SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

Disequazione logaritmica

Pubblicato il 12 Dicembre 2015 da admin

$log_{\frac{1}{a}}\left ( x-1 \right )-log_{a^{2}}\left (x-1 \right )>0$

Per risolverla devo avere la stessa base

Per fare questo utilizzo la seguente proprietà:

$log_{a}b=\cfrac{log_{c}b}{log_{c}a}$

ossia:

$log_{\frac{1}{a}}\left ( x-1 \right )=\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{log_{10}\left ( \cfrac{1}{a} \right )}=\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{log_{10}\left ( a^{-1} \right )}=\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{-log_{10}\left ( a \right )}=-\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{log_{10}\left ( a \right )}$

$log_{a^{2}}\left (x-1 \right )=\cfrac{log_{10(x-1)}}{log_{10}a^{2}}=\cfrac{log_{10(x-1)}}{2log_{10}a}$

e inserendoli in quella di partenza ho:

$-\cfrac{log_{10\left ( x-1 \right )}}{log_{10}\left ( a \right )}-\cfrac{log_{10(x-1)}}{2log_{10}a}>0$

e quindi facendo il m.c.m. la disequazione i di partenza diventa:

$\cfrac{-2log_{10}(x-1)-log_{10}(x-1)}{2log_{10}a}>0$

la disequazione di partenza è diventata:

$\cfrac{-3log_{10}(x-1)}{2log_{10}a}>0$

Lo studio del dominio parte dall’argomento del logaritmo posto al numeratore:

$x-1>0$

ossia

$x>1$

il dominio diventa:

$D:\left \{ \forall x\epsilon \in {R}\mid x>1 \right \}$

Adesso studio il segno del numeratore e del denominatore.

Il denominatore:

$2log_{10}a$ >0

E’ positivo per

$a>1$

Mentre è negativo per

$0<a<1$

Il numeratore:

$-3log_{10}(x-1)>0$

il -3 viene rappresentato con una linea tratteggiata.

$0=log_{10}1$ e quindi diventa

$log_{10}(x-1)>log_{10}1$

Concentrandosi solo sugli argomenti devo risolvere la seguente semplice disequazione:

$x-1>1$

quindi

$x>2$

Ho la seguente rappresentazione grafica:

Immagine

Adesso unisco il denominatore, che mi fornisce la dipendenza della disequazione dal parametro, ed il segno del numeratore.

Per

$a>1$ il denominatore è positivo per cui ho il seguente schema:

Immagine

e quindi la prima soluzione è:

Per $a>1$

$1<x<2$

Per $0<a<1$ il denominatore è negativo ed ho il seguente schema:

Immagine

ed ho la seconda soluzione:

Per $0<a<1$

$x>2$

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INVALSI ON LINE – Quiz sulle potenze

Pubblicato il 12 Dicembre 2015 da admin

[:it]

Per affrontare con sicurezza questa parte dell’INVALSI è necessario avere queste competenze:

raccoglimento tra potenze. Ad esempio:

$5^{3}+5^{2}=5^{2}\left ( \cfrac{5^{3}}{5^{2}}+\cfrac{5^{2}}{5^{2}} \right )$

$5^{3}+5^{2}=5^{2}\left ( 5+1 \right )=5^{2}\cdot 6$

proprietà tra potenze.

Ad esempio:

$\left (2^{3} \right )^{4}=2^{12}$

aver capito bene il significato della numerazione a base 10.

Ad esempio

$345=3\cdot 10^{2}+4\cdot 10^{1}+5\cdot 10^{0}$
[WpProQuiz 4][:en]
[WpProQuiz 4][:de]
[WpProQuiz 4][:]

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Esercizi sui sistemi d’equazione suddivisi per livello

Pubblicato il 8 Dicembre 2015 da admin

Igor Morski

Quale metodo usare per risolvere i sistemi d’equazione nel minor tempo possibile e in maniera corretta?

se ho già la x o la y espressa in funzione dell’altra conviene usare il metodo della sostituzione
se ho nelle due equazioni la x o la y con segno opposto conviene usare il metodo dell’addizione.
se ho già espresso la x o la y in funzione dell’altra variabile conviene usare il metodo del confronto.
in tutti i casi il metodo di Cramer è il più meccanico e veloce ma bisogna impostarlo bene e non sbagliare il determinante della radice.

Qui inserisco una serie di esercizi e nelle soluzioni inserisco il metodo che io ritengo migliore ma non necessariamente quello che tutti possono ritenere migliore. Alla fine uno può trovarsi meglio aver usato un metodo invece che un altro.

