SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

Data la retta:

e la retta:

trovare l’eventuale punto d’intersezione sia rappresentandole entrambe sullo stesso piano cartesiano che attraverso la risoluzione del sistema d’equazione di primo grado applicando il metodo risolutivo che si preferisce.

Per questo post ringrazio un ragazzo del liceo scientifico che mi ha stimolato a scriverlo.

Data la funzione trigonometrica:

determinarne il codominio e la periodicità ed il valore di  affinché abbia periodicità

Per arrivare alla soluzione vi sono diverse strade ma la più stimolante è sicuramente utilizzare le trasformazioni.

So che la funzione:

ha periodicità e codominio tra [-1 e 1].

Per inciso il codominio di una funzione è l’intervallo aperto o chiuso entro il quale la y assume determinati valori.

Infatti il grafico è:

y=sin(x)

Parto da quest’ultima per arrivare a quella di partenza.

Parto da questa:

(1)

pongo e quindi e  quindi la (1) diventa:

ossia:

(2)

In questo caso il codominio qual è?

il codominio è tra [-2;2]. Lo si vede anche dal seguente grafico:

y”=-2sin(x”)

adesso applico la seguente trasformazione:

lasciando

che permette di avere la (2) trasformata in:

che diventa

(3)

il codominio prima era tra [-2;2] quindi diventa:

ossia il codominio è tra [-3;1] che si vede anche dal grafico:

y”’=-2sin(x”’)-1

Adesso applico la trasformazione:

e

quindi la (3) diventa:

(4)

questa trasformazione non cambia la periodicità della mia funzione in quanto sommare o sottrarre una quantità all’argomento del seno fa sì che l’andamento periodico della funzione si sposti in avanti o indietro.

Infatti il grafico della (4) è uguale a quello della (3) solo spostato indietro:

la linea blu identifica la curva (3) mentre quella rossa la curva (4) che è uguale solo spostata all’indietro di .

Ultima trasformazione che va ad influire sul calcolo della periodicità.

e

allora la (4) diventa:

(5)

la periodicità diventa:

.

ossia è .

Se io volessi trovare il valore di k per cui la periodicità sia è sufficiente quindi risolvere questa semplice equazione:

che fornisce come soluzione 2!

Renè Magritte

Provare a risolvere le seguenti equazioni frazionarie in un’ora:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Affermare che un punto appartiene ad una retta implica il fatto che si debba verificare che le coordinate del punto sostituite all’equazione della retta diano un’identità.

Dato un punto

con e , intendo la coordinata x e la coordinata y del mio generico punto P. Ad esempio P potrebbe avere le coordinate 3 e 4 ed indentificarlo quindi come

P(3;4) con  e

perché questo punto appartenga ad r e si indica come

si devono sostituire le sue coordinate x e y nell’equazione della retta:

ossia data una retta:

la relazione

deve essere un’identità.

Ad esempio dato

P(3;4) verificare che appartenga a

si devono sostituire le sue coordinate e verificare che si abbia un’identità:

y è uguale a 4 mentre x è uguale a 3 quindi:

4 = 3 + 1.

Essa è un’identità ossia la parte di sinistra è uguale alla parte di destra.

e si indica appunto che 

ma il punto G(5;15) appartiene alla retta?

Si sviluppa il problema nella stesa maniera:

x=5 mentre y=15 …

15 = 5 +1

ma 15 non è ugual a 6 per cui il punto G non appartiene alla retta e si indica:

Attenzione ai segni dei denominatori negli esercizi 1 – 2- 3

1)
2)
3)

4)

5)

Renè Magritte

Gli esercizi sono suddivisi per livello.

Il trucco per risolverle è quello di analizzare prima il denominatore e poi fare il minimo comune multiplo tra i denominatori.

Se al denominatore compaiono numeri e polinomi o monomi, fare il m.c.m. prima dei numeri e poi quello tra i monomi o i polinomi.

Esercizi per un livello sufficiente (6):

6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
6.11.
6.12.

Per un livello discreto (7)

Renè Magritte, La sera che cade, 1964

Le equazioni razionali frazionarie sono quelle che non hanno l’incognita sotto radice ma hanno l’incognita al denominatore ed al numeratore.

In pratica un’equazione frazionaria (da adeso in poi continuerò a chiamarla cosi)  è del tipo:

(1)  

Si risolve con i normali metodi di un’equazione di primo grado con un’avvertenza: quando si semplifica il denominatore bisogna studiare il dominio entro il quale l’equazione ha soluzione o più banalmente il CAMPO D’ACCETTABILITA’, meglio ancora, i valori consentiti che risolvono l’equazione.

Per arrivare a risolvere l’equazione usata come esempio, preferisco richiamare come si sviluppa un’espressione con soli numeri, con numeri e lettere per poi arrivare a risolvere la (1).

Prendo l’espressione:

essa si sviluppa prendendo il minimo comune multiplo del denominatore ossia

quindi l’espressione diventa:

Adesso prendo l’espressione:

essa si sviluppa prendendo il minimo comune multiplo del denominatore ossia

quindi l’espressione diventa:

Focalizzo l’attenzione sul denominatore ossia perché possa aver senso, A e B dovranno essere sempre diversi da zero altrimenti dividerei qualcosa per zero e ciò è impossibile.

Adesso torno all’equazione di partenza:

(1)  

Faccio il minimo comune multiplo pensando che

A= x-1

e

B=x-2

Quindi l’equazione diventa:

Studiando il C.A. (campo d’accettabilità) devo porre:

e

Fatto questo posso semplificare il denominatore e risolvo una semplice equazione di primo grado:

che ha come soluzione

Video su un’equazione frazionaria:

Equazione frazionaria

Tale Post vuole essere il primo che permetta la preparazione al test INVALSI per la seconda superiore.

Prerequisito la capacità di saper leggere con attenzione una domanda.

Evidenzio le capacità che si richiedono per poter affrontare con una certa sicurezza la prova.

• analisi di un grafico: conoscenza della rappresentazione di un punto sul piano cartesiano.
• essere in grado di risolvere le disequazioni di secondo grado oppure capire il significato di soluzione di una disequazione
• Differenza tra il concetto di necessità e di sufficienza
• Conoscere le figure piane
• Da un problema impostare un’equazione
• Essere in grado di identificare la corrispondenza tra una retta e la sua rappresentazione sul piano cartesiano
• Problema di probabilità classico
• Applicare il teorema di Pitagora a triangoli simili
• Essere in grado di leggere una tabella
• Essere in grado di affrontate con sicurezza le percentuali
• Definizione ed analisi dei numeri irrazionali
• Concetto di media
• Essere in grado di trasportare dei dati dalla forma tabellare alla forma di grafico a torta
• Manualità con le formule
• Analisi delle probabilità in forma complessa
• Conoscere le disequazioni di primo grado
• Manualità con i monomi
• Essere in grado di manipolare le formule dei volumi dei solidi
• Capacità di astrazione delle figure –> molto utile fare disegno tecnico

Ecco la prova

invalsi_matematica_2014-2015_secondaria_seconda

Il problema presenta tutte le difficoltà di un tipico problema di una maturità scientifica; ottimo banco di prova per il passaggio a facoltà scientifiche.

Ecco la soluzione: