devo risolvere l’equazione

x^{2}-4=0

per esercitarsi su questo tipo di equazioni si può andare al seguente link:

risoluzione equazioni di secondo grado pure

che ha come soluzioni:

x_{1,2}=\pm \sqrt{4}=\pm 2

secondo passo: analisi della concavità

A=1

essendo positiva la concavità è sempre verso l’alto

pura2

 

 

 

 

 

terzo passo: calcolo del vertice

A=1; B=0; C=-4

-\cfrac{B}{2\cdot A}=-\cfrac{0}{2\cdot 1}=0

-\cfrac{B^{2}-4\cdot A\cdot C}{4\cdot A}=-\frac{0^{2}-4\cdot 1\cdot (-4))}{4\cdot 1}=-\cfrac{16}{4}=-4

 

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