Esercizi facili per prendere la mano (6)

6.1. $\left\{\begin{matrix} x+y=7\\ x-y=3\end{matrix}\right.$	$\left [ \left ( 5,2 \right ) \right ]$
6.2. $\left\{\begin{matrix} x+y=5\\ -x=y-3\end{matrix}\right.$	$\left [ impossibile \right ]$
6.3. $\left\{\begin{matrix} x=2y\\ 3x-4y=-2\end{matrix}\right.$	$\left [ \left ( -2,-1 \right ) \right ]$
6.4. $\left\{\begin{matrix} y=2\\ 2x-3y+4=0\end{matrix}\right.$	$\left [ \left ( 1,2 \right ) \right ]$
6.5. $\left\{\begin{matrix} x+2y=13\\ x-y=-2\end{matrix}\right.$	$\left [ \left ( 3,5 \right ) \right ]$
6.6. $\left\{\begin{matrix} x=4-2y\\ x-4y=-5\end{matrix}\right.$	$\left [ \left ( 1,\cfrac{3}{2} \right ) \right ]$
6.7. $\left\{\begin{matrix} x+y=4\\ 6x-2y=16\end{matrix}\right.$	$\left [ \left (3,1 \right ) \right ]$

Esercizi più complessi (7)

7.1. $\left\{\begin{matrix} 3x+2y=-5\\ 2x+y=-3\end{matrix}\right.$	$\left [ \left ( -1,-1 \right ) \right ]$
7.2. $\left\{\begin{matrix} 3y-2x=-7\\ 3x-2y=8\end{matrix}\right.$	$\left [ \left ( 2,-1 \right ) \right ]$
7.3. $\left\{\begin{matrix} 3y-2x=-7\\ 3x-2y=8\end{matrix}\right.$	$\left [ indeterminata \right ]$
7.4. $\left\{\begin{matrix} 3y=2x-4\\ \cfrac{2}{3}x-y=x-\cfrac{1}{3}\end{matrix}\right.$	$\left [ \left ( \cfrac{5}{3},-\cfrac{2}{9} \right ) \right ]$
7.5. $\left\{\begin{matrix} x+y=8\\ \cfrac{3}{4}x+y=6\end{matrix}\right.$	$\left [ \left (8,0 \right ) \right ]$
7.6. $\left\{\begin{matrix} \cfrac{1}{2}x-y=x-\cfrac{4}{3}\\ \cfrac{3}{4}x+y=6\end{matrix}\right.$	$\left [ \left (-2,-3 \right ) \right ]$

Verso un buon livello (8)

8.1. $\left\{\begin{matrix} \cfrac{x+1}{3}=1-y\\ \cfrac{1}{4}x+2y=\cfrac{7}{4}\end{matrix}\right.$

$\left [ \left (-1,-1 \right ) \right ]$

Verso il l’ottimo (9)

9.1. $\left\{\begin{matrix} \cfrac{x-1}{3}+\cfrac{y+2}{4}=\cfrac{5}{12}\\ 6x-6y=1\end{matrix}\right.$

$\left [ \left (\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{3} \right ) \right ]$

L’ottimo (10)

10.1. $\left\{\begin{matrix} \cfrac{3(x-6)}{4}+\cfrac{4(y-7)}{5}=\cfrac{x+4}{10}-\cfrac{y-3}{4}\\ \cfrac{2x}{3}-\cfrac{y+1}{2}=\cfrac{3(x-1}{5}-\cfrac{5y+1}{12}\end{matrix}\right.$

$\left [ \left (6,7 \right ) \right ]$

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INVALSI- ON LINE – Quiz sui grafici

Pubblicato il 26 Novembre 2015 da admin

thR119OVK7 [WpProQuiz 2]

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INVALSI ON LINE – QUIZ sulla Retta

Pubblicato il 23 Novembre 2015 da admin

[WpProQuiz 1]

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Parabola “pura” con due intersezioni con gli assi

Pubblicato il 23 Novembre 2015 da admin

Si studi la seguente parabola:

$y=x^{2}-4$

primo passo: intersezioni con gli assi:

pongo x=0

allora si ha:

y=-4

pongo y=0

devo risolvere l’equazione

$x^{2}-4=0$

per esercitarsi su questo tipo di equazioni si può andare al seguente link:

risoluzione equazioni di secondo grado pure

che ha come soluzioni:

