SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

Continuità di funzione

Pubblicato il 26 Maggio 2012 da admin

Carlo Carrà

Una funzione si dice continua se è possibile disegnarne il grafico senza staccare la matita dal foglio di carta.

Non staccare mai la matita dalla carta equivale a dire che a ogni minimo incremento nella direzione dell’asse x deve corrispondere un altrettanto minimo incremento nella direzione dell’asse y.

Una funzione si dice continua a destra in un punto se incrementando x di un infinitesimo dx, anche la y varia al massimo di un infinitesimo dy.

Una funzione si dice continua a sinistra in un punto se incrementando x di un infinitesimo dx, anche la y varia al massimo di un infinitesimo dy.

Ecco un esempio di funzione continua:

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Esempi di studio di funzione

Pubblicato il 25 Maggio 2012 da admin

1) $y=\cfrac{3+x}{x-2}$ soluzione

2) $y=\cfrac{x+4}{x^{2}}$ soluzione

3) $y=\cfrac{x^{3}+8}{x}$ soluzione

4) $y=\cfrac{4}{x^{2}+3}$ soluzione

5) $y=\cfrac{(x+1)^{3}}{x-1}$ soluzione

6) $y=-\cfrac{(x)^{2}}{8-x^{3}}$ soluzione

7) $y=\cfrac{4x}{2x+1}$ soluzione

8) $y=\cfrac{x^{3}+1}{x^{2}}$ soluzione

9) $y=2x+\cfrac{1}{x-1}$ soluzione

10) $y=\cfrac{x^{2}}{x^{3}-1}$ soluzione

11) $y=\cfrac{x^{2}}{x^{2}+4}$ soluzione

12) $y=\cfrac{x^{2}+2x+1}{2-x}$ soluzione

13) $y=\cfrac{x^{3}-8}{x^{3}}$ soluzione

14) $y=\cfrac{2x}{x^{2}-x-2}$ soluzione

15) $y=\cfrac{4x}{9-x^{2}}$ soluzione

16) $y=\cfrac{2-2x}{4x^{2}+4}$ soluzione

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Trasformata di Laplace esercizi

Pubblicato il 23 Maggio 2012 da admin

[:it]Trovare l’antitrasformata di Laplace di

a) $f(s)=\cfrac{e^{-5s}}{s^{3}}$

b) $f(s)=\cfrac{e^{-5s}}{(s-2)^{4}}$

Sviluppo

a) $\cfrac{1}{s^{3}}=L\left [ \cfrac{x^{2}}{2!} \right ]$

adesso uniamo il tutto e si ha che:

$f(s)=\cfrac{e^{-5s}}{s^{3}}=L\left [\cfrac{(x-5)^{2}}{2!}\cdot H(x-5) \right ]$

con $H(t-5)$ è la funzione gradino unitario di Heaviside che è definita così:

$H\left ( x-5 \right )=\left{\begin{matrix} 1 & x\geq 5\ 0 & x<5 \end{matrix}\right.$

b) Questo secondo esercizio è praticamente uguale al precedente

$f(s)=\cfrac{e^{-5s}}{(s-2)^{4}}=L\left [ \cfrac{\left ( t-5 right )^{3}}{6}e^{2(t-5)}cdot H(t-5) \right ]$

In particolare notare che l’argomento dell’esponenziale è uguale all’orgomento dell’elevazione al quadrato ed il 2 all’esponente corrisponde al 2 presente al denominatore della trasformata.[:en]

Renè Magritte

Trovare l’antitrasformata di Laplace di

a) $f(s)=cfrac{e^{-5s}}{s^{3}}$

b) $f(s)=cfrac{e^{-5s}}{(s-2)^{4}}$

Sviluppo

a) $cfrac{1}{s^{3}}=Lleft [ cfrac{x^{2}}{2!} right ]$

adesso uniamo il tutto e si ha che:

