SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

Gino Severini

Per rispondere è necessario aver compreso fino in fondo la definizione di parabola, ellisse, iperbole, circonferenza ossia come opportuni luoghi geometrici che soddisfano a delle condizioni che determinano le relazioni tra x e y.

Nel caso specifico il centro delle nostre generiche circonferenze giacciono tutte sulla parabola quindi il centro ha coordinate:

e raggio

quindi la circonferenza generica ha equazione:

(1)

Essa è proprio tangente all’asse delle ascisse in quanto ponendo si osserva che tocca l’asse solo in un punto generico infatti la (1) diventa: che è un prodotto notevole.

Mettendolo poi in sistema con l’equazione:

si ha ancora una soluzione per cui è dimostrato l’asserzione iniziale.

La seconda parte del quesito richiede di mettere a sistema la (1) con la circonferenza:

e si trova la circonferenza voluta.

Gino Severini

Per risolvere il problema bisogna legger bene le premesse; dipanate opportunamente, lo sviluppo va molto più velocemente di quanto ci si potesse aspettare. E’ solo involuto il testo che presuppone un’immediata intuizione delle funzioni che entrano in gioco.

“Nel primo quadrante del sistema di riferimento Oxy sono assegnati l’arco di circonferenza di
centro O e estremi A(3, 0) e B(0, 3)”  è un arco di circonferenza con equazione:

ossia circonfernza con centro in O(0;0) e raggio r=3.

“l’arco L della parabola d’equazione  i cui estremi sono il punto A e il punto (0, 3/2).” è una semplicissima parabola con equazione:

che messo nella forma più conosciuta è:

(1)

Tale parabola ha concavità verso il basso. Per determinare il vertice calcolo la derivata prima e poi la annullo:

ossia si annulla in che sostituita nella (1) si trova l’ordinata del vertice che risulta:

I punti di intersezione sono uno il vertice (con l’asse delle ordinate) ,gli altri si determinano con la condizione ; i due valori per cui la parabola tocca l’asse delle ascisse sono quelli che risolvono l’equazione di secondo grado:

che sono appunto .

Adesso si mette il tutto sul piano cartesiano:

1) Per determinare la retta tangente in A che è un punto di appartenenza della parabola è sufficiente considerare il valore della derivata prima in A.

Retta passante per A ha equazione:

la derivata prima della parabola in A vale

per cui la retta r ha equazione

Aggiorno il disegno che permette di capire bene la domanda:

Per calcolare l’area si ha un semplice integrale. Per la parte superiore si fa un quarto di circonferenza di raggio 3 meno il triangolo che forma la retta con gli assi cartesiani, triangolo di base 3 ed altezza 3.

.

La parte inferiore invece presuppone sviluppare un integrale:

2) La seconda domanda è un’applicazione immediata del concetto di integrale il quale fornisce o un’area se viene data una retta che delimita una parte di piano o un volume se viene data una parte spazio. L’integrale ossia è la sommatoria di tanti infinitesimi. Nel caso specifico si ha l’area di una sezione, sommando tutte le sezioni nell’intervallo dato si ha il volume per cui è sufficiente calcolare l’integrale definito:

3) Si utilizzi la formula per il calcolo del volume di un solido ottenuto dalla rotazione della differenza di due funzioni che sono:

e ossia:

=

Renè Magritte – Le passeggiate d’Euclide – 1955

16)

-a- Dominio della funzione:

Essendo una funzione frazionaria i punti in cui non è definita la funzione sono quelli che annullano il denominatore:

che non ha soluzioni nel campo dei numeri reali.

-b- Segno della funzione

N:

D: è sempre positivo

Quindi la y è positiva per i valori di x minori di 1.

-c- Limiti

Non ci sono limiti verticali proprio per il Dominio

Cerco il limiti orizzontali:

Quindi si ha un limite orizzontale

Verifico la presenza o meno del limite obliquo:

non si ha limite obliquo

d) Massimi o minimi

lo annullo per verificare la presenza di massimi o minimi relativi.

Divido per 8 e risulta:

Approssimo le relative soluzioni:

e

Studio la disequazione:

per capire quale dei due è il punto di massimo e di minimo:

quindi:

è il punto di MASSIMO

è il punto di minimo

Per trovare la relativa ordinata si sostituiscono all’equazione di partenza (16)

e si trova:

  e

e) Intersezioni

Pongo e trovo

Pongo e trovo

f)  grafico