SCIENZE E TECNOLOGIE INFORMATICHE

Renè Magritte

Una retta sul piano può essere parallela all’asse delle ascisse (orizzontale), parallela all’asse delle ordinate (verticale) e quindi, conseguentemente anche obliqua.

In maniera analoga un asintoto può essere verticale, orizzontale ed obliquo.

Per la presenza di un asintoto obliquo DEVONO essere vere le seguenti due condizioni basta che una delle due non sia soddisfatta che l’asintoto non sia presente:

(1)

che mi fornisce il coefficiente angolare della “retta” asintoto

(2)

Ribadisco il fatto che è sufficiente che una delle due non sia vera ossia che mi dia un limite non finito affinché non vi sia il limite obliquo.

Ecco immediatamente un esempio:

sia

allora applico la (1)

adesso applico la (2) per trovare la

l’asintoto è:

Il grafico risulta:

Renè Magritte

Un asintoto oltre che verticale può essere anche orizzontale, ossia parallelo all’asse delle ascisse.

Per la sua presenza deve valere la seguente relazione:

(1)

La (1) afferma che quando x assume valori molto grandi, infinitamente grandi, la funzione tende a un valore finito ossia ad un asintoto orizzontale.

Ecco alcuni esempi della presenza di asintoti verticali:

(2)

in questo caso la (2) ci fornisce un asintoto orizzontale con valore

Per meglio evidenziare tale fatto ecco il grafico della funzione:

(3)

in questo caso l’asintoto è:

Ecco il grafico della funzione:

Jacek jerka

Nell’introduzione avevo accennato al fatto che studiare cosa accade ad una funzione nell’intorno di un punto significa studiare il limite a destra e a sinistra.Tale studio, com’è consuetudine, in analisi si riassume in tali forme:

(1)

(2)

la (1) descrive il fatto che si studia l’andamento della funzione quando ci si avvicina al valore provenendo da destra.

la (2) descrive il fatto che si studia l’andamento della funzione quando ci si avvicina al valore provenendo da sinistra.

Ad esempio: assumo che allora provenire da sinistra significa prendere i seguenti valori: 1,8; 1,9; 1,91 e così via; provenire da destra significa prendere i seguenti valori 2,2; 2,1; 2,001 e così via.

Ancora provenire da destra significa prendere valori mentre provenire da sinistra significa prendere valori .

Per capire se la funzione assume un valore o si deve studiare il segno della funzione in un intorno del valore a cui tende la .

Ecco un esempio:

(3)

(4)

Infatti:

– il dominio è tutto escludendo il valore in cui si annulla il denominatore ossia 2.

– devo studiare la seguente disequazione:

.

Per la funzione è positiva mentre per la funzione è negativa.

La regola è:

per studiare i limiti nella forma (1) e (2) si deve studiare la disequazione della funzione  di cui si deve studiare il limite.

Tale regola giustifica il continuo studio delle disequazioni frazionarie negli anni scolastici precedenti!

Quindi si ha sempre un asintoto verticale ma la funzione ha un andamento diverso.

Il grafico della funzione:

è:

Si nota che:

all’avvicinarsi a 2 da destra la funzione assume valori sempre positivi al limite infinitesimamente positivi;

all’avvicinarsi a 2 da sinistra la funzione assume valori sempre negativi al limite infinitesimamente negativi.

Jacek Yerka

Il concetto di infinito lo si affronta solo all’ultimo anno delle superiori come se esso non fosse già ben presente nella quotidianità.

(1) .

(2) .

Per dare un’applicazione pratica immediata si sappia che tale limite permette di definire l’asintoto verticale.

Un asintoto è una retta a cui la funzione di partenza tende ad avvicinarsi senza però mai toccarla: asintoto=senza sintesi ossia privo di unione, nel senso che le curve non si toccano.

Si noi che nella (1) e nella (2) ho fatto uso di e ossia esiste un infinito positivo ed un infinito negativo: si pensi ai numeri positivi: essi sono infiniti, in senso positivo; mentre quelli negativi sono infiniti in senso negativo.

Per determinare gli asintoti verticali si considerino i punti in cui la funzione non è definita ossia quei punti che sono esclusi dal dominio.

Esempio pratico immediato:

Si consideri la funzione:

essa è definita per ogni valore di escluso il punto .

Studiamo cosa accade un tale punto:

ossia se si sostituiscono valori sempre più piccoli di si noti che il valore della funzione assume sempre valori più grandi: al limite, appunto, ci si trova  con un numero così grande che sinteticamente viene scritto .

Per completezza e per dare una rappresentazione grafica tale curva, sul piano cartesiano ha il seguente andamento:

Tale curva ha proprio un asintoto verticale coincidente con l’asse delle ordinate.

Jacek Yerka

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

Enrico Prampolini

Il concetto di limite è fondamentale per capire verso quale valore tende una funzione. In particolare mi interessa dettare delle regole pratiche per poterne fare un protocollo di attuazione immediata:

Ecco la sua forma più semplice ed immediata:

Come si legge?

Il limite per che tende a di vale .

Ho sostituito il valore a cui tende la nella funzione di partenza.

es.1

In questo caso il valore a cui tende la funzione coincide con il valore stesso della funzione in quel punto. Sembra una tautologia ma in realtà non è così: sia che ci si avvicini da destra che da sinistra a quel punto, il risultato non cambia.

Il concetto di limite destro e sinistro è fondamentale nello studio di funzione:  a seconda che ci si avvicini da sinistra o da destra il valore della funzione potrebbe assumere dei valori diversi.

REGOLA PRATICA

Per sviluppare un limite la prima operazione è proprio quella di sostituire il valore a cui tende la alla funzione.