$f(s)=cfrac{e^{-5s}}{s^{3}}=Lleft [ cfrac{(x-5)^{2}}{2!}cdot H(x-5) right ]$

con $H(t-5)$ è la funzione gradino unitario di Heaviside che è definita così:

$Hleft ( x-5 right )=left{begin{matrix} 1 & xgeq 5\ 0 & x<5 end{matrix}right.$

b) Questo secondo esercizio è praticamente uguale al precedente

$f(s)=cfrac{e^{-5s}}{(s-2)^{4}}=Lleft [ cfrac{left ( t-5 right )^{3}}{6}e^{2(t-5)}cdot H(t-5) right ]$

Renè Magritte

Trovare l’antitrasformata di Laplace di

a) $f(s)=cfrac{e^{-5s}}{s^{3}}$

b) $f(s)=cfrac{e^{-5s}}{(s-2)^{4}}$

Sviluppo

a) $cfrac{1}{s^{3}}=Lleft [ cfrac{x^{2}}{2!} right ]$

adesso uniamo il tutto e si ha che:

$f(s)=cfrac{e^{-5s}}{s^{3}}=Lleft [ cfrac{(x-5)^{2}}{2!}cdot H(x-5) right ]$

con $H(t-5)$ è la funzione gradino unitario di Heaviside che è definita così:

$Hleft ( x-5 right )=left{begin{matrix} 1 & xgeq 5\ 0 & x<5 end{matrix}right.$

b) Questo secondo esercizio è praticamente uguale al precedente

$f(s)=cfrac{e^{-5s}}{(s-2)^{4}}=Lleft [ cfrac{left ( t-5 right )^{3}}{6}e^{2(t-5)}cdot H(t-5) right ]$

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Espressioni frazionarie polinomiali

Pubblicato il 22 Maggio 2012 da admin

Janek Jerka

Le espressioni polinomiali frazionarie sono il primo passo verso le equazioni frazioniarie.

Si sviluppano trovando il minimo comune multiplo del denominatore per poi seguire gli stessi identici passi usati per risolvere le operazioni tra frazioni.

Ecco il primo semplice esempio:

(1) $cfrac{1}{x+1}+cfrac{1}{x-1}$

Come si risolve?

il m.c.m tra $(x+1)$ e $(x-1)$ è il prodotto tra i due binomi ossia $(x+1)cdot (x-1)$

quindi la (1) come si risolve?

$cfrac{1}{x+1}+cfrac{1}{x-1}=cfrac{(x-1)+(x+1)}{(x+1)(x-1)}=cfrac{2x}{x^{2}-1}$

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Dilatazione termica ed esercizi riepilogativi.

Pubblicato il 17 Maggio 2012 da admin

DILATAZIONE TERMICA

● Un ponte in ferro [λ = 1,2 • 10 ^-5(°C) ^-1] alla temperatura di 35 °C ha una lunghezza di 45 m. Trovare la sua lunghezza quando la temperatura è di 0°C.

● Un ponte in ferro,[λ = 1,2 • 10 ^-5(°C) ^-1] , ha una lunghezza di 45 m. Quale sarà la sua lunghezza quando la temperatura passerà da 0°C a 35 °C ?

ESERCIZI RIEPILOGATIVI SU PESO SPECIFICO E DENSITÀ.

● Un oggetto d’alluminio di 2 cm³di volume, pesa 5,4 grammi. Calcola il suo peso specifico.

● Determina il volume di 7 Kg di benzina, sapendo che il peso specifico è di 700 Kg/m³.

● La densità del corpo umano è di circa 980 Kg/m³. Conoscendo il tuo peso ( cioè la tua massa) sei in grado di calcolare il volume che occupi?

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Applicazione immediata m.c.m e M.C.D

Pubblicato il 17 Maggio 2012 da admin

Quando si affrontano le equazioni frazionarie e la semplificazione tra polinomi è inispensabile conoscere rispettivamente il m.c.m e M.C.D.

Ecco il primo esempio:

$\cfrac{1}{a^{4}}+\cfrac{1}{a^{10}}+\cfrac{1}{a^{16}}$

Come si sviluppa?