$x_{1,2}=\pm \sqrt{4}=\pm 2$

secondo passo: analisi della concavità

A=1

essendo positiva la concavità è sempre verso l’alto

terzo passo: calcolo del vertice

A=1; B=0; C=-4

$-\cfrac{B}{2\cdot A}=-\cfrac{0}{2\cdot 1}=0$

$-\cfrac{B^{2}-4\cdot A\cdot C}{4\cdot A}=-\frac{0^{2}-4\cdot 1\cdot (-4))}{4\cdot 1}=-\cfrac{16}{4}=-4$

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Parabola “pura”

Pubblicato il 23 Novembre 2015 da admin

Le parabole pure sono del tipo:

$y=x^{2}-4$

$y=x^{2}-16$

$y=x^{2}-0$

che più velocemente viene scritta come

$y=x^{2}$

Studio adesso quest’ultima.

Passo1: intersezioni con gli assi:

x=0

allora

y=0

ancora, se metto y=0

la x è ancora 0.

Passo 2: analisi della concavità

A=1

ossia la concavità è verso l’alto

Passo 3: coordinate del vertice

$-\cfrac{B}{2\cdot A}=-\cfrac{0}{2\cdot 1}=0$

$-\cfrac{B^{2}-4\cdot A\cdot C}{4\cdot A}=-\cfrac{0^{2}-4\cdot 1\cdot 0}{4\cdot 1}=0$

quindi li grafico risulta

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Rappresentazione parabola “spuria”

Pubblicato il 20 Novembre 2015 da admin

Per parabola spuria considero di questo tipo:

$y=x^{2}-4x$

1 passo: intersezioni con gli assi

pongo

$x=0$

ed ho:

$y=0$

pongo

$y=0$

$x^{2}-4x=0$

questa volta non serve usare la formula risolutiva per l’equazione di secondo grado ma è sufficiente raccogliere la x ossia:

$x\left ( x-4 \right )=0$

la prima parte conferma la soluzione già trovata precedentemente ossia

x=0

la seconda è la soluzione dell’equazione di primo grado:

$\left ( x-4 \right )=0$

ossia

$x=4$

passo2: analisi del coefficiente A per capire la concavità

A=1

per cui la concavità è verso l’alto.

Il grafico risulta quindi:

passo3: calcolo delle coordinate del vertice

A=1; B=-4; C=0

$-\cfrac{B}{2\cdot A}=-\cfrac{-4}{2}=2$

$-\cfrac{B^{2}-4\cdot A\cdot C}{4\cdot A}=-\cfrac{(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 0}{4}=-4$

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[:it]Esercizi sulla rappresentazione della parabola[:en]Esercizi sulla rappresentazione della parabola[:de]Übungen über die Darstellung der Parabel[:]

Pubblicato il 19 Novembre 2015 da admin

[:it]Rappresentare sul piano cartesiano la parabola di equazione

$y=x^{2}-9x+20$

1 punto: intersezioni con gli assi

calcolo dell’intersezione.

Pongo la x=0 ed ho

y=20.

Adesso pongo la y=0 e devo risolvere l’equazione di secondo grado:

$1\cdot x^{2}-9\cdot x+20 =0$

identifico la A, la B e la C ossia i tre coefficienti che mi permettono di risolvere l’equazione di secondo grado.

A= 1

B= -9

C=20

Li sostituisco nella:

$x_{1,2}=\cfrac{-B\pm \sqrt{B^{2}-4\cdot A\cdot C}}{2\cdot A}$

e viene:

$x_{1,2}=\cfrac{9\pm \sqrt{9^{2}-4\cdot 1\cdot 20}}{2\cdot 1}=\cfrac{9\pm \sqrt{81-80}}{2}=\cfrac{9\pm 1}{2}$

ho le seguenti intersezioni:

$x_{1}=\cfrac{9+1}{2}=\cfrac{10}{2}=5$

$x_{2}=\cfrac{9-1}{2}=\cfrac{8}{2}=4$

2 punto: analisi del segno di A

la A=1 quindi la parabola ha la concavità verso l’alto ossia è così fatta:

3 punto: coordinate del vertice

$-\cfrac{B}{2A}=-\cfrac{-9}{2\cdot 1}=\cfrac{9}{2}$

$-\cfrac{B^{2}-4\cdot A\cdot C}{4\cdot A}=-\cfrac{(-9)^{2}-4\cdot 1\cdot 20}{4\cdot 1}= -\cfrac{81-80}{4}=-\cfrac{1}{4}$

[:en]Rappresentare sul piano cartesiano la parabola di equazione

$y=x^{2}-9x+20$

1 punto: intersezioni con gli assi

calcolo dell’intersezione.

