SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

invalsi_matematica_2010-2011_secondaria_seconda

invalsi_matematica_2011-2012_secondaria_seconda

Le conoscenze richieste:

• retta
• esponenziale
• analisi di un grafico
• analisi di un piano cartesiano applicato alla realtà
• disequazioni applicate ad un problema pratico
• disequazioni con numeri decimali
• definizione di numero primo e relativa disequazione
• dimensione di una figura piana
• manualità con le potenze
• percentuale applicata
• concetto di moda, mediana e media e distribuzione di frequenza
• area delle figure piane
• analisi di una tabella
• retta
• equazioni di primo grado
• poligoni inscritti e circoscritti
• insiemistica
• stima pezzi difettosi
• simmetria delle figure piane
• divisione tra polinomi
• grafico velocità /spazio

invalsi_matematica_2013-2014_secondaria_seconda

L’unica difficoltà che vedo nel risolvere le equazioni di secondo grado è identificare in maniera chiara i numeri, meglio i coefficienti, della , della e quello che non ha entrambe.

Dopo aver preso questi numeri è sufficiente sostituirli nella formula che risolve l’equazione di secondo grado.

Ad esempio:

applico ora la formula risolutiva:

sostituendo alle lettere i relativi numeri ho:

quindi una soluzione prenderà il segno + mentre l’altra il segno – ossia:

Per verificare che i conti sviluppati sono corretti posso sostituire i valori 2 e 3 nell’equazione di partenza.

Sostituendo il 2 si ha:

ed infatti si ha un’identità:

In maniera analoga sostituendo il 3 si ha:

e si ha nuovamente un’identità:

RICAPITOLANDO

• Si identificano i tre numeri che caratterizzano l’equazione di secondo grado: quello che moltiplica il termine della x al quadrato, quello che moltiplica il termine della x ed infine quello che non ha la x al quadrato e la x “normale”.
• si sostituiscono i valori nella formula risolutiva
• facoltativamente si sostituiscono i valori trovati nell’equazione di partenza per verificare che le soluzioni trovate siano quelle corrette.

Quando si affronta il luogo dei punti del piano di nome parabola ci si imbatte inevitabilmente nel cercare di risolvere le equazioni di secondo grado.

Un’equazione di secondo grado si presenta nella forma:

Per risolverla si deve applicare la seguente formula risolutiva:

Si devono notare alcune cose:

La prima:

significa che si hanno 2 soluzioni che per distinguerle si indica appunto

e

La seconda:

è una radice quadrata e come tale deve avere al suo interno (argomento) il segno positivo.

Quest’affermazione di declina verificando che l’operazione

debba dare sempre una quantità positiva o nulla.

Nel caso in cui si abbia una quantità positiva significa che ho 2 soluzioni

Nel caso in cui ho una quantità pari a zero ho una sola soluzione

Nel caso in cui ho una quantità negativa non ho soluzioni .

Affrontando in classe la risoluzione dell’equazione di secondo grado, mi sono accorto che l’applicazione formale della formula risolutiva, sia che si tratti di un’equazione di primo grado o di grado superiore, crea un blocco e l’esclusione immediata di alcuni ragazzi.

Allora ho pensato di illustrare le seguenti situazioni:

1. attraverso un confine una sola volta è un’equazione di primo grado dove il confine o torrente è identificato dall’asse x

2. attraverso il confine due volte: ho un’equazione di secondo grado:

3. attraverso il confine tre volte: ho un’equazione di terzo grado:

Potrei avere magari comunque un’equazione di secondo grado ma essa tocca solo una volta il mare! Guardando la figura esplico il mio pensiero:

Come si vede la linea immaginaria tra la montagna ed il cielo forma una parabola e sembra che il cielo tocchi il mare solo in un punto.

Date le seguenti rette rappresentarle sul piano e determinare il loro punto di intersezione se esiste:

1) tra e

2) tra e

Data la retta:

e la retta:

trovare l’eventuale punto d’intersezione sia rappresentandole entrambe sullo stesso piano cartesiano che attraverso la risoluzione del sistema d’equazione di primo grado applicando il metodo risolutivo che si preferisce.

Per questo post ringrazio un ragazzo del liceo scientifico che mi ha stimolato a scriverlo.

Data la funzione trigonometrica:

determinarne il codominio e la periodicità ed il valore di  affinché abbia periodicità

Per arrivare alla soluzione vi sono diverse strade ma la più stimolante è sicuramente utilizzare le trasformazioni.

So che la funzione:

ha periodicità e codominio tra [-1 e 1].

Per inciso il codominio di una funzione è l’intervallo aperto o chiuso entro il quale la y assume determinati valori.

Infatti il grafico è:

y=sin(x)

Parto da quest’ultima per arrivare a quella di partenza.

Parto da questa:

(1)

pongo e quindi e  quindi la (1) diventa:

ossia:

(2)

In questo caso il codominio qual è?

il codominio è tra [-2;2]. Lo si vede anche dal seguente grafico:

y”=-2sin(x”)

adesso applico la seguente trasformazione:

lasciando

che permette di avere la (2) trasformata in:

che diventa

(3)

il codominio prima era tra [-2;2] quindi diventa:

ossia il codominio è tra [-3;1] che si vede anche dal grafico:

y”’=-2sin(x”’)-1

Adesso applico la trasformazione:

e

quindi la (3) diventa:

(4)

questa trasformazione non cambia la periodicità della mia funzione in quanto sommare o sottrarre una quantità all’argomento del seno fa sì che l’andamento periodico della funzione si sposti in avanti o indietro.

Infatti il grafico della (4) è uguale a quello della (3) solo spostato indietro:

la linea blu identifica la curva (3) mentre quella rossa la curva (4) che è uguale solo spostata all’indietro di .

Ultima trasformazione che va ad influire sul calcolo della periodicità.

e

allora la (4) diventa:

(5)

la periodicità diventa:

.

ossia è .

Se io volessi trovare il valore di k per cui la periodicità sia è sufficiente quindi risolvere questa semplice equazione:

che fornisce come soluzione 2!

Renè Magritte

Provare a risolvere le seguenti equazioni frazionarie in un’ora:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)