Si deve fare il m.c.m del denominatore per svilupparlo ossia:

$\cfrac{a^{12}+a^{6}+1}{a^{16}}$

se ci si ricorda la somma tra frazioni si è sviluppato lo stesso procedimento!

Sviluppare adesso i seguenti esercizi:

al denominatore vi sarà sempre il m.cm.!

1) $\cfrac{7}{a}+\cfrac{8}{b}+\cfrac{6}{ab}$

2) $\cfrac{7}{x}+\cfrac{8}{x^{2}}$

3) $\cfrac{3a}{5b}+\cfrac{5b}{3a}$

4) $\cfrac{1}{x^{2}}+\cfrac{1}{3xy}+\cfrac{1}{4a}$

5) $\cfrac{1}{2x}+\cfrac{1}{4y}+\cfrac{1}{8x}$

Applicazioni per il M.C.D.

al numeratore di dovrà fare il M.C.D!

1) $\cfrac{3x^{2}+4x}{x}$

2) $\cfrac{4a^{2}+4a^{6}+3a^{4}}{4ax}$

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Le disequazioni: primi esercizi

Pubblicato il 17 Maggio 2012 da admin

Carlo Carrà

Si risolvano le seguenti disequazioni di primo grado:

$3x-1<7$
$3(x-7)\geq\cfrac{1}{2}x$
$3(x+1)^2 \leq\cfrac{1}{3}(3x-1)^2$
$3\left(x-\cfrac{1}{2}\right) < 7(x+1)$
$\cfrac{x^4-1}{x^2+1} \geq \cfrac{1}{4}(2x+1)^2$
$(x+1)(x-1) \leq \cfrac{1}{9}(3x+6)^2$
$\left(3x+6\right)^2 - \left(3x-6\right)^2 \leq 11\left(x+2\right)$
$\left(4x+2\right)\left(4x-2\right) + \left(4x-2\right)\cdot 3\geq \left(4x-7\right)^2 + \left(6x+5\right)\cdot 3$
$(x-1)(x-2)(x-3)-1>(x-1)^{3}-3x^{2}$
$4 [5-2(1-y) ]+2(y-1)>0$
$5{ -1+4x-2 [ x-(2-x)-3]-x+2 }>3(x-1)-x+2$

Prerequisiti:

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Curiosità nello studio di funzione

Pubblicato il 14 Maggio 2012 da admin

Renè Magritte – “Il castello dei Pirenei” – 1959

Siano date le seguenti funzioni:

Quali di queste notazioni sono equivalenti?

A) $sqrt{x^{2}}=x$

B) $sqrt{x^{2}}=pm x$

C) $sqrt{x^{2}}=left | x right |$

D) $sqrt{x^{2}}=pm left | x right |$

La risposta è la C infatti:

il grafico della funzione $y=sqrt{x^{2}}$ è

Il grafico di $y=x$ è

Quindi la risposta A) è da escludere

Il grafico di $y=pm x$ è

Quindi la risposta B) è da escludere

Il grafico di $y=pmleft | x right |$ è:

Quindi anche la risposta D) è da escludere.

Il grafico di $y=left | x right |$ è:

Quindi la risposta è la C)!

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Esercizi sulla divisione tra polinomi

Pubblicato il 14 Maggio 2012 da admin

Renè Magritte

1) $frac{2}{5}y^{5}z^{3}-frac{3}{4}y^{3}z^{2}+frac{1}{2}y^{2}z^{5}:left ( -frac{2}{3}y^{2}z^{2} right )$

2) l’unica difficoltà è trasformare in frazione i numeri decimali

$left ( 1,2x^{6}y^{6}-1,4x^{4}y^{4}+frac{1}{5}x^{2}y^{2} right ):left ( -0,2xy^{2} right )$

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[:it]I monomi e polinomi: soluzione agli esercizi [:en]I monomi e polinomi: soluzione degli esercizi (3.2)[:de]I monomi e polinomi: soluzione degli esercizi (3.2)[:]

Pubblicato il 10 Maggio 2012 da admin

[:it]

Carlo Carrà “La musa metafisica”, 1917

Ecco di seguito le soluzioni degli esercizi:

Esercizio 6.1.