Pongo la x=0 ed ho

y=20.

Adesso pongo la y=0 e devo risolvere l’equazione di secondo grado:

$1\cdot x^{2}-9\cdot x+20 =0$

identifico la A, la B e la C ossia i tre coefficienti che mi permettono di risolvere l’equazione di secondo grado.

A= 1

B= -9

C=20

Li sostituisco nella:

$x_{1,2}=\cfrac{-B\pm \sqrt{B^{2}-4\cdot A\cdot C}}{2\cdot A}$

e viene:

$x_{1,2}=\cfrac{9\pm \sqrt{9^{2}-4\cdot 1\cdot 20}}{2\cdot 1}=\cfrac{9\pm \sqrt{81-80}}{2}=\cfrac{9\pm 1}{2}$

ho le seguenti intersezioni:

$x_{1}=\cfrac{9+1}{2}=\cfrac{10}{2}=5$

$x_{2}=\cfrac{9-1}{2}=\cfrac{8}{2}=4$

2 punto: analisi del segno di A

la A=1 quindi la parabola ha la concavità verso l’alto ossia è così fatta:

3 punto: coordinate del vertice

$-\cfrac{B}{2A}=-\cfrac{-9}{2\cdot 1}=\cfrac{9}{2}$

$-\cfrac{B^{2}-4\cdot A\cdot C}{4\cdot A}=-\cfrac{(-9)^{2}-4\cdot 1\cdot 20}{4\cdot 1}= -\cfrac{81-80}{4}=-\cfrac{1}{4}$

(versione tedesca)[:de]

Jim Warren

Stelle diejenige Parabel auf dem Koordinatensystem dar:

$y=x^{2}-9x+20$

Punkt 1: Interasektion der Axen

Rechnung der Intersektionen

Stelle x=0 und man erhält

y=20.

Jetzt stelle ich y=0 und muss die Gleichung des zweiten Grades lösen

$1\cdot x^{2}-9\cdot x+20 =0$

Ich identifiziere A,B und C als drei Koefitienten, die mir die Möglichkeit geben die Gleichung des zweiten Grades zu lösen.

A= 1

B= -9

C=20

Ích ersetze sie:

$x_{1,2}=\cfrac{-B\pm \sqrt{B^{2}-4\cdot A\cdot C}}{2\cdot A}$

und man hat:

$x_{1,2}=\cfrac{9\pm \sqrt{9^{2}-4\cdot 1\cdot 20}}{2\cdot 1}=\cfrac{9\pm \sqrt{81-80}}{2}=\cfrac{9\pm 1}{2}$

man hat die folgenden Intersektionen:

$x_{1}=\cfrac{9+1}{2}=\cfrac{10}{2}=5$

und

$x_{2}=\cfrac{9-1}{2}=\cfrac{8}{2}=4$

Punkt 2: Analyse des Zeichens A

Das A=1, also die Parabel hat Höhlung von unten nach oben; und wird so dargestellt:

Punkt 3: Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel:

$-\cfrac{B}{2A}=-\cfrac{-9}{2\cdot 1}=\cfrac{9}{2}$

$-\cfrac{B^{2}-4\cdot A\cdot C}{4\cdot A}=-\cfrac{(-9)^{2}-4\cdot 1\cdot 20}{4\cdot 1}= -\cfrac{81-80}{4}=-\cfrac{1}{4}$ [:]

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I tre passi per rappresentare una parabola

Pubblicato il 19 Novembre 2015 da admin

I passi per rappresentare un parabola sul piano cartesiano sono

intersezioni: con l’asse delle x (ponendo a zero la y); con l’asse delle y (ponendo a zero la x)
valutare il segno del coefficiente che moltiplica la x alla seconda
Calcolare il vertice della parabola che ha coordinate:

$V \left ( -\cfrac{B}{2\cdot A}; -\cfrac{B^{2}-4\cdot A\cdot C}{4\cdot A} \right)$

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Disequazione logaritmica

INVALSI ON LINE – Quiz sulle potenze

Esercizi sui sistemi d’equazione suddivisi per livello

INVALSI- ON LINE – Quiz sui grafici

INVALSI ON LINE – QUIZ sulla Retta

Parabola “pura” con due intersezioni con gli assi

Parabola “pura”

Rappresentazione parabola “spuria”

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