$3a+5b+7a+5b+5a+\dfrac{5}{2}a$
$=\left(3+7+5+\dfrac{5}{2}\right)a+(5+5)b$

$=\dfrac{6+14+10+5}{2}a+10b$

$=\dfrac{35}{2}a + 10b$

___

Esercizio 6.2

$2a^2+5a+7+3a^2+5b+4+5a$

$=(2+3)a^2+(5+5)a+5b+(7+4)$

$=5a^2+10a+5b+11$

___

Esercizio 6.3

$3d+d+7a+8a+12a+2b+4b+5b+6b$

$=(7+8+12)a+(2+4+5+6)b+(3+1)d$

$=27a+17b+4d$

___

Esercizio 6.4

$2a+5b+7c+8d+9s+12d+13a+15a+34s$

$=(2+13+15)a+5b+7c+(8+12)d+(9+34)s$

$=30a+5b+7c+20d+43s$

___

Esercizio 6.5

$3b+\dfrac{8}{3}b+\dfrac{2}{5}b+\dfrac{1}{5}$

$=\left(3+\dfrac{8}{3}+\dfrac{2}{5}\right)b+\dfrac{1}{5}$

$=\dfrac{45+40+6}{15}b+\dfrac{1}{5}$

$=\dfrac{91}{15}b+\dfrac{1}{5}$

___

Esercizio 6.6

$4a+3a+7b+4d+2a+2e+7b+12b$

$=(4+3+2)a+(7+7+12)b+4d+2e$

$=9a+26b+4d+2e.$

___

Esercizio 6.7

$12a+12b+12a(a+1)$

$=(12+12)a+12b(a+1)$

$=24a+12b+12a^2.$

___

Esercizio 6.8

$2(a)+5(b)+7(c)+3a+7a+7b+7c$

$=(2+3+7)a+(5+7)b+(7+7)c$

$=12a+12b+14c.$

___

Esercizio 6.9

$a(b)(c)+7ab+9ab+12abc+13a$

$=abc+(7+9)ab+12abc+13a$

$=(1+12)abc+16ab+13a$

$=13abc+16ab+13a.$

___

Esercizio 6.10

$\dfrac{5}{2}a+\dfrac{5}{2}b+\dfrac{5}{4}a+\dfrac{5}{4}b$

$=\left(\dfrac{10+5}{4}\right)a+\left(\dfrac{10+5}{4}\right)b$

$=\dfrac{15}{4}a+\dfrac{15}{4}b.$ [:en]

Carlo Carrà “La musa metafisica”, 1917

Ecco di seguito le soluzioni degli esercizi:

Esercizio 1.

$3a+5b+7a+5b+5a+\dfrac{5}{2}a$
$=\left(3+7+5+\dfrac{5}{2}\right)a+(5+5)b$

$=\dfrac{6+14+10+5}{2}a+10b$

$=\dfrac{35}{2}a + 10b$

___

Esercizio 2

$2a^2+5a+7+3a^2+5b+4+5a$

$=(2+3)a^2+(5+10)a+5b+(7+4)$

$=5a^2+15a+5b+11$

___

Esercizio 3

$3d+d+7a+8a+12a+2b+4b+5b+6b$

$=(7+8+12)a+(2+4+5+6)b+(3+1)d$

$=27a+17b+4d$

___

Esercizio 4

$2a+5b+7c+8d+9s+12d+13a+15a+34s$

$=(2+13+15)a+5b+7c+(8+12)d+(9+34)s$

$=30a+5b+7c+20d+43s$

___

Esercizio 5

$3b+\dfrac{8}{3}b+\dfrac{2}{5}b+\dfrac{1}{5}$

$=\left(3+\dfrac{8}{3}+\dfrac{2}{5}\right)b+\dfrac{1}{5}$

$=\dfrac{45+40+6}{15}b+\dfrac{1}{5}$

$=\dfrac{91}{15}b+\dfrac{1}{5}$

___

Esercizio 6

$4a+3a+7b+4d+2a+2e+7b+12b$

$=(4+3+2)a+(7+7+12)b+4d+2e$

$=9a+26b+4d+2e.$

___

Esercizio 7

$12a+12b+12a(a+1)$

$=(12+12)a+12b(a+1)$

$=24a+12b+12a^2.$

___

Esercizio 8

$2(a)+5(b)+7(c)+3a+7a+7b+7c$

$=(2+3+7)a+(5+7)b+(7+7)c$

$=12a+12b+14c.$

___

Esercizio 9

$a(b)(c)+7ab+9ab+12abc+13a$

$=abc+(7+9)ab+12abc+13a$

$=(1+12)abc+16ab+13a$

$=13abc+16ab+13a.$

___

Esercizio 10

$\dfrac{5}{2}a+\dfrac{5}{2}b+\dfrac{5}{4}a+\dfrac{5}{4}b$

$=\left(\dfrac{10+5}{4}\right)a+\left(\dfrac{10+5}{4}\right)b$

$=\dfrac{15}{4}a+\dfrac{15}{4}b.$ [:de]

Carlo Carrà “La musa metafisica”, 1917

Ecco di seguito le soluzioni degli esercizi:

Esercizio 1.

$3a+5b+7a+5b+5a+\dfrac{5}{2}a$
$=\left(3+7+5+\dfrac{5}{2}\right)a+(5+5)b$

$=\dfrac{6+14+10+5}{2}a+10b$

$=\dfrac{35}{2}a + 10b$

___

Esercizio 2

$2a^2+5a+7+3a^2+5b+4+5a$

$=(2+3)a^2+(5+10)a+5b+(7+4)$

$=5a^2+15a+5b+11$

___

Esercizio 3

$3d+d+7a+8a+12a+2b+4b+5b+6b$

$=(7+8+12)a+(2+4+5+6)b+(3+1)d$

$=27a+17b+4d$

___

Esercizio 4

$2a+5b+7c+8d+9s+12d+13a+15a+34s$

$=(2+13+15)a+5b+7c+(8+12)d+(9+34)s$

$=30a+5b+7c+20d+43s$

___

Esercizio 5

$3b+\dfrac{8}{3}b+\dfrac{2}{5}b+\dfrac{1}{5}$

$=\left(3+\dfrac{8}{3}+\dfrac{2}{5}\right)b+\dfrac{1}{5}$

$=\dfrac{45+40+6}{15}b+\dfrac{1}{5}$

$=\dfrac{91}{15}b+\dfrac{1}{5}$

___

Esercizio 6

$4a+3a+7b+4d+2a+2e+7b+12b$

$=(4+3+2)a+(7+7+12)b+4d+2e$

$=9a+26b+4d+2e.$

___

Esercizio 7

$12a+12b+12a(a+1)$

$=(12+12)a+12b(a+1)$

$=24a+12b+12a^2.$

___

Esercizio 8

$2(a)+5(b)+7(c)+3a+7a+7b+7c$

$=(2+3+7)a+(5+7)b+(7+7)c$

$=12a+12b+14c.$

___

Esercizio 9

$a(b)(c)+7ab+9ab+12abc+13a$

$=abc+(7+9)ab+12abc+13a$

$=(1+12)abc+16ab+13a$

$=13abc+16ab+13a.$

___

Esercizio 10

$\dfrac{5}{2}a+\dfrac{5}{2}b+\dfrac{5}{4}a+\dfrac{5}{4}b$

$=\left(\dfrac{10+5}{4}\right)a+\left(\dfrac{10+5}{4}\right)b$

$=\dfrac{15}{4}a+\dfrac{15}{4}b.$ [:]

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